四色定理的充分必要条件.doc

四色定理的充分必要条件我们知道在平面内，至多存在四个两两相邻的区域，但是这个命题并不是四色定题，至多存在四个两两相邻的区域是四色定理的必要条件，但不是充要条件。在有限个区域中着色是可以只用4种，但如果有限个区域之间区域不重复，怎么证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色？问题一：在平面地图中，一个国家最多能有多少个国家与之区域邻接？答案是不确定的，一个国家可以与很多个国家与之区域邻接。如果我们根据命题在平面上，至多存在四个两两相邻的区域的成立就说，一个国家最多可以与另外三个国家与之区域邻接，显然这是不对的。因为国家与国家之间的区域邻接不一定非要一一相互邻接。一一相互区域邻接只是国家与周围国家之间区域邻接的一种。国家与与周围国家之间的区域邻接海可以是非一一相互区域邻接。就是说，在平面地图中，国家与与周围国家之间的区域邻接有两种，一种是一一相互区域邻接；另一种是非一一相互区域邻接。这样我们就可以对平面地图进行种类划分，1，地图是由一一相互区域邻接的国家组成；2，地图是由非一一相互区域邻接的国家组成，3，地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成。【注：这里一一相互区域连接指的是三个或三个以上国家的时候，不包括两个国家。】问题二：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？对于问题二我认为是的，如果地图上任何一个国家与它邻接区域的染色是不同的，那么任何两个邻接区域的颜色就是不同的。显然，至多存在四个两两相邻的区域的命题不能证明在一个地图中，任何一个国家与它邻接区域的染色是不同的。如果有限个区域之间区域不重复，怎么证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色？我认为对四色定理的证明可以分为1，如何证明任何一个国家的颜色与它邻接区域的染色是不同的？2，然后证明，如果任何一个国家的颜色是不同的时候，是不是只需要四种颜色就可以全部描述。首先，地图是由一一相互区域邻接的国家组成的时候。大家都能够证明一个国家最多与三个国家一一相互区域邻接，即两两区域邻接的国家不能超过四个，一一相互区域邻接的国家可以是三个，可以是四个，这样在地图全是由相互区域邻接的国家组成的时候，任何一个国家都是与周围的国家是一一相互区域邻接的国家，一个国家最多与三个国家同时接触，这样用四种颜色就可以描述出任何一个国家与与周围的国家的颜色，使之不相同。由于任何一个国家与它区域邻接国家的染色都是不同的时候，只需要四种颜色就可以描述出来，所以如果使地图上每两个邻接区域染的颜色都不一样，只需要四种颜色。所以四色定理成立。以下括号中内容可跳过。（有符合都是一一相互区域连接的国家组成的地图吗？答案是肯定的，当地图中国家个数非常少的时候，就可以保证国家是一一相互区域连接的国家。例如地图是三个国家一一相互区域连接的时候，例如四个国家一一相互区域连接的时候。假设地图是由n个都是四个一一相互区域连接的国家组成的，此时，如果符合国家之间是一一相互区域连接的，那么任何一个国家都最多与三个国家一一相互区域连接，最多用四种颜色就可以使一个国家与它周围的国家的颜色都是不同的，所以在这个地图中用四种颜色就可以使每两个邻接区域染的颜色都不一样。问题是n个都是四个一一相互区域连接的国家组成的地图中，每个小版块与小版块的组成的时候，国家与周围国家不一定是一一相互区域连接。有可能是非一一相互区域连接。如何证明国家之间是非一一相互区域连接只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域染的颜色都不一样？在四个国家一一相互区域的地图中为什么只需要四种颜色？因为任何一个国家只能与三个国家区域连接，任何一个国家用四种颜色可以使国家与周围国家的颜色是不同的。在这里任何一个国家都是平等的，都是相同的，都只能与三个国家区域连接。只要保障每一个国家都是相同的即只能与三个国家区域连接，那么四色定理就成立。在这里每一个国家都是相同的就是充分必要条件，在这里至多只能四个国家一一相互区域连接就是充分必要条件。）第二， 地图是由非一一相互区域邻接的国家组成的时候，如何证明只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样？A,任何一个国家都是与n个国家相连接的，即与一个国家相连接的国家个数有n个。n可以是任意整数。任何一个国家都是占据一个颜色的;B, 这个国家与所有连接国家的关系：1，所有连接的国家组成闭合区域，2，所有连接的国家没有组成闭合区域;C, 任意选择一个国家，如果国家的邻接国家颜色都是不一样的，那么用于邻接国家的颜色的个数与邻接国家的个数n有什么关系？a，当与这个国家所有连接的国家组成闭合区域的时候，所有连接的国家中任选一个为起点，闭合的最后两个国家是接壤的。这样我们得出，当n是1的时候，我们知道颜色只能是1. 当n大于1是奇数的时候，需要的颜色是3；当n大于1是偶数的时候，颜色是2.因为是偶数的时候，n/2整除，两个颜色的话，最后结尾的两个国家正好不相同；当是奇数的时候，由于，不能被2整除，剩一，剩下的国家不论选择与接头的国家相同还是与结尾的国家颜色相同，都是颜色相同。所以需要第三种颜色。（例如，一个圆，以圆心三分；一个圆，以圆心四分。）这样，不论一个国家接壤的国家的个数是多少，与颜色关系不大，决定颜色个数只与n是奇数还是偶数有关。这样一个国家的周围接壤的国家的颜色最多用三个颜色就可以标出来，加上这个国家本身的颜色，就是四个。这个国家本身的颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。这样我们知道了一个国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色。b, 当与这个国家所有连接的国家没有组成闭合区域的时候，当n是1的时候，我们知道颜色只能是1。当n大于1是奇数的时候，需要的颜色是2（四个国家一一区域邻接的时候，不属于此种情形。这里说的是非一一相互区域邻接）；当n大于1是偶数的时候，需要的颜色也是2.此时颜色的个数与n的个数无关，与n是奇数还是偶数无关。因为，在所有接壤的国家中，一边的国家与另一边的国家是不接壤的，所以只要任何两个接壤的国家的颜色是不同的就可以，即只需两个颜色。这样，加上这个国家本身的颜色，就是三个。这个国家本身的颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。这样，此时一个国家与周围国家接壤的时候，最多用三种颜色。D,通过一个国家与周围国家接壤的时候，周围接壤的国家是否闭合两种情形，我们得出：一个国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色，任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的。当任何一个国家与区域邻接的国家颜色不同的时候，此时任何两个邻接区域的染色都是不同的。这样由于任何一个国家与它两个邻接区域的染色都是不同的时候，最多需要的染色是4种周围国家3种，这个国家1种，即4种，只要四种染色就可以使任何两个邻接区域的颜色是不同的。所以，在地图是由非一一相互区域邻接的国家组成的时候，只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样。以上所需的简单数学公式为，任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y=f(X),在a情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1;x大于1为奇数的时候，y=3; x大于1为偶数的时候，y=2.x限域是正整数。y最大值是3.在b情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1；x大于1为奇数的时候，y=2; x大于1为偶数的时候，y=2. x限域是正整数。y最大值是2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4. 第三，地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成的时候，如何证明只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样？相互连接的时候，不论原来是一一相互区域邻接还是非一一相互区域邻接，进行连接的国家都已经组合成新的集体。在新的集体中，我们是否能够证明只需要四种颜色就可以描述所有的国家呢？是的。不论新的集体怎么组成，最后都会属于一一相互区域邻接的情况或者非一一相互区域邻接的情况。这样，新集体的任何一个国家都可以用三种颜色把周围的国家的颜色标出来使之颜色不同。在这个新集体中由于任何一个国家都可以用三种颜色把周围的国家的颜色标出来使之颜色不同，所以任何一个国家与周围的国家都可以用四种颜色使每两个区域相邻的颜色不同。因为任何一个国家与周围的国家都可以用四种颜色使区域相邻的颜色不同，所以整个地图用四种颜色就可以使每两个区域相邻的颜色不同。小区域组合成大区域的问题，边界区域是否重合，不是一一相互区域邻接即至多存在四个两两相邻的区域的命题，能够证明的，因为区域组合的问题不一定属于一一相互区域邻接的问题。地图组合中的边界区域的问题其实也是证明整个地图中，任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是只需要四色的问题。边界区域的接触部分，组合新的团体。团体中原来的国家属于新的团体，原来的颜色也属于整个新团体。我们要证明的就是新团体中是否只需要四种颜色。地图组合中边界区域的相同颜色的国家邻接是可能的，我们要证明的不是这种可能性是不存在的，而是证明存在的时候，颜色从新分配是否只需要四个颜色就可以使地图上没有两个邻接的区域颜色相同。如果没有两个邻接的区域颜色相同，那么任何一个国家与这个国家周围与这个国家区域邻接的国家颜色是不同的。就是说，当任何一个国家与这个国家周围与这个国家区域邻接的国家颜色是不同的时候，我们证明不超过四个颜色，就是证明了四色定理。如何证明任何一个国家与这个国家周围与这个国家区域邻接的国家用四种颜色就可以使邻接的每个国家的颜色都是不同的？就是以上三种情形。一下内可不读。地图由一一相互区域邻接（一一相互区域邻接指的是三个或三个以上国家的时候，不包括两个国家。）的国家组成的时候，就是当任何一个国家都与另外的国家一一相互区域邻接的时候，任何一个国家都能够用三个颜色把周围国家进行染色使之颜色不相同。任何一个国家都是一一相互区域邻接的，任何国家都是相同的，所有的国家可以属于一个集合。地图由非一一相互区域邻接的国家组成的时候，例如三个不是一一相互区域邻接的国家组成的地图，任何一个国家都能够用三个颜色把周围国家进行染色使之颜色不相同。任何一个国家都不是一一相互区域邻接的，任何国家都是相同的，所有的国家可以属于一个集合。那么地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成的时候，任何国家是不是都是相同的？所有的国家可不可以属于一个集合？在地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成的时候，一一相互区域邻接的国家可以与一一相互区域邻接的国家区域邻接，也可以与非一一相互区域邻接的国家区域邻接。既然是一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家区域邻接，那么区域邻接的国家就不一定是一一相互区域邻接，可能变成非一一相互区域邻接，那么区域邻接的国家就不一定是非一一相互区域邻接，可能变成一一相互区域邻接。这样，变成非一一相互区域邻接，我们用非一一相互区域邻接的国家关系处理，变成一一相互区域邻接，我们用一一相互区域邻接的国家关系处理。由于不论哪种情形，每一个国家都可以用三种颜色对周围国家进行染色使之不同，所以，在混组的地图中，每一个国家都可以用三种颜色对周围国家进行染色使之不同。我们通常有这样的疑问是会不会相同染色的国家会不会区域连接。区域连接的时候，分为形成闭合区域，与不形成闭合区域。形成闭合的时候，不论连接的国家属于一一区域连接还是非一一区域连接的，此时，是两者共同组合成一个闭合区域。在四个一一相互邻接的一个国家看来原来一一区域连接的国家都处在这个国家的周围，形成闭合。这样原来国家的颜色就在这个新的组合之中。如果形成非相互一一区域连接，那么用非相互一一区域连接国家的染色关系可以知道，外围这些国家可以用三个颜色搞定。如果形成相互一一区域连接（假设能够形成），那么用相互一一区域连接国家的染色关系可以知道，外围这些国家可以用三个颜色搞定。由于每个国家的颜色都属于这个共同的集体，并且这个共同的集体可以用四种颜色进行染色的时候，使染色相同的国家不区域邻接，所以不存在颜色相同的国家区域邻接的情况。同样，不论是相互一一区域连接的国家还是非相互一一区域连接的国家组合成一个新的集体，不是闭合区域的时候，我们可以用四种颜色进行染色的时候，使染色相同的国家不区域邻接。原来任何一部分的国家，原来的颜色都属于这个新集体中的一个，是这个集体四个颜色中的一个。不是闭合区域的时候，1，形成相互一一区域连接的国家，例如三个相互一一区域连接，可以说任何一方出两个国家两个颜色。另一方出一个国家一个颜色。2，不形成相互一一区域连接的国家，此时，不论国家有多少个，四个颜色就可以进行区分。对于上面如果有限个区域之间区域不重复，怎么证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色？这个问题其实是，拼成大区域的时候造成边界区域的国家不再