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专题二分类讨论思想 分类讨论的数学思想也称分情况讨论 当一个数学问题在一定的题设下 其结论并不唯一时 我们就需要对这一问题进行必要的分类 将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况 在每一种情况中分别求解 最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合 分类讨论是根据问题的不同情况分类求解 它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法 淄博市近几年的中考题中 2017年的第5 24题 2016年的第17 23题都体现了分类讨论的思想 它是数学中非常重要的数学方法之一 应该予以重视 运用分类讨论思想解题的关键是如何正确地进行分类 即确定分类的标准 分类讨论的原则 1 完全性原则 就是说分类后各子类别涵盖的范围之和 应当是原被分对象所涵盖的范围 即分类不能遗漏 2 互斥性原则 就是说分类后各子类别涵盖的范围之间 彼此互相独立 不应重叠或部分重叠 即分类不能重复 3 统一性原则 就是说在同一次分类中 只能按所确定的一个标准进行分类 即分类标准统一 分类的方法 明确讨论的对象 确定对象的全体 确立分类标准 正确进行分类 逐步进行讨论 获取阶段性结果 归纳小结 综合得出结论 常见的情形 由字母系数引起的讨论 由绝对值引起的讨论 由点 线的运动变化引起的讨论 由图形引起的讨论 由边 点的不确定引起的讨论 存在特殊情形而引起的讨论 应用问题中的分类讨论等 典例 2017 枣庄 如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于点a和点b 与y轴交于点c 点b坐标为 6 0 点c坐标为 0 6 点d是抛物线的顶点 过点d作x轴的垂线 垂足为e 连接bd 1 求抛物线的表达式及点d的坐标 2 点f是抛物线上的动点 当 fba bde时 求点f的坐标 3 若点m是抛物线上的动点 过点m作mn x轴与抛物线交于点n 点p在x轴上 点q在坐标平面内 以线段mn为对角线作正方形mpnq 请写出点q的坐标 分析 1 由b c的坐标 利用待定系数法可求得抛物线表达式 再求其顶点d即可 2 过f作fg x轴于点g 可设出f点坐标 利用 fbg bde 由相似三角形的性质可得到关于f点坐标的方程 分类讨论可求得f点的坐标 3 由于m n两点关于对称轴对称 可知点p为对称轴与x轴的交点 点q在对称轴上 可设出q点的坐标 则可表示出m的坐标 代入抛物线表达式可求得q点的坐标 自主解答 归纳总结 此类题目主要考查了学生分类讨论时要全面 分类的标准要一致 做到 不重不漏 1 2017 淄博 若分式的值为零 则x的值是 a 1b 1c 1d 2 a 2 2017 淄博 如图1 经过原点o的抛物线y ax2 bx a 0 与x轴交于另一点a 0 在第一象限内与直线y x交于点b 2 t 1 求这条抛物线的表达式 2 在第四象限内的抛物线上有一点c 满足以b o c为顶点的三角形的面积为2 求点c的坐标 3 如图2 若点m在这条抛物线上 且 mbo abo 在 2 的条件下 是否存在点p 使得 poc mob 若存在
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