高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值课件 苏教版选修11.ppt

3 3 2极大值与极小值 第3章导数及其应用 学习导航 第3章导数及其应用 1 函数极值的概念 1 极大值与极小值的直观解释如图 函数图象在点p处从左侧到右侧由 变为 函数由单调递增变为单调递减 这时在点p附近 点p的位置最高 也就是说f x1 比它附近点的函数值都要 我们称f x1 为函数f x 的极 值 类似地 图中f x2 为函数f x 的极小值 函数的极大值 极小值统称为函数的 上升 下降 大 大 极值 2 极大值与极大值点定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极 值 点x0叫做函数f x 的 大 极大值点 3 极小值与极小值点定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极 值 点x0叫做函数f x 的 小 极小值点 4 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧邻域而言的 极值点总是f x 定义域中的点 因而端点绝对不是函数的极值点 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系 函数的极小值也不一定比极大值小 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 2 函数的极值与函数的导数之间的关系 1 极大值与导数之间的关系 极大值f x1 2 极小值与导数之间的关系 极小值f x2 3 求函数f x 极值的方法与步骤 1 解方程f x 0 2 根据函数的极值与导数之间的关系验证判断 如果在x0两侧f x 符号相同 那么x0不是f x 的极值点 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 注意 可导函数的极值点一定是其导数为零的点 但是 导数为零的点不一定是该函数的极值点 因此导数为零的点 又称驻点 可疑点 仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是这点两侧的导数异号 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 导数为零的点一定是函数的极值点 2 函数的极小值一定小于它的极大值 3 f x 在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值 4 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数 3 直线y a与函数y x3 3x的图象有三个相异的交点 则a的取值范围是 解析 f x 3x2 3 令f x 0可以得到x 1或x 1 f 1 2 f 1 2 2 a 2 2 2 求函数的极值 解 1 三次函数f x 的定义域为r f x 6x2 12x 18 6 x2 2x 3 6 x 3 x 1 令f x 0解得x1 3 x2 1 当x在定义域r内变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 当x 3时f x 有极大值57 当x 1时 f x 有极小值 7 3 f x 的定义域为r f x ex x2 7x 13 ex 2x 7 ex x2 5x 6 ex x 2 x 3 令f x 0解得x1 2 x2 3 当x在定义域r内变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 当x 2时 f x 有极大值3e2 当x 3时 f x 有极小值e3 4 f x 的定义域为r 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令f x 0得x1 0 x2 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 当a 1 2 即a 3时 f x 在 a 1 a 1 内为增函数 无极值 当0 a 1 2 即1 a 3时 2 a 1 4 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 当a 1 0 即a 1时 f x 在 a 1 a 1 内为减函数 无极值 当a 1 0 即0 a 1时 1 a 1 2 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 1 求可导函数f x 的极值的步骤 由函数f x 的解析式确定定义域 求出f x 并通过因式分解化为积 商 形式 令f x 0解方程求根 由f x 0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间 并列成表格 f x 0只有一个根时可以不列表格 根据表格指出极值及相应极值点 同时也可以得到单调区间 2 函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意分类讨论 2 函数的定义域为r f x 2xex x2ex xex 2 x 令f x 0得x1 0 x2 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 2时 函数有极大值为f 2 4e 2 当x 0时 函数有极小值为f 0 0 已知函数的极值或极值点 求参数的值 设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2处函数f x 取得极大值还是极小值 并说明理由 已知函数极值的情况 逆向应用确定函数的解析式 需注意两点 1 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 2 已知函数f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函数 当x 1时f x 取得极值 2 求f x 的单调区间和极大值 解 由奇函数的定义 有f x f x 即 ax3 cx d ax3 cx d 得d 0 因此 f x ax3 cx a 0 f x 3ax2 c 联立f 1 2及f 1 0 解得a 1 c 3 则f x x3 3x f x 3x2 3 所以 函数的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 1 当x 1时 函数取得极大值f 1 2 函数极值的综合应用 1 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 2 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 3 2012 高考江苏卷节选 若函数y f x 在x x0处取得极大值或极小值 则称x0为函数y f x 的极值点 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 1 求a和b的值 2 设函数g x 的导函数g x f x 2 求g x 的极值点 解 1 由题设知f x 3x2 2ax b 且f 1 3 2a b 0 f 1 3 2a b 0 解得a 0 b 3 2 由 1 知f x x3 3x 因为f x 2 x 1 2 x 2 所以g x 0的根为x1 x2 1 x3 2 于是函数g x 的极值点只可能是1或 2 当x0 故 2是g x 的极值点 当 21时 g x 0 故1不是g x 的极值点 所以g x 的极值点为 2 当x