河北省东光县第二中学九年级数学下册 28.2《解直角三角形及其应用》直角三角形中七个的“是否”素材 （新版）新人教版.doc

直角三角形中七个的“是否”学习了直角三角形后，我们被其有趣而且丰富的知识所感染。其中的“七个”是否，就颇有兴趣。1是否有触礁危险解析：判断货船有无触礁危险的标准为：1）计算出货船向正东方向航行时，小岛c距正东航向的垂直距离；2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：当垂直距离暗礁半径时，货船无触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险。例1、如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从a处运往正东方向的m处，在点a处测得某岛c在北偏东的方向上该货船航行分钟后到达b处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在c岛周围海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由解：过点c作cdam，垂足d，根据题意，得：ab=240.5=12，cab=30，cbd=60，cdb=90，因为，cbd是三角形abc的一个外角，所以，cbd=cab+acb，因为，cab=30，cbd=60，所以，acb=30，所以，acb=cab，所以，ab=bc=12，在直角三角形cbd中，cd=bcsin60=12=6，又因为，=1.5，32.25所以，1.5，所以，661.569，因为，在c岛周围海里的区域内有暗礁，所以，继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。2、是否超速例2、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点a，在如图3，所示的坐标系中，点a位于y轴上，测速路段bc在x轴上，点b在点a的北偏西60方向上，点c在点a的北偏东45方向上（1）请在图3中画出表示北偏东45方向的射线ac，并标出点c的位置；（2）点b坐标为 ，点c坐标为 ；（3）一辆汽车从点b行驶到点c所用的时间为15s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）解析：判断汽车是否超速的标准为：1）计算出笔直的限速公路bc的距离；2）计算出汽车在笔直的限速公路bc的速度；3）比较汽车在笔直的限速公路bc的速度与最高行驶速度的大小：当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，不超速；解：（1）北偏东45方向的射线ac，如图4所示，（2）在直角三角形aob中，oa=100，oab=60，所以，ob=oatan60=100，点b坐标为（-100，0）；又因为，cao=45，coa=90，所以，aco=45，所以，oa=oc=100，所以，点c的坐标为（100，0）；3）由1）、2）知道，从点b到点c的距离为：（100+100）米；并且汽车从点b行驶到点c所用的时间为15s，所以，汽车的速度为：（100+100）1518m/s，而最高速度为：50/317m/s，因为，18m/s17m/s，所以，该汽车在限速公路上超速行驶。3、是否通过解析：汽车恰好能通过的标准是：轴心距所在的直线恰好在点p处相切。例3、如图5，是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，o1，o2分别是车轮的轴心，m是线段o1o2的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等经验告诉人们，只要中点m不被p点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段o1o2上的其它点就不会被p点托住，汽车就可顺利通过否则，就要通过其他方式通过（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距o1o2为400cm. 通过计算说明,当apb等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1，参考数据sin14.480.25，cos14.480.97）（2）当apb=120时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距o1o2的比应符合什么条件？。解：1）如图6，汽车恰好能通过斜坡时，点、m、p、q恰好在一条直线上，连接c，则cpa，所以，在直角三角形pc中，m=200，c=50，所以，sinmc=0.25，又因为，sin14.480.25，所以，mc =14.48，所以，apb=180-14.48-14.48=151.04 151 ；（2）当apb=120时，要使汽车安全通过，则有mc =30，所以，= sin30=，所以，m=2c，所以，o1o2=4c，即=，所以，当apb=120时，要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距o1o2的比应至少为1：4。4、是否穿过解析：判断是否穿过文物保护区的标准为：1）计算出c距直线mn的垂直距离；2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：当垂直距离文物保护区范围时，不会穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，恰好穿过文物保护区；例4、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”如图7,在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）:解：如图8,所示,过c作chab于点h，设ch=xm，则，所以，不会穿过保护区。5、是否最近解析：判断轮船继续向东航行多少海里，距离小岛c最近的标准为：1）作出c到直线ab的垂直距离，找到距离小岛最近的点的位置，垂足处；2）求出点b与垂足之间的距离，就是所要求的答案。例5、一艘轮船自西向东航行，在a处测得东偏北21.3方向有一座小岛c，继续向东航行60海里到达b处，测得小岛c此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛c最近？（参考数据：sin21.3，tan21.3， sin63.5，tan63.52）解：过c作ab的垂线，交直线ab于点d，得到rtacd与rtbcd设bdx海里，在rtbcd中，tancbd，所以,cdx tan63.5；在rtacd中，adabbd(60x)海里，tana，所以，cd( 60x ) tan21.3；所以，xtan63.5(60x)tan21.3，即，解得，x15。答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛c最近。6、是否最快解析：判断最快的标准为：1）计算出三人各自行驶的路程；2）计算出三人各自行驶的路程所用的时间；3）所时间最少的人，就是最快的。例6、如图11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的a点处发现海中的b点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从a点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到c点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30o米到离b点最近的d点，再跳人海中救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米秒若bad=45，bcd=60，三名救生员同时从a点出发，请说明谁先到达营救地点b。(参考数据21.4，31.7)解：在三角形abd中，因为，ad=300，bad=45，bda=90，所以，bd=300，所以，ab=30023001.4=420，所以，1号救生员所用的时间为：4202=210（秒）；在三角形bcd中，因为，bd=300，bcd=60，bda=90，所以，bc=300sin60=20032001.7=340，cd=1/2bc=170，所以，ac=300-170=130，所以，2号救生员所用的时间为：1306+3402191.7（秒）；3号救生员所用的时间为：3006+3002=200（秒）；因为，210200191.7，所以，2号救生员最快。7、是否影响采光解析：判断楼的影子是否影响楼的一楼住户采光的标准为：1）计算楼的影子在b楼上的高度；2）比较楼的影子在b楼上的高度与b楼一楼住户的窗台离小区地面的距离dn=2米的大小：当楼的影子在b楼上的高度b楼一楼住户的窗台离小区地面的距离dn=2米时，影响采光；当楼的影子在b楼上的高度=b楼一楼住户的窗台离小区地面的距离dn=2米时，不影响采光；当楼的影子在b楼上的高度b楼一楼住户的窗台离小区地面的距离dn=2米时，不影响采光；例7、如图12，某居民小区内a、b两楼之间的距离mn=30米，两楼的高都是20米，a楼在b楼正南，b楼窗户朝南。b楼内一楼