高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义与标准方程课件 湘教版选修21.ppt

2 2双曲线2 2 1双曲线的定义与标准方程 2 2 1 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 1 了解双曲线的定义 几何图形及标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题 课前自主学案 3 1 双曲线的定义平面上到两个定点f1 f2的距离之差的绝对值为 小于 f1f2 的点的轨迹叫作双曲线 这两个定点f1 f2叫作双曲线的 两个焦点之间的距离叫作双曲线的 2 双曲线的标准方程 固定值 焦点 焦距 c 0 0 c 1 如何理解双曲线的定义 提示 1 定义中的前提条件为 平面内 这一限制条件十分重要 不能丢掉 否则就成了空间曲线 不是平面曲线了 2 不可漏掉定义中 常数小于 f1f2 3 双曲线的定义中要注意两点 距离之差的绝对值 2a f1f2 这两点与椭圆的定义有本质的不同 若 pf1 pf2 2a f1f2 点p的轨迹仅为双曲线焦点f2这一侧的一支 若 pf2 pf1 2a f1f2 点p 思考感悟 的轨迹仅为双曲线焦点f1这一侧的一支 而双曲线是由两个分支组成的 故定义中应为 差的绝对值 2 如果去掉 小于 f1f2 这一条件 轨迹会有怎样的变化 提示 当2a f1f2 时 动点的轨迹是以f1 f2为端点的两条射线 当2a f1f2 时 动点的轨迹不存在 课堂互动讲练 与求椭圆的标准方程的方法一样 若由题设条件易于确定方程的类型 可先设出方程的标准形式 再确定方程中的参数a b的值 即 先定型 再定量 若两种类型都有可能 则应进行分类讨论 思路点拨 求双曲线的标准方程时 应先 定位 再 定型 即先确定其焦点的位置 再确定a b的取值 和椭圆一样 在所求曲线的焦点位置不确定的情况下 可借助于双曲线方程的一般形式求解 名师点评 求双曲线标准方程的方法 1 定义法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线 可根据双曲线的定义确定其方程 这样可以减少运算量 2 待定系数法 其步骤为 作判断 根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上 还是两种情况都有可能 设方程 根据条件 设出标准方程 寻关系 根据已知条件列出关于a b c的方程组 得方程 解方程组代入所设方程即为所求 自我挑战1 利用定义法求双曲线的标准方程 首先找出两个定点 即双曲线的两个焦点 然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差 或差的绝对值 是否为常数 这样确定c和a的值 再由c2 a2 b2求b2 进而求双曲线的方程 名师点评 如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线 圆 椭圆或者双曲线的定义 通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 pf1 pf2 2a的变形使用 特别是与 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 间的关系 二是要与三角形知识相结合 经常利用余弦定理 正弦定理等知识 同时要注意整体思想的应用 思路点拨 在 f1mf2中运用余弦定理及三角形的三角恒等式 再由三角形的面积公式进行计算 证明 f1mf2与椭圆类似 集中了双曲线的定义 余弦定理 三角恒等变换等知识 1 遇到动点到两定点距离之差问题 要联想应用双曲线定义解题 点p在双曲线上 有 pf1 pf2 2a 充分利用这一隐含条件 是解决问题的重要技巧 2 求双曲线的标准方程主要有 一是没有给出坐标系 必须建立坐标系 根据双曲线的定义确定出方程 二是给出标准形式 要先判断出焦点的位置 如果焦点不确定要分类讨论 采用待定