河北省保定市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2，3，4，b=x|x=，na，则ab=（） a 1，2，3 b 1，2 c 1，2 d 12已知p：是第一象限角，q：，则p是q的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件3已知i是虚数单位，则|=（） a 0 b 1 c 2 d 34sin15cos15=（） a b c d 5在边长为4的正方形abcd内任取一点m，则amb90的概率为（） a b 1 c d 16一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（） a 38 b 382 c 38+2 d 127已知函数f（x+2）是r上的偶函数，当x2时，f（x）=x2+1，则当x2时，f（x）=（） a x2+1 b x28x+5 c x2+4x+5 d x28x+178已知平行四边形abcd中，若=（3，0），=（2，2），则sabcd=（） a 6 b 10 c 6 d 129执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（） a x b s c s d x10若a0，1），当x，y满足时，z=x+y的最小值为（） a 4 b 3 c 2 d 无法确定11司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（） a 甲合适 b 乙合适 c 油价先高后低甲合适 d 油价先低后高甲合适12设等差数列an满足a1=1，an0（nn*），其前n项和为sn，若数列也为等差数列，则的最大值是（） a 310 b 212 c 180 d 121二、填空题；本大题共4小题，每小题5分13双曲线2x2y2=1的离心率为14已知公比为q的等比数列an，满足a1+a2+a3=8a4+a5+a6=1，则=15函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是16正四面体abcd的棱长为4，e为棱bc的中点，过e作其外接球的截面，则截面面积的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知abc的面积为，且角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（a）=，b+c=5，求a的值18随着经济发展带来的环境问题，我国很多城市提出了大力发展城市公共交通的理念，同时为了保证不影响市民的正常出行，就要求对公交车的数量必须进行合理配置为此，某市公交公司在某站台随机对20名乘客进行了调查，其已候车时间情况如表（单位：分钟）组别 已候车时间 人数0，0.5）45，10）610，15）615，20）320，251（1）画出已候车时间的频率分布直方图（2）求这20名乘客的平均候车时间（3）在这20名乘客中随机抽查一人，求其已候车时间不少于15分钟的概率19如图1，已知矩形abcd中，ab=2，ad=1，m为dc的中点将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm，如图2所示（1）求证：adbm；（2）若点e是线段db上的一动点，问点e在何位置时，三棱锥made的体积为20已知椭圆+=1，（ab0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点f的直线l交椭圆与p，q两点（1）求椭圆的方程（2）在线段of上是否存在点m（m，0），使得（+）（）=0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=exax+a，其中ar，e为自然数的底数（1）讨论函数f（x）的单调区间，并写出相应的单调区间（2）设br，若函数f（x）b对任意xr都成立，则当a0时，求ab的最大值四、选修4-1：几何证明选讲（从22,23,24三题中任选一题作答，并用2b铅笔将答案卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分，多涂，多答，按所的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分）22如图所示，已知o1与o2相交于a、b两点，过点a作o1的切线交o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交o1、o2于点d、e，de与ac相交于点p（）求证：adec；（）若ad是o2的切线，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的长五、选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l在直角坐标系xoy中的参数方程为（t为参数，为倾斜角），曲线c的极坐标方程为=4cos（其中坐标原点o为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）（1）写出曲线c的直角坐标方程（2）若曲线c与直线l相交于不同的两点m、n，设p（4，2），求|pm|+|pn|的取值范围六、选修选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|xa|+1，ar（1）当a=4时，解不等式f（x）1+|2x+1|（2）若f（x）2的解集为0，2，+=a（m0，n0）求证：m+2n3+22015年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合a=1，2，3，4，b=x|x=，na，则ab=（） a 1，2，3 b 1，2 c 1，2 d 1考点： 交集及其运算专题： 计算题；集合分析： 化简b=x|x=，na=1，2，从而求ab即可解答： 解：a=1，2，3，4，b=x|x=，na=1，2，故ab=1，2；故选：c点评： 本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题2已知p：是第一象限角，q：，则p是q的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：若=，满足在第一象限，但不成立，若=0，满足，但在第一象限不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：d点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据角与象限之间的关系是解决本题的关键3已知i是虚数单位，则|=（） a 0 b 1 c 2 d 3考点： 复数求模专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模解答： 解：|=故选：b点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题4sin15cos15=（） a b c d 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值专题： 三角函数的求值分析： 利用两角和差的正弦公式，进行化简即可解答： 解：sin15cos15=sin（1545）=，故选：c点评： 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键5在边长为4的正方形abcd内任取一点m，则amb90的概率为（） a b 1 c d 1考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积解答： 解：如图正方形的边长为4：图中白色区域是以ab为直径的半圆当p落在半圆内时，apb90；当p落在半圆上时，apb=90；当p落在半圆外时，apb90；故使amb90的概率p=故选：a点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据p=求解6一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（） a 38 b 382 c 38+2 d 12考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，且长方体的长为4，宽为3，高为1，圆柱的底面圆半径为1，高为1；所以该组合体的表面积为s长方体2s底面圆+s圆柱侧面=2（43+41+31）212+211=38故选：a点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题，是基础题目7已知函数f（x+2）是r上的偶函数，当x2时，f（x）=x2+1，则当x2时，f（x）=（） a x2+1 b x28x+5 c x2+4x+5 d x28x+17考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 先由函数f（x+2）是r上的偶函数，求出对称轴，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x2时，求解函数的解析式解答： 解：函数f（x+2）是r上的偶函数，函数关于x=2对称，可得f（x）=f（4x），x2时，f（x）=x2+1，由x2时，x2，4x6，可得f（4x）=（4x）2+1=x28x+17，f（x）=f（4x）=x28x+17故选：d点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个中档题8已知平行四边形abcd中，若=（3，0），=（2，2），则sabcd=（） a 6 b 10 c 6 d 12考点： 向量在几何中的应用专题： 计算题；平面向量及应用分析： 利用=（3，0），=（2，2），求出|=3，|=4，结合数量积公式，求出cosabc=，可得sinabc=，即可求出sabcd解答： 解：=（3，0），=（2，2），|=3，|=4，=34cos（abc）=6，cosabc=，sinabc=，sabcd=34=6，故选：a点评： 本题考查向量在几何中的应用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，确定sinabc=是关键9执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（） a x b s c s d x考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答： 解：当k=9，s=1时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=8；当k=8，s=时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=7；当k=7， s=时，不满足输出条件，故s值应满足条件，执行循环体后：s=，k=6；当k=6，s=1时，满足输出条件，故s值应不满足条件，故判断框内可填入的条件是s，故选：b点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10若a0，1），当x，y满足时，z=x+y的最小值为（） a 4 b 3 c 2 d 无法确定考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值解答： 解：由xay2=0得ay=x2，若a=0，则x2=0，若0a1，则直线方程等价为y=x，此时直线斜率k=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由，解得，即a（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2即目标函数z=x+y的最小值为2故选：c点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法11司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（） a 甲合适 b 乙合适 c 油价先高后低甲合适 d 油价先低后高甲合适考点： 函数的最值及其几何意义专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用分析： 设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；作差比较大小即可解答： 解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；则司机甲两次加油的均价为=；司机乙两次加油的均价为=；且=0，又ab，0，即，故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适，故选b点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题12设等差数列an满足a1=1，an0（nn*），其前n项和为sn，若数列也为等差数列，则的最大值是（） a 310 b 212 c 180 d 121考点： 数列的求和；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列分析： 设等差数列an的公差为d，a1=1，an0（nn*），利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：an=1+（n1）d，sn=由于数列也为等差数列，可得2=+，代入解出d，可得关于n的数列，利用其单调性即可得出解答： 解：设等差数列an的公差为d，a1=1，an0（nn*），an=1+（n1）d，sn=1，=，=，数列也为等差数列，2=+，=1+，化为（d2）2=0，解得d=2an=2n1，sn=n2=，数列单调递减，的最大值是=121故选：d点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题；本大题共4小题，每小题5分13双曲线2x2y2=1的离心率为考点： 双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率解答： 解：由双曲线2x2y2=1可知：a=，b=1，c=，双曲线的离心率为：故答案为：点评： 本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力14已知公比为q的等比数列an，满足a1+a2+a3=8a4+a5+a6=1，则=考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知数据易得数列的公比，进而可得首项a1，代入要求的式子计算可得解答： 解：由题意可得a4+a5+a6=q3（a1+a2+a3）=8q3=1，解得q=，代入a1+a2+a3=8可得a1（1+）=a1=8，解得a1=，=故答案为：点评： 本题考查等比数列的通项公式，属基础题15函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是（，2）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线方程f（x）=在区间x（0，+）上有解，并且去掉直线2xy=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可解答： 解：，（x0）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，方程在区间x（0，+）上有解即在区间x（0，+）上有解a2若直线2xy=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）则，解得x0=e此时综上可知：实数a的取值范围是（，2）故答案为：（，2）点评： 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题16正四面体abcd的棱长为4，e为棱bc的中点，过e作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4考点： 球内接多面体专题： 计算题；空间位置关系与距离；球分析： 根据题意，将四面体abcd放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体abcd的外接球因此利用题中数据算出外接球半径r=，过e点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值解答： 解：将四面体abcd放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体abcd的外接球，正四面体abcd的棱长为4，正方体的棱长为，可得外接球半径r满足，解得r=e为棱bc的中点，过e作其外接球的截面，当截面到球心o的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心o到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=2，得到截面圆的面积最小值为s=r2=4故答案为：4点评： 本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（1）求函数f（x）的最大值；（2）已知abc的面积为，且角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（a）=，b+c=5，求a的值考点： 余弦定理；三角函数的最值专题： 解三角形分析： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值（2）根据f（a）=，求得a的值，再根据abc的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值解答： 解：（1）函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x1）sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，故函数的最大值为+=（2）由题意可得f（a）=sin（2a+）+，sin（2a+）=再根据2a+（，），可得2a+=，a=根据abc的面积为bcsina=，bc=4，又b+c=5，b=4、c=1，或b=1、c=4利用余弦定理可得a2=b2+c22bccosa=13a=点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题18随着经济发展带来的环境问题，我国很多城市提出了大力发展城市公共交通的理念，同时为了保证不影响市民的正常出行，就要求对公交车的数量必须进行合理配置为此，某市公交公司在某站台随机对20名乘客进行了调查，其已候车时间情况如表（单位：分钟）组别 已候车时间 人数0，0.5）45，10）610，15）615，20）320，251（1）画出已候车时间的频率分布直方图（2）求这20名乘客的平均候车时间（3）在这20名乘客中随机抽查一人，求其已候车时间不少于15分钟的概率考点： 频率分布表；频率分布直方图专题： 概率与统计分析： （1）利用频率分布表，直接画出已候车时间的频率分布直方图（2）利用均值公式直接求解这20名乘客的平均候车时间（3）在这20名乘客中随机抽查一人，通过频率分布直方图直接求其已候车时间不少于15分钟的概率解答： （本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如图（4分）（2）（2.54+7.56+12.56+17.53+22.51）=10.25分钟（8分）（3）候车时间不少于15分钟的概率为=（12分）点评： 本题考查频率分布直方图的画法以及应用，考查计算能力19如图1，已知矩形abcd中，ab=2，ad=1，m为dc的中点将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm，如图2所示（1）求证：adbm；（2）若点e是线段db上的一动点，问点e在何位置时，三棱锥made的体积为考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： （1）adbmbd面adm在矩形abcd中，ab=2且ad=1；（2）三棱锥made的体积就是三棱锥eadm的体积，而三角形adm面积已知，则可以算出三棱锥eadm的高h，又由（1）可知，bm面adm，通过h与bm的比值可确定e点在bd上的位置解答： （本小题满分12分）（1）连接bm，矩形abcd中，ab=2，ad=1，m为cd中点，由勾股定理得bmam； 折起后，平面adm平面abcm，且平面adm平面abcm=am，bm平面abcm；得bm平面adm，又ad平面adm，所以adbm； （2）在bdm中，作efbm交dm于f（1）中已证明bm平面adm，ef平面adm，ef是三棱锥emad的高，=，dmb中，且efbm，ef为中位线，e为bd的中点点评： 折叠问题一般是重点分析折叠后未变的平行与垂直关系，线段的长，角度的不变的量；作为探究性问题，先把结论当成已知，然后结合已知条件列出方程求解，若有符合题意的解，则结论成立，否则不成立20已知椭圆+=1，（ab0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点f的直线l交椭圆与p，q两点（1）求椭圆的方程（2）在线段of上是否存在点m（m，0），使得（+）（）=0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 直线与圆分析： （1）根据题意可以求出b，根据离心率求出a，即可就出椭圆方程；（2）先假设线段of上存在m满足条件，先考虑两种特殊情况：lx轴、l与x轴重合，在考虑一般情况：l的斜率存在且不为0，设出l的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案解答： （本小题满分12分）解：（1）由椭圆短轴长为2得b=1，又e=，a=，所求椭圆方程为（3分）（2）假设在线段of上存在点m（m，0）（0m1），使得（+）（）=0成立，即或|=|当lx轴时，显然线段of上的点都满足条件，此时0m1（5分）当l与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0（6分）法1：当l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=k（x1）（k0）由 可得（1+2k2）x24k2x+2k22=0，根据根与系数的关系得，（8分）设，其中x2x10（+）（）=0（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0（x1+x22m）+k（y1+y2）=02k2（2+4k2）m=0m=（k0）0m综上所述：当lx轴时，存在0m1适合题意当l与x轴重合时，存在m=0适合题意当l的斜率存在且不为零时存在0m适合题意（12分）点评： 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时考查了学生分情况讨论的思想21已知函数f（x）=exax+a，其中ar，e为自然数的底数（1）讨论函数f（x）的单调区间，并写出相应的单调区间（2）设br，若函数f（x）b对任意xr都成立，则当a0时，求ab的最大值考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）通过函数f（x），得f（x），然后结合f（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；（2）当a=0时，此时ab=0； 当a0时，由题结合（1）得ab2a2a2lna，设g（a）= （a0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可解答： 解：（1）根据题意，得f（x）=exa，下面对a进行讨论：当a0时，f（x）0，函数f（x）在r上单调递增；当a0时，由f（x）=exa=0得x=lna，x（，lna）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（lna，+）时，f（x）0，f（x）单调递增综上，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（lna，+），单调递减区间为（，lna） （2）当a=0时，此时ab=0； 当a0时，由函数f（x）b对任意xr都成立，得bfmin（x），fmin（x）=f（lna）=2aalna，b2aalna，ab2a2a2lna，设g（a）=2a2a2lna（a0），g（a）=4a（2alna+a）=3a2alna，由于a0，令g（a）=0，得，从而，当时，g（a）0，g（a）单调递增；时，g（a）0，g（a）单调递减，即，时，ab的最大值为点评： 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题四、选修4-1：几何证明选讲（从22,23,24三题中任选一题作答，并用2b铅笔将答案卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分，多涂，多答，按所的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分）22如图所示，已知o1与o2相交于a、b两点，过点a作o1的切线交o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交o1、o2于点d、e，de与ac相交于点p（）求证：adec；（）若ad是o2的切线，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的长考点： 圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段专题： 计算题；证明题分析： （i）连接ab，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到bac=d，又根据同弧所对的圆周角相等得到bac=e，等量代换得到d=e，根据内错角相等得到两直线平行即可；（ii）根据切割线定理得到pa2=pbpd，求出pb的长，然后再根据相交弦定理得papc=bppe，求出pe，再根据切割线定理得ad2=dbde=db（pb+pe），代入求出即可解答： 解：（i）证明：连接ab，ac是o1的切线，bac=d，又bac=e，d=e，adec（ii）pa是o1的切线，pd是o1的割线，pa2=pbpd，62=pb（pb+9）pb=3，在o2中由相交弦定理，得papc=bppe，pe=4，ad是o2的切线，de是o2的割线，ad2=dbde=916，ad=12点评： 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题本题的突破点是辅助线的连接五、选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l在直角坐标系xoy中的参数方程为（t为参数，为倾斜角），曲线c的极坐标方程为=4cos（其中坐标原