第八讲 指数函数和对数函数.doc

第八讲 指数函数和对数函数（2）-对数与对数函数【基础回顾】一、基础知识：知识点一：对数的概念和运算性质1对数：如果，那么b称为 ，记做 ；即： .由定义知负数和0没有对数.通常以10为底的对数叫做常用对数，记做；以无理数e2.71828为底的对数叫做自然对数。记做.2对数的运算性质：3对数换底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.4对数的恒等式：知识点二：对数函数的图像和性质1形如y=logx (a0,a1)的函数叫做对数函数2对数函数y=logax（a0，且a1）的图象和性质：a1 0a1时 logx 的符号为0a0,a1)与指数函数y=a (a0,a1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于对称 4与对数有关的大小比较的基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量，4）化同底或化同指数，5）放缩法二、基础自测：1函数恒过定点 .2若函数f(x)，则f(log43)_ _.3.已知log7log3(log2x)=0，那么等于 .4.（2008全国理）若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 . 5. 函数f（x）=ln（）的定义域为 .6. 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【典型例题】例题1：计算：（1）；（2）2(lg)2+lglg5+；（3）lg-lg+lg；（4）已知用表示.解：（1）方法一 利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解= =(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245= (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)= lg10=.（4）应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示.例题2：（1）求函数f（x）=log3(x1)2的定义域、值域及其单调区间；（2）已知函数y=log(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求a的取值范围.解：（1）依题意得，3(x1)20，解得，定义域为真数3(x1)23，log3(x1)2log3=1， 即f（x）的值域是1，+）.又3(x1)20，得1x1+，x（1，1时，3(x1)2单调递增，从而f（x）单调递减；x1，1+）时，3(x1)2单调递减，f（x）单调递增.（2）因为 (x)=x2-2ax-3在(-,a上是减函数，在a,+)上是增函数，要使y=log(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，首先必有0a21,即0a1或-1a0,且有得a-.综上，得-a0或0a1.例题3：已知函数其中，设.（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；（2）若，求使成立的的集合.解：（1）由题意，得 解得故的定义域为. 的定义域为，关于数0对称，且故为奇函数. （2）由得 即，解得所求的的集合为 例题4：已知函数 ，又，求证：（1）时，对一切均有意义，反之，若对一切均有意义，则；（2）当时，求的最小值；（3）求证：对每个，的最小值都不小于1.证明（1）先将f(x)变形 f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0，令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM （2）解 设u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小 而u=(x2m)2+m+，显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 （3）证明 当mM时，m+=(m1)+ +13，当且仅当m=2时等号成立 log3(m+)log33=1 【巩固练习】1（2010年高考湖北卷文科5）函数的定义域为 2若函数f(x)=logax(2x)的最大值比最小值大1，则a=_3若函数f(x)=loga|x+1|在（1，0）上有f(x)0，则f(x)的单调增区间为 4若log4x(9x2)0，则x的取值范围为_5函数y=logax在上恒有|y|1，则a的取值范围是_6若ab1，则的大小关系为 7. 已知lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 8. 若函数y=lg(4-a2x)的定义域为R，则实数a的取值范围为 9. 函数y=log(x2-3x+2)的递增区间是 10. 已知函数f(x)alog2xblog3x2，且f()4，则f(2010)的值为_ 11若函数的定义域为M,当时，求的最值及相应的x的值12已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围13已知函数f(x)=loga (a0,且a1，b0).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x）的单调性.14已知函数，（其中实数）（）求函数的定义域；（）若在上有意义，试求实数的取值范围【拓展提高】1若函数y=log2|ax1|图象的对称轴方程x=2，则a=