第2章习题+答案-PDF.pdf

习题二习题二 2 3 已知真空中静电场的电位 x d Ux x 0 2 V 求电场强度的分布及电荷体密度 解 xx d Ux x eeE 0 2 V m 2 2 0 000 x Ex ED C m2 2 4 半径为a的圆面上均匀带电 电荷面密度为 试求 1 轴线上离圆心为z处的场强 2 在保持 不变的情况下 当0 a和 a时结果如何 3 在保持总电荷不变的情况下 当0 a和 a时 结果如何 解 1 如图所示 在圆环上任取一半径为r 厚度为 dr 的圆环 它所带的电荷量为drrdq 2 由 例题2 5 1 的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为 2 3 220 2 3 22 0 2 4zr rdrz zr zdq dE 则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为 22 0 0 2 3 220 1 22 za z zr rdrz E a z 2 若 不变 当0 a时 则 0 11 2 0 z E 当 a 则 00 2 01 2 z E 3 若保持 2 aq 不变 当0 a时 此带电圆面可视为一点电荷 则 2 0 4z q Ez 当 a时 0 则0 z E 2 5 已知某空间电场强度 zyx eeeExyxzxyz 2 问 1 该电场可能是静态电场吗 2 如果是 静电场 求与之对应的电位的分布 答案 xyzx 2 2 7 在半径为a的无限长带电长直圆柱中分布有电荷 r e 0 其中 0 均为常数 求圆柱内 外的电场强度 答案 r eE rr i e a re ara 11 0 0 r eE ar o e a ae ara 11 0 0 2 8 已知电场强度 0 0 3 3 0 为常数Ear a rE ar r Ba ar a rAr r r 2 0 2 2 2 1 3 e e E 其中A B均为常数 求此区域的电荷分布 答案 ar a r A 2 2 3 5 1 arB 2 11 计算均匀电荷面密度为 的无限大平面的电场 解 根据高斯定律有 SSDeeSDeeSDSdD zzzz s 000 2 vvvv vv 注意侧面上D0 的通量为零 由边界条件可知 2 2 0 0 0 0 zz DD 因此求得D0 2 用矢量式表示时为 0 2 0 2 0 ze ze D z z v v v 2 12 在无限大真空中 已知电位 r e r q 0 4 求对应的电场强度及电荷分布 分析分析 0 r处是 r 的奇异点 在该点应有一个点电荷 在0 r处 可由 2 0 求得电荷 体密度 而位于0 r处的点电荷 则可应用高斯定律求得 解解 1 电场强度为 rr e q r r 2 0 1 4 rr eeE 2 在 0 r 处 电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为 r r e r q Er rr 4 1 2 2 2 ED 为了确定0 r处的点电荷 作一个半径为r的球面S 由高斯定律可得到球面S内的总电荷Q为 r erqrrEQ 1 4 2 00 S dSE 该球面S内的体分布电荷的总电荷量Q 为 qerqde q ddVQ r rr V 1 4 4 0 2 2 0 故0 r处的点电荷 0 q为 qQQq 0 说明说明 在给定E或 分布 可应用 E 或 2 求电荷分布 但应注意 在E或 的 奇异点处可能有点电荷 而在E的突变面上 可能有面分布的自由电荷 2 13 一个半径为a的导体球 要使得它在空气中带点且不放电 试求它所能带点最大电荷量级表面电 位各是多少 已知空气的击穿场强为 6 103 V m 答案 3 2 max 10 3 a qC 6 max 103 a V 2 14 空气中有一内外半径分别为a和b的带电介质球壳 介质的介电常数为 介质内有电荷密度为 题 2 16 图 a b c 0 a b c 0 a b c 0 2 r A 的电荷分布 其中系数A为常数 求总电荷及空间电场强度 电位的分布 若ab 结果如 何 答案 4abAq r eE 2 1 r arA r eE 2 0 2 r abA 2 15在半径分别为a和b的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布 其电荷体密度 0 C m2 已知 外球壳接地 内球壳的电位为 0 U 如例3 3图所示 求两导体球壳间的电场和电位分布 分析分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷 由于电荷分布具有球对称性 可用高 斯定律求解 先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度 求出电场强度后 由两导体球壳间的电位差 确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度 解解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电 荷 由于电荷分布具有球对称性 可用高斯定律求解 设内 球壳的外表面上的感应电荷面密度 根据高斯定律 有 2233 00 4 44 3 r Eara bra 所以 23 0 22 00 3 aa E rr rr bra 由 23 0 0 22 00 d d 3 bb aa aa UE rrrr rr 222 0 00 32 a babaa ba bb 得到 22 000 2 6 bU baba a baa 故两导体球壳间的电位分布为 23 0 22 00 d d 3 bb rr aa rE rrrr rr 2223 0 00 32 a brbra br brbr 说明说明 此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布 用高斯定律求电场时 必须注意考虑 感应电荷产生的电场 2 16电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中 体密度为 0 C m2 两圆柱面半径分别为a和b 轴线 相距为c abc 区域中 22 00 1 2 00 22 r bb rr r Ee 22 00 1 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 22 11 22 0 2 ba rr rr EEE 在br 区域中 同理可求得大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 2 2 00 22 r r r r Ee 22 2 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 2 0 22 2 0 2 a r r EEEr 在ar 的空腔区域中 大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 2 00 3 00 22 r r r r Ee 2 00 3 00 22 r r r r Ee 点P处总的电场为 00 33 00 22 EEErrc 说明说明 对于这种看似不对称的问题 有时可用叠加原理将其化为几个对称问题 再用高斯定理求解 关键在于怎样才能够将不对称电荷分布化为对称电荷分布的叠加 2 17圆柱形电容器外导体内半径为b 内导体半径为a 当外加电压U固定时 在b一定的条件下 求使电容器中的最大电场强度取极小值 min E的内导体半径a的值和这个 min E的值 分析分析 由于圆柱形电容器内的场强与半径成反比 所以内导体表面上的电场强度最大 内导体半径 a的值不同时 电容器中的最大电场强度的值也不同 当内导体半径a取某一个值时 最大电场强度会 出现极小值 解解 设内导体单位长度带电荷为 l 利用高斯定律求得圆柱形电容器中的电场强度为 0 2 l E r r 由内外导体间的电压 00 ddln 22 bb ll aa b UE rr ra 得到 0 2 ln l U b a 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 ln abr U rE 在圆柱形电容器中 ar 处的电场强度最大 ln aba U aE 令 aE对a的导数为零 即 22 1 ln 1 0 ln E ab a aab a 由此得到 1 ln ab 故有 718 2 b e b a b U U b e E718 2 min 说明说明 电容器中最大电场强度的值越小 电容器能承受的电压越高 当电容器中的最大电场强度 取极小值 min E 时 电容器承受的电压最大 因此在设计时 应使电容器的内外半径之比满足一定的条 件 2 18一个半径为R介质球 介电常数为 球内的极化强度 r eP r K 其中K为数 试计算 1 束缚电 荷体密度和面密度 2 自由电荷密度 3 球内 外的电场和电位分布 分析分析 由于已知极化强度P 由于 P p np eP 故可求出极化电荷分布 再利用 0 DEP和 D 求出自由电荷体密度 解解 1 介质球内的束缚电荷体密度为 2 2 2 2 2 p 11 r K r K r rd d r Pr rd d r r P 在rR 的球面上 束缚电荷面密度为 R K P Rrr np eP 2 由于 0 DEP 所以 0 P E 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 0 2 2 0 2 2 11 r K Pr rd d r Dr rd d r rr D 总的自由电荷量 2 2 0 00 14 d4d R KRK qrr r 3 介质球内 外的电场强度分别为 1 00 r K r P Ee rR 介质球内 外的电位分别为 112 ddd R rrR E rEr El 2 000 dd R rR KRK rr rr 000 ln KRK r rR 22 2 00 dd rr RK Err r 00 RK r rR 说明说明 虽然介质是均匀的 但极化强度P不是常矢量 所以介质的极化是非均匀的 因此 介质 体内可能有极化电荷 此即意味着介质体内有自由电荷分布 但介质表面上通常不存在面分布的自由电 荷 2 19设平行板电容器的极板与x轴垂直 平行板内介质的介电常数为 1 xK 其中K为常数 若 0 x处的极板接地 dx 处的极板电位为U 试求介质中电场的分布及电容器的电容 提示 平行 板内的介质不均匀分布 答案 1ln d K C 2 20无限长同轴电缆内外导体的半径分别为 1 r和 2 r 单位长度的带电量分别为 0 和 0 两导体间 填充介质 介电常数为 r K 其中K为常数 试求介质中的电场强度 极化电荷的分布 答案 r eE K 2 0 Kr p 2 00 1 00 1 1 2 rK r p Kr r p 0 2 0 2 1 2 2 21自由空间均匀电场 0 E中有一厚度为d的无限大均匀介质板 介质板的相对介电常数为4 r 介 质板的法线方向与外电场方向夹角为 1 求 1 使介质板内电场方向与板的法线方向夹角为 45时的 1 值 2 介质板表面的极化电荷面密度 分析分析 当无限大介质板放入均匀电场中时 介质表面上有均匀分布的极化电荷 极化电荷在介质 内产生均匀电场 而在介质外产生的电场为零 故介质外的电场不变 根据静电场的边界条件 即可求 得 1 以及介质板表面的极化电荷密度 解解 1 根据静电场的边界条件 在介质板的表面上有 01 2 tan tan 由此得到 111 020 1 tan1 tantantan14 4 o 2 设介质板中的电场为E 根据分界面上的边界条件 有 00nn EE 即 001 cos n EE 所以 0 010 1 coscos14 4 n EEE o 介质板左表面的束缚电荷面密度 00000 3 cos140 728 4 pn EEE o 介质板右表面的束缚电荷面密度 00000 3 cos140 728 4 pn EEE o 说明说明 在此题的求解中 外加电场是均匀的是关键 当外电场不是均匀场时 介质表面上的极化电 荷亦不均匀分布 极化电荷在介质内外均要产生电场 则不能这样简单的求解 2 22两种电介质的相对介电常数分别为2 1 r 和3 2 r 其分界面为z 0平面 如果已知介质1中的 电场为 zyx eeeE 5 32 1 zxy 那么对于介质2中的 2 E和 2 D 你能得到什么结果 分析分析 在两种电介质的分界面上 不存在面分布的自由电荷 根据静电场的边界条件 在两种电 介质分界面0z 处 有 12 0 z eEE 12 0 z eDD 由此可求出介质2中的 2 E和 2 D在 分界面z 0处的表达式 解解 设在介质2中 2222 0 0 0 0 xxyyzz x yEx yEx yEx y Eeee 202202 3 r DEE 例 3 9 图 0 E 0 E 0 E 2 1 题 2 21 在0z 处 由 0 12 EEez 和 0 12 DDez 可得 22 002 23 0 0 2 53 0 xyxxyy z yxEx yEx y Ex y eeee 于是得到 222 0 2 0 3 0 10 3 xyz Ex yyEx yxEx y 故得到介质2中的 2 E和 2 D在0z 处的表达式分别为 2 20 0 23 10 3 0 6910 xyz xyz x yyx x yyx Eeee Deee 说明说明 边界条件给出的是边界面上的场矢量之间的关系 一般情况下 介质中任意点的电场与边界 面上的电场是不相同的 如果介质中的场是均匀的 则边界面上的电场与介质中的电场相同 在本题中 由于是非均匀场 介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的 2 24两块无限大接地导体平面分别置于0 x和ax 处 其间在 0 00 axxx 处有一面密度为 0 C m2的均匀电荷分布 求两导体板之间的电场和电位 分析分析 在两块无限大接地导体平面之间 除 0 xx 处有均匀面电荷分布外 其余地方均无电荷分 布 电位满足一维拉普拉斯方程 再根据导体平面上以及 0 xx 处的边界条件 即可求出电位分布 解解 在两块无限大接地导体平面之间 除 0 xx 处有均匀面电荷分布外 其余地方均无电荷分布 电位满足一维拉普拉斯方程 2 1 0 2 d 0 0 d x xx x a 2 2 0 2 d 0 d x xxa x 由此可解得 1110 0 xC xDxx 2220 xC xDxxa 1 x 和 2 x 满足的边界条件为 1 0 0 2 0a 1020 xx 021 0 0 xx x x xx 于是有 1 22 101202 0 21 0 0 0 D C aD C xDC xD CC 由此得到 00 1 0 xa C a 0 1 D 00 2 0 x C a 00 2 0 x D 所以 00 1 0 ax xx a 0 0 xx x 0 x y 0 o 1 x 2 x 题 2 24 图 00 2 0 x xax a 0 xxa 001 11 0 d d xx axx x xa Eee 0 0 xx 002 22 0 d d xx xx x xa Eee 0 xxa 说明说明 对于这种具有面分布电荷的问题 以电荷所在的曲面为边界划分求解区域 把电荷面密度归 结到边界条件中 求出各区的电位通解后 再由边界条件确定系数 这是一种常用的处理方法 此外 由于电场分布具有平面对称性 此题也可用高斯定律求解 2 27球形电容器的内导体半径为a 外导体内半径为b 其间填充介电常数分别为 1 和 2 的两种均匀 介质 如图所示 设内球带电荷为q 外球壳接地 求 1 两球壳间的电场和电位分布 2 极化电荷 分布 3 导体表面上的自由电荷面密度 分析分析 由于电场方向沿径向 所以在介质1与介质2的分界面上 电场与分界面平行 即为切向分 量 根据边界条件可知 21 EE 但 21 DD 故在半径为 brar 的球面上E相等 仍可用高斯 定律求电场 解解 1 由高斯定律 有 2 12 d2 S rDDq DS bra 由 111 DE 222 DE 以及EEE 21 可得两球壳间的电场和电位分别为 2 12 2 r q r r Ee bra 2 12 1 d 2 b r q rr r 12 2 q br br bra 2 介质中的极化强度 10 1101 2 12 2 r q r PEe 20 2202 2 12 2 r q r PEe 故介质题内的极化电荷体密度 2 10 11 22 12 1 d1 0 2 d p q r rr P 2 20 22 22 12 1 d1 0 2 d p q r rr P 介质的内表面上极化电荷面密度为 10 11 2 12 2 parr a q a e P 20 22 2 12 2 parr a q a e P 介质的外表面上极化电荷面密度为 10 11 2 12 2 pbrr b q b e P 20 22 2 12 2 pbrr b q b e P 两种介质的分界面上 1212 0 p ePP 3 内导体表面上自由电荷面密度为 1 11 2 12 2 arr a q a e E 2 22 2 12 2 arr a q a e E 外导体的内表面上自由电荷面密度为 1 11 2 12 2 brr b q b e E 2 22 2 12 2 brr b q b e E 说明说明 当存在介质分界面时 有两种情况可用高斯定律求解 一是在介质分界面上电场只有法向分 量 另一是在介质分界面上电场只有切向分量 前一种情况D成对称分布 后一种情况E成对称分布 应用高斯定律求解后一种问题的关键在于将 111 ED 222 ED 以及 21 EE E代入高斯定律中 b a 2 1 题 2 27 图 2 28已知某平行平面场 000 0 byyaxx 写出该边值问题的方程 解 axby y axy byax byx byax yx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 30边长为a的正方形金属槽 如图所示 已知 0 0 sinsin 01 ayax b y a x Uayx 0 0 sinsin 02 azax b y a x Uzax 其他四面电位都为零 式中 0 U为常数 求金属槽内的电位分布 提示 利用叠加定理对系统 拆分求解 答案 a y a z a z a y a xU zyx 2 sinhsin 2 sinhsinsin 2sinh 0 2 31一电荷量为q 质量为m的小带电体 放置在无限大导体平面下方 与平面距离h 求q的值以 使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡 设 3 102 mkg 02 0 hm 解 静电力恰与重力相平衡 即 2 0 2 2 4h q mg 故 82 0 109 516 mghq C 2 33两个电荷分别位于两种介质中 两种介质的分界面为无限大平面 介电常数分别为 01 和 02 2 点电荷q1与q2相对于界面为镜象位置 相距为2h 求 1 点电荷q1与边界距离一半处的电 位 2 q1所受的力 解 利用叠加定理与镜像法将原问题分解 其中 111111 21 21 1 3 4 3 1 qqqqqqq 222222 12 12 2 3 2 3 1 qqqqqqq 故 h qq h qq h q A 1 21 1 21 1 1 9 4 2 3 4 2 4 h qqq h qq h qq qEqF qq 1 21 2 1 2 1 21 2 1 21 11 9 2 48 2 4 11 y x 题 2 30 图 z a a a 1 2 2 1 q1 q2 h h 2 1 q1 21 qq 2 1 A q2 h h h h 21 qq 2 34一半径为R的金属半球置于真空中一无限大接地导电平板上 球心正上方有一点电荷q 如附图 所示 求镜象电荷的大小 数量及位置 点电荷受力 解 利用叠加定理与镜像法将原问题分解 其中 h R b 2 q h R q 故 2222222 0 2 222 0 4 1 4 2 4hRh Rh Rh Rhq h q bh q bh qq qEF qq 2 38半径为R的空心球金属薄壳内 有一点电荷q 离球心距离为b Rb 的区域内 可取半径为r的同心球面为高斯面 如题9图所示 高 o a max E a b a 0 0 q h q h b b h q q q r 斯面上各点的电场E与面元dS的方向相同 于是 由高斯定理 有 0 2 4 q ErdSEdSE ro S ro v 所以 2 0 4r q Ero 矢量形式为 4 2 0 ar r q ro eE 在ar 的区域内 同样可作出半径为r的球面为高斯面 于是 有 q ErdSESdE ri S ri 2 4 vv 式中q 为高斯面内的电荷 其值为 3 3 3 33 3 43 4 3 4 a qr a q rrq 所以 44 33 ar a qr a qr Eri ri eE 或 当ar 时 由上面的推导结果得出 2 max 4a q Eri 2 0 max 4a q Ero 一般情况下 介质的相对介电常数都会大于1 因此 球内表面电场一定会低于球外表面的最大 值 即穿过球表面的电场强度值不连续 其空间电场分布示意图如图所示 2 介质的极化强度为 r eEP 3 0 0 4 a rq i 故体极化电荷密度和面极化电荷密度分别为 3 02 2 4 31 a q Pr rr rp P 注意要用球坐标系散度