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等差数列与等比数列的基本问题等差数列和等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差数列和等比数列的定义、通项公式等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解题方法灵活多样，技巧性较强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。例1 (2007年高考山东卷文科试题)小结 由于数列是高考的必考知识点，所以在历年的高考试卷中，用有关概念、公式求解一些基本量（a1、n、d、q、an、sn）问题，判断或证明一个数列是等差数列或等比数列，并由此求其通项公式、前n项和Sn或确定an与Sn的关系问题也是高考命题一直考查的热点。等差数列与等比数列的性质问题由于等差数列和等比数列运算的灵活性与技巧性较强，因此考生要学会借用等差数列和等比数列的性质来解题，以达到选择捷径、避繁就简、合理解题的目的。例2 （2007年高考湖北卷理科试题）小结 在等差数列an中，若m、n、p、qN*, 且mn=pq，则有am+an=ap+aq. 利用这一性质求解某些等差数列问题，可以将问题化难为易，化繁为简。久考不衰的递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化成等差数列或等比数列问题来解决，这类问题多年来一直是高考久考不衰的热点题型，尤其以2007年全国各省市的高考试卷最为明显。例3（2007年高考全国卷二理科试题）例4（2007年高考北京卷文科试题）小结 此种类型的试题是考生容易丢分的题型。求递推数列的通项公式的思维方向是转化与化归，这样处理问题的目的是化陌生为熟悉，当然首选方向是化成等差数列或等比数列，也可通过构造把问题转化，然后根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，从而达到转化的目的，特别需要说明的是， 与 的关系问题（考生易漏掉 时的情况）历来是高考考查的热点问题。在历年的高考试卷中，最常见的求递推数列通项公式的类型有：an+1=an+f(n)型; an+1=f(n)an型; an+1=pan+q型; an+1=pan+f（n）型; an+1=panqn型; an+2=pan+1+qan型; an=Sn-Sn-1（n2）型。数列与不等式的综合问题数列与不等式是高中数学的重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法是数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现，以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。例5 （2007年高考重庆卷理科试题）小结 有关数列与不等式的混合型考题，是多年来在高考试卷中出现频率最高的题型。此题从不同的角度分别使用了证明不等式的常用证题方法比较法、逐项放缩法和数学归纳法。2007年高考新颖靓题欣赏与品味高考命题为了有效检测考生的思维水平和学生潜能，提出了不拘泥于中学教学大纲的要求。据此，命题者所受束缚减少，自主发挥的空间增大，所命制的试题往往内涵丰富，立意新颖，表达脱俗，背景鲜活，设问独特，让人赏心悦目，回味无穷。考生中能者攻之，不能者避之或瞎碰，这在一定程度上体现出考生的综合实力及数学态度与情感。这些新颖的靓题或信息迁移或贴近生活或探究应用，不一而足。让我们共同欣赏、品味。一、 新颖的背景中见创新题1（四川卷理科第11题）思路分析 本题粗略一看，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，给人一种无从下手的感觉。这就需要我们实际操作和巧妙设计，要求同学们要具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策。其实就是一个平面几何题或三角题，为此可考虑平面几何、解析几何、三角函数、向量等方法求解等多种思路。A、B分别作的垂线BD、AE与的交点为F，设正三角形边长为a，则由勾股定理得： 所以有.故选D.欣赏与品味 本题看似平淡无奇，但却有效考查了考生的数学素养与数学视野、开阔的思维、解题的智慧，在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力占全了。是一道精彩的好题！所以我们平时就要扎扎实实以熟练主干知识为成头，注重对通性、通法的训练和数学思想方法的强化，进一步提高解决问题的能力。二、 以数学文化为背景创新题2（北京卷理科第13题）思路分析 通过阅读题干，了解数学文化；国际数学家大会召开的时间、地点、会标，数学家赵爽弦图等知识背景。图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，所以每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为，则所以两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cos2= 2cos2 1 = .欣赏与品味 本题主要考查了勾股定理、解三角形，二倍角公式、读图、识图、阅读理解能力和基本运算能力，其背景融合数学历史（文化），耐人寻味，易错点是不能正确理解题意。在解答信息型的新型题时，要透彻理解问题中的新信息。题目本身不难，属于低档题，本题既考了知识，又教给了我们新知识，从而提高同学们的数学素养，增加同学们的爱国心，题中所蕴涵的精神食粮颇多，是一道素质教育的好题。题3 （湖南理科第15题）思路分析 由图形知，第1行11第3行1111第7行11111111211=1221=3231=7由不完全归纳知，全是1的是（2n1）行。当n=6时，第261=63行全是1共64个1，根据规律写出62，61行来：61行110101162行10100163行11111132个132个164个1欣赏与品味 本题大胆地对著名的“杨辉三角”实施变换，考查学生观察问题、分析问题、探寻规律及操作（归纳）能力。本题的关键是利用第一个结论先写出第63行的各个数，因为计算量不大，直接写出来，也是一个可行的办法。三、 创新定义题4 （陕西卷理科第12题）思路分析 认识新定义的意义，注意被4整除的剩余类的意义，取特值验证，逐一研究。满足；不满足；不满足；不满足；不满足；不满足；满足；综上研究可知：有2个满足，选C欣赏与品味 以被4整除的剩余类的意义作为新定义，考查学生阅读理解反馈处理信息的能力，按定义要求一一验证是求解的关键。易错点是新定义的被除4除的剩余类理解不到位或列举不详细致错。题5 （广东卷理科第8题）思路分析 此题以集合为载体，通过新定义二元运算“*”，考查同学的阅读理解能力和看问题要抓本质的科学态度，必须一丝不苟地严格按照定义进行运算。在选择支A中，故A不成立；选择支B中，,故B成立；选择支C中，,故C成立；选择支D中，,故D成立，故选A。欣赏与品味 考查了阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力。要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考查在新的信息、新的情境下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力。题6 （湖北卷理科第6题）思路分析 由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即比值不唯一，则命题乙不成立，故选B。欣赏与品味 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。若是等比数列，则公比应唯一确定。易错点是由得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C。题7 （福建卷理科第16题）思路分析 根据关系“”的条件，可知对图形A，B，C，显然有A与A全等；若A与B全等，则B一定与A全等； 若A与B全等，B与C全等，则A与C一定全等；同理相似也满足题意，另外“非零向量的共线”，“命题的充要条件”也是满足题意的，故答案是开放的、不唯一的：如“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等等。欣赏与品味 本题考查学生分析问题和解决问题的能力,考查学生的创新意识,正确理解等价关系的三个条件是关键，易错点是忽略自反性，从而举例出错。这是一道信息给予题，命题中引进了中学数学中未曾见过的一些“新概念”，这些新概念有着高等数学的背景，却与中学数学有着密切的联系（比如传递性，我们在不等式的性质中见过）。对考生的阅读理解能力及中学数学的领悟程度能有效检测。四、 知识迁移见创新例8 （湖南卷理科第10题）思路分析 容易知道，M的含两个元素的子集有C=15，排除不合要求的即可。现要求min，因为 所以不能同时出现，最多出现一个，同理最多出现一个，最多出现一个，故K的最大值=15211=11，故选B。欣赏与品味 以集合为载体，考查排列组合知识，其中的难点在于对min的理解，将它翻译为：两个集合中的元素必须满足不相同，则本题可顺利求解。五、 贴近生活见创新题9 （江西卷理科第8题）思路分析 因为各酒杯杯口半径相等，即上底面积相等，内空高度相等，且饮去上部一半，故下部越细，剩余酒高度越高，故应有，应选A。欣赏与品味 旋转体在现行的教材中己被删掉，而命题者却大胆将四种旋转体集在一起，与日常生活中的酒杯形状联系起来，巧妙设问，考查学生的空间想象和直觉（逻辑）思维能力，主要考查几何体的体积，掌握几何体的体积与高度的关系，及体积的变化引起高度的变化；考查空间想象能力及逻辑推理能力。题10 （安徽卷理科第21题）思路分析 注意实际问题的意义，表示到第n年末所累计的储备金总额由两部分构成。到第n-1年末所累计的储备金总额在这一年的变化后的本息和和这一年的交纳养老储备金，则 反复使用递推关系迭代.因为对上式乘以公式1+r得作差有所以数列是以为首项，（1+r）为公比的等比数列，是以-为首项，为公差的等差数列.欣赏与品味 以应用问题为背景考查等差和等比数列的概念和应用，考查学生阅读资料，提取信息建立模型的能力，从递推关系的建立到迭代化简以及“错位相减法求和”，对思维能力特别是平坦的学习积累要求很高，再加上的最后变形构造等差和等比数列解决存在性问题，一般学生很难完成，易错点是公差、公比的意义在实际生活中的认识不到位，递推关系的探究不彻底，迭代法求通项和“错位相减法法求和”的意识差。用函数观念认识等差和等比数列的通项不到位。本题的背景贴近生活，与我国将逐步步入老龄化社会的现实相联系，引导考生注重数学在生活及其他方面的应用，体现数学的应用问题俯拾皆是，卷卷都有。六、 创造数学之美题11 （上海卷理科第21题）思路分析 因为 ,所以,于是所求“果圆”方程为 由题意,得a+c2b,即2b-a.因为所以,得又,所以,所以. 设“果圆”C的方程为记平行弦的斜率为k,当k=0时,直线t=t（-btb）与半椭圆的交点是P（a）,与半椭圆的交点是Q（-c）,所以P,Q的中点M（x,y）满足,得因为a2b,所以综上所述,当k=0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上.当k0时,以k为斜率过B1的直线与半椭圆的交点是.由此,在直线右侧,以k的斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上.当k0时,可类似讨论得到平等弦中点轨迹不都在某一椭圆上欣赏与品味 数学之美,在于创造,基本图形经过“嫁接”,创造出一个新的图形,并为其命名为“果圆”,这不是无中生有吗?正是这样的创造与挖掘,让人眼前一亮,悟到了数学的奇异与美妙,获得了精神的享受.此外,本题的问题的设计也别出心裁,值得琢磨.试题科学、试卷平稳是高考命题的首要目标，展露新意、闪现亮点是高考命题的第二道追求，由此可以预测：新意题、亮点题具有以下特征：第一，多属新信息迁移题，在教学中即要适当拓宽学生的数学知识视野，也要加强自主获取知识能力的训练与培养；第二，常规考点经过适当包装，要求学生不为表象所惑，善于抓住问题本质；第三，常规考点的组合联袂，在解答时只需抓住基本知识，加以合适组合，问题便可迎刃而解；第四，属于能力立意的，知识虽是新的，能力却不超纲，在教学中除了强调知识的获取，也要注意能力的培养。悉心分析高考题型 备战数列二轮复习 罗田县育英高中 王卫兵纵观近几年各地高考数学试题，数列这一章节内容所占题量多为一小一大，分值为17分左右，下面我就从题型及内容的角度，谈谈这章在二轮复习中应涉及的问题。一、 直接考查列等差、等比数列的通项、前n项和公式，以及它们的简单性质的题型。等差、等比数列是这章的基础和重点，这类题在高考中一般出现在小题中，属较易题，只要公式熟练，经过简单计算或变形就可以得分的，所以考生在这类题上不应丢分。如07全国（理）T16， 07天津（理）T13, 05福建（理）T12, 06全国卷一（理）10等练习：07湖北（理）T88.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是A.2 B.3 C.4 D.5 提示：本题要是利用等差数列的性质： 则更易二、可转化为等差、等比数列的题型这类题关键是通过对已知条件的变形，构造出新的数列，最后变成等差、等比数列的问题，这类题目 s1 (n=1)解题过程中常用公式= Sn-sn-1 (n2) 还要注意新数列的首项的计算。如：06江西（文）T22第一问 06山东（理）T22第一问， 06全国卷一（理）T22第一问， 07全国卷一（理）T21练习：（2006年福建卷）已知数列满足（I）求数列的通项公式；简解是以为首项，2为公比的等比数列。即=1三、特殊数列的求和问题在这类题中，裂项法和错位相减法这两种方法在高考中常考不衰，我们应引起足够重视。裂项法的关键是要熟悉常见的裂项公式；而错位相减法则必须认识到要求和的数列必定是具备的形式 其中和分别是等差、等比数列。如：06山东(理)T22第2问， 06湖北（理）T17第2问， 06全国卷一（理）T22第2问，06江西（文）T22第一问练习：07山东（理）T17：设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和以上题型虽然是高考中的重点，但考虑到在第一轮复习中讲得比较多，在这里我就从略阐述。下面着重谈谈以下几类问题： 四：数列与不等式的交汇 这类题是高考中综合题常考的模式，在解题过程中多与做差比较法、均值不等式、放缩法等联系密切。如： 07重庆（理）T21第二问， 07广东（理）T21， 07天津（理）T21 , 07江西（理）T22 , 07 湖北（理）T21 ，07全国卷一T21例：07全国卷二(理)T21设数列的首项（1）求的通项公式（2）设，证明，其中为正整数解：（1）由 整理得 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故 那么， 又由（1）知且，故， 因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数 练习：05全国卷一T19:设等比数列 的公比为q,前n项和0 ( n=1,2,-)(1) 求q的取值范围。（2）设,记 的前 n项和为，试比较和的大小五：数列与函数、导数的交汇其一：数列本身就是一类特殊的函数，其二：只要将函数中的自变量x用数列，函数f(x) 用f（）来表示的话，数列就可以和函数天衣无缝的结合在一起了，再者：函数又有图像，也就很容易与其切线、切线的斜率（即函数的导数）结合了。如：04天津（理）T21, 07广东（理）T21, 06湖北（理）T17, 06浙江（理）T20, 07辽宁(理)T21，06安徽（理）T20, 04辽宁（理）T21, 06陕西(理)T22, 06四川(理)T22例：06湖北(理)T17：已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）0 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.2.（2007山东理）设数列满足a1+3a2+32a3+3n-1an=. ()求数列的通项；（）设bn=，求数列的前n项和Sn.解: (I)验证时也满足上式，(II) ，3.（2006全国卷理）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) ）.f(x)是f(x)的导数.设a11，an+1=an-(n=1,2,). (1)求、的值；(2)证明：任意的正整数n，都有ana; (3)记bn=(n=1,2,),求数列bn的前n项和Sn.解:(1) 由 得 (2)(数学归纳法)当时,命题成立;假设当时命题成立,即,又等号成立时时,时命题成立;由知对任意均有. (3) 同理 又 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;.10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数解：由已知可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=.11（2007辽宁文）已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式（）解：由题设得，即，所以数列是公差为2的等差数列，又c1=3,其通项公式为（）解：由题设得，令，则。易知d是首项，公比为的等比数列，通项公式为d由于解得a。求和得。12.(2005上海文、理)假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.第三章.数列基础知识整理一 数列的概念： 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5数列的图像都是一群孤立的点.6数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7有穷数列：项数有限的数列.例如，数列是有穷数列.8无穷数列：项数无限的数列.9递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式。（说明：递推公式也是给出数列的一种方法）10与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.二 等差数列：1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即=d ，（n2，nN），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.2等差数列的通项公式： 注：有时用或=pn+q (p、q是常数)表示3有几种方法可以计算公差d d= d= d=4等差中项：成等差数列5等差数列的一个重要性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )6.等差数列的前项和公式： 公式1： 公式2： 7.，当d0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用:当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由