均匀圆球对平面波的散射.pdf

第 11 卷第 3 期 19 96 年 9月 电波科 C H水ESEJO URNA L潇 学报 R A D IOSCIENCE V o l 11 N o 3 S e ptemb er199 6 丫 均匀圆球对平面波的散射 江长荫 中国电波传播研究所 新乡 4 53 3 摘要 本文 给出均 匀团球对平面波散 射 Ml e理论 的详细推导 散射场来数与散 射 角函数的递 推公式 散射场与各种截面的计葬步骤 特例与应用实例 它全面 完 整 实用地论述了Mi e理论 关键词 球散射 Mi e理论 截面 中图法分类号 T N0 11 T heSe attering o f a Pla n e W ave byH o m oge n e ous SPher e Jia n gC ha ngyin Chin aR e s e a reh In stitute o f Ra di owav e Pr o P ag ati on X in xia ng H enan 455003 Ab s t ra c t Thisa r tiel ep r e s e ntsa de t ai同 ded v atio noft卜e s c atteri嗯ofapla n e w av e 卜 yhom o g e ne ous 叩her e Mi etheo r丫 the re c u rr en e e f o rmul ae O f the c o e ff ieientso f叱at ter曰fiel d s andthea ngul ar fun c tio n sof 哪 tter ing tl一eeomputationalpro cedur e o f s c atter目 6el d sa nde s e eti on s Iimiting e a s e s a nde x ample s o f ap p一 iea t i o n Itha s dis c u d the Mie theo ryeo mprehensively c o m pktelya ndPr a ctieall y K ey w o rd s 反 attedng by aspher e Mie the or了 C 毗 tio n 1 泣 卜 l 口 三 1908年G Mi e给出 了均匀圆球对平面波散射 Mie理论 的严格解 习 它是著名的经典理 论 用途广 由于历史原因 方法繁琐 而且没有涉及截面间题 后来的著作 2一17 都有Mi e 理论的内容 其中著作 3 4 推导较详细 但都着重散射场 由于推导较繁而没有计算截面公 式的详细推导过程 或者引用光学定理 又称前向散射定理 推导衰减截面 文献 1幻在前言中 写道 虽 然均匀介质圆球形粒子散射函数的严格数学表达式在本世纪初己由Mi e 导出 但国 内尚无一本书藉详细介绍其数学推演过程 文献 18 的作者们参考文献 3 2 5 幻在这 方面做了较好的工作 但遗憾的是在截面方面 只推导 了单站雷达截面 因为对这两个截面的 推演还各有一段很繁琐的过程 而直接给出 散射截面 与衰减截面 与著作 1一18 比较 本文推导详细 尤其是各种截面 给出了各种截面的定义及它们之 间的关系 散射场系数与散射角函数的递推公式 散射场与各种截面的计算步骤 七个特例与 四个应用实例 全面 完整 实用地论述了 Mi e 理论 为了让更多的读者掌握本文内容 文中只 用 到 了Be s s el函数 L e g e n dr e函数 r函数与电磁场理论的基本知识 发表本文的目的是让读 本文 1 99 5 年1 2月收到 66 电波科 学学报第n卷 者不再重复进行繁琐的数学推导 放心 正确 理解地使用 Mi e理论及其特例 的公式 明确各 种截面的含意及它们之间的区别与关系 了解Mi e理论在 电波传播方面的应用 2 问题提出 在相对介 电常数为 导磁率为 产 4二X 1 0 一 享 利 米 电导率为 的空间 放置一半径为 a 相 对介电常数为 介 导磁率为 产 电导率为几的均匀圆球 直角坐标系 一工夕之 的的原点 在 圆球中心 图l 入射平面波沿 z 方向传播 其电场强度几沿 x 方 向 磁场强度从沿 y 方向 角频率为 的正弦波的时间因子取为 e一泪 片 图 1 均匀国球对平面波的散射 Fig一 反 tter ing o f a p 1 8 ne w a ve byho m 娘 e n e o u s 即he r e 令 n 一 石 1 则圆球外空间的波数为 一 石 一 2 式中k 0 一 誉 一 枷 自由 波 一念 为自由 间 速 一斋法 米为自由 间 常数 又为自由空间波长 均匀 圆球的复相对介电常数为 几 乓 乓月 l 肠悠 令 n 一 石 一 3 式中 了 1 厂 a 心百L 心雌 4 l w e 习一 胜 J e一 乓 21 万一 户 心万L 心雌 5 复波数为 差 一 石 差 一 差 6 入射平面电磁波为 第 3 期江 长萌 均匀圈球对平面波的散射 产 声 月了U O J 了 了 凡 E 0 产一E o产 凡 凡 二 万 掣尹 产 掣尹 1 一 2 1一 2 1 式中 E 为电场强度幅度 常数 厂 万 1 压 z 0 乙 V 藕 蔺V百 一 不 Z 为自由空间波阻杭 r 夕为球坐 标系 r 夕 妙 标 9 6从 z 轴起算 尹从 x 轴起算 向y轴为正 坐 为了便于应用边界条件 需将入射平面波 7 8 式 用 Le g e n dr e 多项式展开 系数含球 B es s e l 函数 入射平面波与 沪无关 在球坐标原点有限 因此可利用B au e r 公式山 尹 一 习i l 21 l 二 k r P t eo s 10 1 0 式中 卜 孺 十 为球 Be s s e 函数 J l k l 为 合 阶B e s se 函数 几 x x Z 一l 己 一材 上 2 l 为 Leg endre 多项式 x eo s夕 3 散射电磁场 在球坐标系中 设电He r t 矢量斌与磁H e r t 矢量几均只有径向分量 即 分量 即 欢 仄及 瓦 一 H 砚 式 中二为 方向的单位矢量 欢的模 I I 与瓦的模H 分别满足方程 2 0 护几 1 二 飞 叶 一 气 下 d r r S ln口 sin 夕 护几 塑 1 衬 J 矛 尸仄 O 障 6 护刀 一了护 二 十 C阶 尸sin夕 警 扁 鲁 扁警 二 一 H J 二 与节 杯为 Ue b y e 仅 分别 满足 彼动万住 几一 r 或 二 2 孕 甲 2 今 k Z kZ 钊 钊 上四式中的 k 为波数 用电磁He r t 矢量表示的 电磁场及其各分量为 老 甲 x 甲 x 万 i呷甲x 瓦 万 一i 甲x 斌 7 x 甲 x 瓦 二 一 势 几 1 护及 1 产 扔 才二a 一 下厂二万泞 尸节 下了 r Or 刃 rs ln口 今 11 12 6 8 吧 汲 竹罕甲 狱 弟n卷 口 一 州一 一 曰 一 一 一 叫州 口一 山 一 E 一 溢纂 一 臀鲁 二 一 攀 二 13 14 H H i姚刁刀 r si ns 即 护刀 十留 15 1一 r 丛坤 若 峨 刁刀 1 一二万叫 州 卜一二了汤 rd 口r吕In口 16 上 式中的 为介电常数 产为导磁率 由 7 1 与 11 式可得入射波的电场径向分量 凡与电H e r t 矢量模几 凡 凡co s脚n 6 E oc o s娜n 护 1 家今卿暴 产 少互磐 全 竺卯 2 1 1 k r 竺导 竺 些 1 因 l 诬二石 u 17 引入 R i e e ati一B es sel函数 一 差 卜 抨 十 eos k r 一 丝土卫2匹 2 曰 当丸r c o时 18 d只 eo s夕 d夕 一科 e o ss 19 式中 月 eo s a 月 x 一 一 x 奋d只 x dx 1 上 二j 万气i 一 X 一夕名 乙 一 忍 d x Z 一1 dx 1 20 为一阶l次连带 L egen dre函数 且 P孟 eo s夕 o 故 17 式为 二 一 止樊军臀交 尹 2 再 月 eo sa 构r少 不压 21 另一方面 根据球B e s se l函数五 k r 咖 k r k r 满足球B e s se l 方程可得 坐典 望 过 k釜 咖 k lr Ur l l 1 一下厂一哟 局月 因此由 1 1 2 1 式与上式可得入射波的电H e r t 矢量模为 几 一 些嘿丝免 票牛 粤 丈咖 毛 科 c o s 6 纪i 不石 丫 i 22 同样由 8 10 与 14 式可得入射波的磁场径向分量月 分与磁 He rt z 矢量模几 E 0 二 l E0 s i n甲 于 1 爪 万 介 H sin 邻i n s 寻 sin 件i n 6 e 动1 一 分召 干淤 州 i 21 l 咖 k r 月 e o ss 一 一 尸 一 乙一 一 尸一 kl r 22 留 一 了 一 一 一 iE osin 甲子 21 1 n l 一 H 一共器毕 l l 丁共二号丈咖 k l r 尸矛 c0 50 23 一 对Z 留 l l l 刀 一r 一 一 由于均匀圆球的对称性 球外空间散射电磁场与球内电磁场的极化应与入射波 的极化相 同 参照 22 与 23 式 同时考虑到在远区散射场应是沿径向向外传播的行波 故可假设散射 此式是Fe rr e r关于 州 x 的定义 若按Ho bs o n 定义则右边多一负号 第3期江长荫 均 匀 国球对 平面波的散射 场的电磁H e r t 矢量模几与刀翻分别为 几 一 鲁 纷 客 瓶 群击 k c o s 6 几少橇 留客 彩辛台 k l 而0 5 6 24 25 式 中 a b t 为根据在均匀圆球边界面 r 一a 上电磁场切线分量连续的边界条件确定的散射场 系数 卜 一 抨二 砂 一 钱 22三 i一 e 当k l r c o时 26 为 R ca 一 H an ke 函数 k 为 R a 一Neu m on n 函数 毗 k lr 为 告 阶第一类 H a n k e 函数 根据球B eS S e l函数 粤 满足球B eS S e 方程可得 旦 兰 粤 咎 2 釜 k lr U不 巡务 卫 lr 27 同样可假设均匀圆球内电磁场的电磁H e r t z 矢量模 几 与 几 分别为 H 2 e 卫督 吵 客 i c 彩 辛六 几 家橇 穿客 洽 丰击 咖 k r 月 eo s夕 28 咖 k r 月 eo s6 29 式中 b l 为根据 电磁场边界条件确定的系数 厅 一 l 压 z 乙 一 V 玩 不V可 不 对于任意的0 在 r a 处E a 凡 30 H a H 连续 则必须级数的相应项连续 如果直接利用 这些边界条件 仄与几混合在一起 根据第l项连续解四元一次联立方程组求系数 b c t d 比较麻烦 若采用场的适当线性组合 将及 与几分开并利用 它们作为边界条件 则根据第 l项连续解两个二元一次联立方程组求系数a I b l c I d 比较方便 由 15 与 16 式以及 2 2 24 与 28 式可得 汀一 尹 护 一日 J sin夕 H 田叮 口 i眺r刁1 一丈万一一 一 二竺尸 l二下1s ln口 刃 今 r L刃 f血屹1 护H 5 11 1口 二二二 r J口 e os夕 翻 扁 会 一 磊 31 考虑到连带 Le g e nd r e 方程 1一x Z d Z月 x dx Z d月 x 1 一 乙x 一 r 甲一一 寸 L t以 十 1少 一 丁一一一 厂万气x少 U UXI 一 X 一 d Z月 eo s夕 d月 e o s夕 s ln口 一一一一下万犷一 一 月 C OS口 万下 一 O伊一Q口 月 eos夕 sin s sin s d Z 月 x d月 x 月 x 气1 一 X 一少 一一节厂爪护一 一 乙X e e e se s下e s e e 一 飞 aX QX I 一X 一l l 1 sin 6 P矛 eo s6 32 由 3 1 与 3 2 式可以得到第一边界条件 与几中第 l项之积连续 由 1 2 与 13 式可得 70 电波科孕掌 很 第n卷卷 刁 sin8E 口 韶 a E 节 二丁 四 子 生 旦 旦 r 命L韶 1 别氏 1护几1 s n 口 丽 一 舀石汐不孑J 33 与 3 1 式比较并考到 32 式 得到第二边界条件 几中第 l项对 r 的偏 导数连续 叔s i n 口E 招 佃产 a 扭瑞 1护几1 一 山一 下万一 二丁 一 l二万I吕InU e e 下 尸l 二二州 石 二吧丁 1 伏7 四 r 伏7 刃 产 欲n 动产 J 注意到几与几表示式的同异 与 31 式比较得到第三边界条件一 产与 H 中第 l项之积连 续 由 15 与 16 式可得 J sin口H 韶 创甘 十 二了 呷 1 刁 a 别口 1护H 1 下子L丽 n 口 万歹少 一刃丽 命 一 与 3 3 式比较 得到第四边界条件 H 中第 l项对 r 的偏导数连续 利用上面得到的四个边界条件 可以较方便地求得 a l b l c t 试 根据 r a 第一边界条件 与几中第 l项之积连续 与第二边界条件 几 中第l项对 r 的偏导数连续 并注意到 1 一 3 与 6 式 由 22 24 与 28 式得 场 k a a 一价 k Za c t 咖 k a n Z从 k a a 一 n 人 k a c l n 咖 k a 式 中材 k a 为劝 k a 对 k a 的导数 以下同 由上方程组解得 自 a r t a 叭 k a 咖 k a 一 z再 k a 再 k Za n 从 kla 咖 k a 一 n 从 k a 咖 k a 3 4 nZ咖 k a 从 k a 一 咖 k a 从 k a 从 乏 a 咖 花 a 一 n 劝 差 叭 盖 35 根据 r 一a 第三边界条件 产与H 中第 l 项之积连续 和第四边界条件 H 中第 l 项对 r 的偏 导数连续 并注意到 1 一 3 与 6 9 与 30 式 由 23 25 与 29 式得 nZ劝 k a b t一 n 咖 k a d nZ咖 k a 从 k a 八一咖 kZa 试 叭 k a 由上方程组解得 阮 bl t b nZ叭 k a 咖 k a 一 n 咖 k a 叭 k Za nZ从 k a 咖 k a 一 n 从 k a 叭 k Za 3 6 二 咖 k la 从 k a 一 n 咖 k a 粉 k a nZ仇 k a 咖 k Za 一 n 仇 k a 咖 k Za 37 由于 u 阶B e s sel函数 六 x 与 u 阶第一类 H a n kel函数H 否 x 都满足Be ss e l方程 d 尸 d人 x 1 少 r 而L x e e 习庄一 十 x 一 万 x 少一 u d 尸 dH二 1 x 1 少 二 门 而L x 一一豆 王 一 十 x 一 丁 月 一 x少一 u 上面第一式两边乘以H二 x 第二式两边乘以 J x 然后第二式减第一式 得 dl r 下 咬工IJ 工 QX吸 L dH二 x dx d大 x dx H X 一 r dH二 1 x xIJ 气 x 少一一一二产 L a工 d几 x dx H二 x 38 式中 c 为常数 c 一l im x dH二 x J 气 x 少 一 一甲r 一一一 0 尤 dJ x dx H 二 1 x 第3期 江 长荫 均匀 国球对 平面波的散射 汪 l 2一 盯 l imx 兰 召二 万沈 尸 厅汀 L co s x 一 万 u 一万夕 f 二一荃 一 于 si n 二一 晋 一 晋 二一 卜于 意到 18 26 与 38 式 35 与 37 式中分子的 咖 k a 仇 k a 一咖 k a 从 k a 竺鱼旦 r 2 十 戚 l 奋 k a 田谙璐 k a 一去 专 k a w 兴 k a 因此 35 与 37 式分别为 忿凡2 n 劝 k a 再 k a 一 九 仇 k a 咖 k a 3 9 忿摊2 认 k a 咖 k a 一 从 k a 咖 k a 4 0 将按 3 9 与 4 0 式求得的 c d t 分别代入 28 与 29 式 然后将 28 与 29 式代入 11 一 16 式 则可得到均匀圆球内的电磁场 将按 3 4 与 36 式求得的 b 分别代入 24 与 25 式 然后将 24 与 2 5 式代入 11 一 16 式 则可得到均匀圆球外空间的散射电磁场 考虑到 2 与 27 式 乙 一 李 呈 军 早弩免 2 1 lr 尸 sa 构T 二二1 考虑到 2 与 9 式 E o co s 中于 2 1 1 乙 一 石厂 言 获 拜 I下 L哟 k r 几 6 一瓦从 k r 石 夕 4 1 式中 X t 8 与 劝 夕 称为散射角函数 月 eoss sins d几 x dx 42 d州 e o s夕 d8 一 l一 x 蚤dP矛 x dx 4 3 一 黔客 滞 李六 一i a x l 从 1 勺 44 考虑到 2 9 与 27 式 二 一 鑫黑交 2 r 科 co sa i 构T 二二1 考虑到 2 与 9 式 一 镖客 群 辛击 一 1 x l i b 从 1 勺 二 一 架客 念汁 一 劝 i b 1 x l 4 5 46 当k r c o 时 根据 26 式 从 k r 幻i 一 十 e证 r 叭 k r 勺i 一 尹 If 将上两式代入 4 1 4 4 一 4 6 式 则得远区 k r c o 仅保留含 l r项 散射电磁场 二 家互弈嘿份最 局 r 下二群丰击 一r l 47 72电 波 杆 宇字 报 第n卷 凡 万 J 一 今黔 动1 客 洛 辛击 r 口 鲁黔 气 r 客 滞丰击 久 r t 夕 瓮臀 动1 客 彩丰六 a t补 x t 48 49 鱿 由上四式可得 万 冲 50 E 招 E 二 止IJ 一 共厂 石1 i 51 51 式表明了 4 7 一 50 式的正确性 4 截面计算公式 下面推导双站雷达 散射 截面 B RCS 么单站雷达 散射 截面 MR CS或R C S 雷达截 面 雷达后向散射截面 几 雷达前向散射截面 氏 散射截面 几 衰减截面 a t te n u a t io n r ex tinetion ero s s seetion 总截面 巩 与吸收截面氏的计算公式 由 7 与 8 式得入射平面波的功率密度为 公 百 一 二 尸 艺乙i 52 设想有一块与入射波传播方向垂直的面积 a 将人射功率凡 接收下来 再以均匀功率密 度散射出去 在某点 r 夕 种的功率密度恰好等于该点的实际功率密度S 即 S 汀 百 一 二 4万r 53 则 厅 称为双站雷达截面 由上式得 5 d 一 4 r r 瓦 54 由于 s 一g I 一 扣 却 又 琉 即 一 卸 二 件 E 2 式中R e 表示取实部 表示共扼复数 以下同 将 4 7 与 48 式代入上式 然后再将上式与 5 2 式代入 54 式 则得双站雷达截面为 一 1客 客 21 1 l l 1 一 夕 x l 一 21 1 1 2 门 下丁r 下一二戈气自尤八口少一O I勺气 少少 吕In 一甲 l 州卜 1 I J 5 5 由上式显而易见 与6 甲有关 当雷达发收在同一处 即 6 二 时 由上式算得的截面称为单站雷达截面 当雷达发 球心 与雷达收三者在一直线上 即 a 时 由上式算得的截面称为雷达前向散射截面 根据 42 与 20 式得 有些关于电磁波的中文著作沿 用光 学著作中的称谓将衰减截面称为消光截面 第3期 江 长荫 均 匀圈球对 平面波的散射 73 X I 6 d名 x dx ld 二式忿二 兀万 气劣 一 i少 乙 一 忿Q 了 因为 晶 一 一 一 一 ZX 券 X 一1 一 一 X 1 一2 2 扩 l x Z 一1 一 12 d 3 1 工L工 一 1少 O劣 书二 x Z 一1 O工 l l一l l一2 尸一1 一3 2 3x3 l l一1 护一1 一 1 2 2 名x l l一1 l一2 l一s x 忿 一l 一 2 x l l一l l一2 扩一1 一 3 l 2 3 2 3x2 l l一l x Z 一1 一2 1 2 2 2 d l 1 二 二二二万Lx 一 lr ILI 十 艺 十 3 十 十 艺了 十叼吸 x 八x 一 1 Q之 式中Q x 为x 的多项式 所 以 当夕 二 即x 一l 时 x l 二 一 一 坦牛卫 56 当8 o 即x 1 时 X I 0 l l l 2 57 注意到 20 与 42 式 根据 4 3 式得 局 夕 一 l一 x 蛋 由上式可得 l 一 x 奋x l osax l a 一 sin28 d石 夕 de o s夕 d 一d x 几 汀 一l l l l 2 58 劝 0 l l l 2 59 将 5 6 与 58 式代入 55 式 则得单站雷达截面为 几一 箭 买 一 2 一 J 一 看 菩 一 2 自一b l 菩 一 2 一 6 0 将 57 与 59 式代入 55 式 则得雷达前向散射截面为 氏 一 看 l买 2 一 b l 一 着 买 2 买 2 二 6 1 下面推导散射截面 衰减截面与吸收截面 2 3 均匀圆球外空间总场 入射场与散射场 的向 外功率密度为 s二 喜 R e 场 凡 凡 一 E 凡 H 心 电 波 科 学学 报 第 11 卷 将上式展开 作一半径为 r 的大球面 则流 出此大球面的净功率为 r r Z 0 l o f 叮 2 l 0厂s lno a 四 口 目万仄e l 气乙 月 伸 一乙训性 e 少r 一s lnu a 卯口 J0 J 0自J0J0 1 户 2 一 一 二 青R e 凡万 一E 尹石 r i n6 d 州夕 2 一J J 一 一 一 f 一 一二 l 一 户 叮 一 一 一 一 资R e E aH扁 E 娜万扁一 E翻甘二一E J叮扁 r i n先记夕 2 一J J 一 一 一 一 一护 一 一 一 一一 6 2 流 出此大球面的入射波净功率为0 流进与流 出相等 即 1一 介户 宁R e 1 1 E o H二 一 E 凌J叮扁 rZsin s d 树8 0 2 一J J 一 一 一甲一 一二 流出此大球面的散射波净功率一散射功率为 1 一 叮 户 r 一 一 只一资R e 1 1 石 娜H 奋一E翩阿汤 rZsin o d 州6 63 2 一J J 一 一 呷 一甲 一 一 若圆球是导体 要吸收功率发热 因此流出大球面的净功率为负值 其数值等于导体圆球的吸 收功率 故吸收功率为 一 补s i n o d 卿 入射波功率中被衰减掉的部份称为衰减功率P 它由散射功率只与吸 收功率 p 组成 即 只 尸 几 6 4 因此由以上五式可得衰减功率 P 一静有 E a H 凡二 一 端 一瓦万 r z s i n 6 5 下面计算积分 6 3 与 65 注意 到 5 1 式与对甲的积分值为 二 将 47 与 48 式代入 63 式得 尸 一 磊 R 丁 客群辛七 一 x 客 群击 x 0 x l 客彩 辛击 a lx r t 火 客彩丰击 广x l b r l 6 d 一 磊 R e 孔 客 愈 z篆 兴 了2等粉 a t a f r 石 8 X I 夕 a b声 认 a 声 r l 8 朴 6 石 8 r l 6 sin 阳沙 注 意到 42 与 4 3 式 利用连带L egendre 方程与连带 Leg en dre 函数的正交归一关系 五 r l r l x l x t 5 丁 d月 e o s夕 dp e o s夕 dod s 月 e o s夕 P I e o ss 门 t 一一一一一一代一 万 目 一一 sln U Q u S ln 一O J 一 丁认 一 dP矛 x dP声 x dxdx l一 x Z d ZP 于 x 二 气二 IJ声 x d工 一Zx d尸矛 x dx X 1 X X dX 厂 d月 x 门 Q 气1一x 少 r l华Lx LaXJ l 币 Ox 十 t又l 一 1少l Q工J一1P矛 x P弄 x dx 人 1一 l J 第3期 仁长葫 均匀 圈球对 平面波的散射 75 l 66 l 护l 朴 8 毛 8 石 口 r l 8 sin无8 芡 d州 eo ss 界 eo s6 d8 sin 夕 州 c o s夕 dp l e o ss 门十 兮 r 罗万 一一一一芍 目万一 一 吕In口 U口 sin 6 d夕 一 l 竺华 三2P i x 到 x 尸凳华21 dx J一1 Q工O工J 一丁1 X 玛 X 一 X X 七 一 67 因此最后得散射功率为 一 纂客 2 一 奥负 2 l 妹 碱 醋 b l 乙一纪三二 二 68 在计算积分 之前 应先求出E E H 与H 在远区 k r c o 根据 18 式 二 二 l 1 犷 哟 月lrj u舀L尾IT 一一 一万 一J 心 咖 l 1 厅 L左ir少只弓一 S lnL月一r 一 一 下一一 一 一 将 22 与 23 劝 k lr 分别用 式同 24 与 25 式比较 在 41 44 一 4 6 式 中 令 a b t 一l 劝 k r 与 e os r 班兰共 l竺 与一 in r 乙 l l 犷 2 代替 则可得远区入射场为 E 口 瓦 罕争彩 辛 台 一 罕争 彩辛六 l l 厅 爪 c璐 况 r 一 一不犷一 孟 口少 I l l 斤 门 吕 n 况 r 一 一了一 少T t 少J e os k一r 一 l 1 万 l 1 汀 一一下 少T t 口少自护王 吕11 1气君一r 一 一一 下一 少孟八U夕 l e s e s e s日 e e le el H 一 镖身彩 辛击 从一 镖身洽 丰六 l l 厅 二 二 l 1 介 伏 iT 一 一 又 少孟叭四 王吕In 尾一r 一一 一言 一一夕瓦气p夕 l l 汀 C OS 祀 r 一 丈一 一构 U 州 乙 l s in l 1 汀 月一 r 一 一一万一 夕孟八口少 C 月L 尸 l JL J 将以上四式与 47 一 5 式代入 65 式 注意到对尹的积分值为 二 为了书写简单 令 芬 k lr 一 l l 汀 2 劝 劝 8 x l x l 0 因此有 尸 一爵 R 五 客 万 器辛台 x l 一 二 一i c 一 客 X a r l b x t l e i 客 2召 丰 七 a t r l 噜 一 21 l l l l 21 l l l十l 又 r l e os二一 iX I sin 一 受 男件尖 c o s x l s 鸿 仁三 宁 i夕 x 一i e 一 受华荟 牛共 a t x t b 1一 一 受 茬 宁 l JL 荞或 21 l l l l 电 波 科 学学 报 第11卷 X a 石 b r 客 i一 21 l l l 1 x 一 一 r n 卜 0 d 一磊R e州 一 一 习 习尹 21 1 21 1 l l 1 l l l a声不r l e os价 J 1君 一 1 b t x lx C O S C i a f r n s i n 二 b f 确 s i n劲 淤 l r 名 习 一 I l 1 1 留 21 121 1 l l 1 l l l a lr t r l eos条 b IX I勺 e o s条 一i a i劝沁 sin 二 瓦石石 sin 条 一 i e一 r于 于 22 122 l 台出 入了干 1万万石厂干顶下 L a r l尤 o s r l cO S 易 f a f x x l sin 参 b f 燕 sin 二 i e i 习 习 一 l留 11 巴 1 21 121 1 l l l l l l 自X I派 e o s条 瓦几X t 0 5 二 一 a x r l s n b r lr l s n n 6 da 厅E蕊 介f 一二二 二二Ke l 心一绍 艺乙Ik艾 Jo 一 l 习 习产 21 121 l 1 1止 留 1 l l l l l l x l r l co s条 尽 朴t l x lx l co s条 i a f r tr l i b f r l 补 石r l s in z l r 习 名i 一 21 1 a声 r tx l x lx l si n二 21 十l 止 1 君 一l l l 1 l l 1 X L a r lr x l为 co s条 一俩 r x l 石r t si n条 将 6 6 与 67 式代入上式 并注意到 一 i i e 一气r 一 c o s 岛 i si n 参 则得 b t 补石 x lr l c o sr 一i b r x t s n s n 6 d i i 一 尹 r 一 c o s二一 i si n 易 汀E 盖 r 厂 理 一二二 二Ke 乙i左宝 习 21 一 一 e os二 t sin二 t eos二 z a t s n 一 o s 一 s n a 05 一t b s n j 兀E蕊 r 一 花Ke l 乙i左艾 L 习 21 1 一a l eo s 幻一a l sin 二一 a e o s 二一 b sin 价 一t a厂 n o s l b n 一 一 i a l n oc n 介E告 Z lkf习 21 l 一b eo s 易一 a sin 易一 a二cos 二 一b t r sinZ二 一 a b a 一b l s i n 参 e os 氛 j 最后得衰减功率为 斤召蕊 厂 一 七 乙1介宝习 21 l 纂客 2 1 R e 自 69 69 式表明了入射与散射 的电磁场之间构成功率 根据 68 与 69 式分别求得散射功率与衰 减功率后 则可由 64 式求得导体圆球的吸收功率为 第 3 期 江长荫 均匀 圈球对 平面波的散射 P P 一P 70 散射功率 衰减功率 吸收功率与入射功率密度之比分别称为散射截面 衰减截面 吸收截面 考虑到 5 2 式 由 68 一 7 式可得散射截面为 几 衰减截面为 巩 一 誓 客 2 1 一 誓 客 2 一 警 客 2 1 R a b l 一 警 客 2 二 b l r 71 72 吸收截面 几一巩一d 73 至此已推导出六种截面的计算公式 55 60 6 1 7 1 一 73 几与民分别是8 二 与 6 时 的特例 7 3 式表明了巩 d 氏三者之间的关系 由 53 式可得散射功率为 一 麟s r s i n 一 麟器 r s i n 6 d 卿 上式表明了 4护S 并非 总 散射功率P 面且由上式可得散射截面几与双站雷达截面 之间 的关系 1介 氏 获J a q J O SmO Q 甲 截面的单位通常用平方米 若以 为dB sm l平方米为 O分贝 74 1平方米为参考值 则用1 0 19丙 丙表示各种截面 单位 在此介绍十个量的名称 二 称为微分散射截面 器 称为归一化 单站 雷达截面 悬 称为 衰减效率 归一化衰减截面 悬 称为散射效率 归一化散射截面 悬 称为吸收效率 归一化 吸收截面 景 称为反照率 alb e d 单位体积 内所有均匀圆球的衰减截面总和称为衰减系数 单位体积内所有均匀圆球的散射截面总和称为散射系数 单位体积内所有导体圆球的吸收截 面总和称为吸收系数 单位体积内所有均匀圆球的 单站 雷达截面总和称为反射率 r e fle c t iv i t y 求得 叮 几 巩 氏与几后则不难求出这十个量 5 递推公式 从前面可以看出 根据 47 一 50 55 60 61 71 一 73 式计算远区散射场与各 种截面 首先要计算复散射场系数 a 与瓦 实散射角函数 泊 0 与 劝 6 下面推导计算它们的 递推公式及初值 5 la l 的计算公式 a t 一 a二 l a l nl叭 k a 再 kZa 一 n 咖 k a 人 k a 从 k a 再 k a 一 n 劝 k a 咖 k Za 34 一 夕 n l 刀 二二 X I 7 活 生 兰 月1拄 k 一a 75 7 6 78 电波科 学学 报 第 11 卷 y 户 匆 棍a 二 竺 i 摊i 所 月1 人 y 通扮 认 咖 y 咖 y 77 78 得 六 X l 一 X a l 一 i几 一 79 根据 R i e e ati一柱函数 R x 包括咖 x 与 x 的定义 18 与 2 6 式 与柱函数z 蚤 x 包括二传 x 与月声 兴 x 的递推公式 得 1 州 卜 犷 乙 乙t 奋 x 乙 一奋Lx 一一不 乙I 全 气x 少 凡 犷 X 二 一 一 X l 一 去 R X l 80 将上式代入 79 式 并注意到 26 式 得 l 一 x l A y 刀忿 再 x 一咖 一 x A t y 1 口r 忿 工1 81 叭 x 俩 x 一 咖 一 x i八一 x 一 产 由 75 式得 l 1 二二 二 I 理0 1二二 二 r 了一弋下 二二 二 翻啥 州 卜ta y y忿 护 古 产 护 82 考虑到 80 式 由 78 式得 入 y l 一奋 妙 一 丁 J 十 奋卿 丙十奋 刃 禹 一 杯y 一二 下井丁二 y J 十奋气y 83 考虑到柱函数Z t 十蛋 x 的递推公式 2 1 一1 I 全 x l少 一又一向 一 金 x l少一 卜备 x l少 84 由 83 与 84 式可得 人 一 y 一 l一l y 去 一吞 y 州 卜下 二 7 丈 一 J 卜金 y l一1 十 y 21一1 y 禹 一备 刃一去十蛋 y 丙 一 备 刃 禹十奋 刃 去 一 专 刃 一 l 一 y 一一 将上式代入 83 式得 A l y l 一 一十 l 一 一汽一 x气y少 y 85 由 77 式得 1 二 IP r 一P I 一 tq l 二竺二吮二 二1艺丁二苍一 yP 勺厂 丫 F 一 丫 PZ 9 2 86 因此 由 85 式得 7 9第 3期 江长荫 均匀 团球对 平面波的散 射 人 y 态 注人 一l P i l v 1 仄万而不 兀刃万二瓦不 一lp lp 一A卜 l q A 一 l P 一入 一 IP 一A 一卜r l q 人 一 i l q A 一 l q IP 一A卜 l q A卜 1 2 l P 一人 一 1 r 2 l q l A 一 忍 87 A 刃的初值为 A o y 八口 泣月喃 将 82 与 8 7 式代入 8 1 式得 自 再 i a t J 一 奋 刃 心 刃 COSy siny sin P C osP sinZP sin h Z 一竺 i 旦h四丝竺e e 一 sin ZP sinhzq 88 1 L T 一 再 一 街 不 咖 Lx 少 一咖 一 Lx 少 一 1 L 了 一 万 A 一 人 一不J L必 十 P l又x J 一L必 一 Lx 一 P l一 x J e i f l 一 药耳兀瓦 el 9 1 石 h 二九 g 一 e h 飞目 了 月气花一 门卜 i w e 二w e 了w e 下下一一 g艾 一 n i一g 丁 z 十 ni 89 式中 ei 拢 一咖 x 一咖 一 x ni 咖 x m 咖 x 一咖 一 x 一 n P t x n 再 x m P I x 一P I 一 x l 2 1八 十 街 十石 九g l l标 n l l 刀立 根据 84 式 一y 人 一占 A R ic c at i 一柱函数R x 包括咖 x 与P l x 的递推公式为 90 91 92 93 9 4 95 凡 x 咖 x 的初值为 一 丝二卫尺卜 1 x 一凡 一2 x X 1 96 必 x P l x 的初值为 P 一 x eo sx 汽 x 二 sinx 97 sin x P 0 x 一 eos x 98 5 2 b l 的计算公式 b 一久 i b u n 咖 k a 咖 k Za 一 n 叭 kla 咖 k Za 2从 k a 咖 k Za 一 n 从 k a 咖 k a 一些丝立丛二 丝二理业班 mA I y 从 x 一从 x m 去 X l 一 一 X l 1 一 L m 八 卿 十五 L脚 Lx l少十 只 x l少J 一L哟 一 x l 夕 十 种 一 x l 少J 3 6 将上式与 81 式进行比较 由 8 9 一 95 式可得 b I b t r b I e 讥 9 2 i h Z e g 几 hZ 下 尸一犷犷一 一r i g 玉 一 十 n 三 z 几 g 一 eZ hZ g圣 l l 99 式中 80 电波科 学学报 卷 勺 m 价 x 一叭一 x 九 叭 x g m Z 咖 x 一叭 一 x 一 九 八 丈 h Z nZ 咖 x m P t x 一 P I 一 x l 一x l m Z 一7A 一仪八 n 一Z八 占A 10 0 101 102 103 10 4 105 凡 x 兀包括咖 xl 与 户 x 的递推公式及其初值见 96 一 98 式 5 3为 e 的递推公式 X I 夕 对递推公式 月 eoss sins d几 x dx 42 n l 尺 x 一 Zn 1 二尸 x 凡一 x 0 取导数得 凡 1 x 粤节 子 x 黯 x P x 一 击 尸 一 x 106 将递推公式 Zn 1 尺 x P x 一 P 一 x 代入 10 6 式得 尺 x 令 n 一l一1 由上式得 Zn l 一一石 一 一之为犷月 x少一 n l尺一 x 21一1 1 一 火x少二二一 二 工厂卜1 气 x L 1 l 一 一一丁厂J一 2 吸X t l 即 不 夕 而初始值为 x o 8 2 1一l l一l eos拐一1 8 l 一 7一一二x l 一 2 吸口 l 107 108 Z 夕 dP x dl 一习妥 一 而 dP x dx 一百牙 而 10 9 5 4 T I e 的递推公式 几 口 d月 eo s夕 d8 43 只 e o ss 满足 L e罗ndr e 方程 1一 e o s28 d ZP eo sB dc o s俨 一Zeo s夕d 名 eo s夕 deo s夕 l l l 几 eoss 0 110 考虑到 1 9 式 上方程第一项 1一 eo s28 d ZP e o s夕 d eos俨 d只 eo ss 二二二 C OS口 气产一一下 一 dCOS口 d月 e o ss d8 将上式代人 110 式 并考虑到 4 3 式 得 一 s 嘿 望禁 2 只 o s U U吕U 111 第 3 期江长荫 均匀 圆球对平面波的散射 将递推公式 IP e o ss dP eo ss COS口 一一一二一一 一二一 一 dCO S口 dP卜 1 e o s夕 d e oss 代入 1 1 1 式 并考虑到 42 式 最后得 T t 8 一le o s口 X l 夕 一 l十l 芯 8 1 1 2 式中x l 6 的递推公式及其初值见 107 一 109 式 6 计算步骤 己知 空 间 的相对介 电常数为 导 磁率为 一4二xl丁 亨 利 米 电导 率为 均匀 圆球的 半径 为 a 相对介电常数为 2 导 磁率 为 产 电导率为 2 入射平面电磁波 如 7 与 8 式所示 见 图 1 频率为f 角频率为 自由空间波长为 劝 求远区散射电磁场三 三 H 与 H 的表达 式 双站雷达截面 叮 的表达式 单站雷达截面几 雷达前向散射截面 氏 散射截面 氏 衰减截面 氏与吸收截面氏 计算步骤如下 1 计算公 用数值 l 按 l 式计算 1 2 按 2 式计算k 3 按 7 6 式计算 x 4 按 4 与 5 式计算 a 与月 5 按 7 5 式计算 与 占 6 按 82 式计算y 与占 7 按 77 式计算P与g 8 按 86 式计算P 与 g 9 按 58 式计算A or 与 A 10 按 87 式计算儿与A 1 1 按 97 与 98 式计算必 x l 与沪 x p 一 x 与p O x 1 2 按 9 6 式计算 弧 x 与咖 x 八一 x 与八 x 13 按 90 一 9 5 式计算 el f 1 9 1 hl m l 与 nl 一4 按 89 式计算 a 15 按 一 0 0 一 105 式计算 2 几 9 2 hZ mZ 与nZ 16 按 9 9 式计算b 2 求公用表达式 1 由 108 与 109 式得X 0 8 与X 夕 2 按 107 式求得x l叨 的表达式 s 按 1 1 2 式求得 r l 8 的表达式 3 求远区散射电磁场的表达式 l 按 9 式计算Z 2 利用前面求得的走 a 占 X l归 与r l叨 3 按 47 一 50 式求得五招 E 万 诏与 万 的表达式 8 2电波科学学报第n 卷 4 求双站雷达截面的表达式 l 利用前面求得的k 山 b I X I 8 与r l 8 2 按 5 5 式求得a 的表达式 5 计算截面 l 利用前面求得的k a 与b l 2 按 6 0 6 1 7 1 与 72 式分别计算几 氏 氏与氏 3 利用求得的d t与氏按 7 3 式计算氏 图公为理想导体圆球归一化雷达截面的精确曲线 k 与几分别为自由空间波数与波长 9 5 r e s 甲 一 自 下 叫 一 一 r 喇 e s l e s 甲 目 1 w e l 了 e s T 一 T r r 丫节一 书 r r 月 T T 气 竺 勺 0 3 卜 斗 幸 十 叫 州十叶 月 尸 确 呼 叫 叶 一 月 娜 冲 电 个 州 尸 洲 月 十 冲 嘴 十 中 冲 白 月 卜 叫 卜 甲 卜 门 宁 卜 个 一 r 尸 曰 愧 护 宁 r 竹 尸甘 了 甲 州 百 l 艺 仁 二 环 石 耳 习 瓜 刁 阵 国 砰 司 阵 刁 二 刁 落 本 闷 小 引 卜 卜 州 卜 卜 卜 卜 叫 卜 叫 O J L 二 士 全当七兰 二 比 二 士 七 士 二 七 二 上 上 七 二 七 二 七 注 七 二 比 比 二 业 目 匕 匕 七 吕 七 二 七 0 0 5 卜喇 十 十 一 十 十 十 钾 十 令 叶 种 咔 十 十 呻 卜 什 州 卜 州 卜 叫 日 日 卜 寸 十 州 冲 冲 针 冲 亏 呀 咬 叶 气 冲 竹 金 1 竺 r 当 0 0 1 J 曰 砷 户 州 呻 乡 户 少 0 O J 0 2 0 3 众 一 0 5 0 肠 0 7 0 1 0 1 0 一 l Z I J 一 4 汤 1 了 a 孟图2理想导体圆球归一化雷达截面的精确曲线 F ig 2 E x a e t e u r v e f o r n o r m a l i z e dr a d a r e r o s ss e c t i o n o f p e r f e e t l yc o n d u e t i 明 s p h e r e 7 特例 7 1理想导体圆球 几 c o 由 3 式知 n 卜c o 考虑到 7 6 与 8 0 式 由 3 4 式得 l咖 一 x 一云咖 x 叭 x l r 一 一 x a 一a r t a 一兰 r 于 令 一 一侧 x 一 上 一 一三 洁 一二 一 一 咖 一 x 八 一 x 一亥L 咖 x P l x J 8 3 第