高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值课堂讲义配套课件 湘教版选修22.ppt

4 3 2函数的极大值和极小值 学习目标 1 了解极大 小 值的概念 结合图象 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 知识链接 在必修1中 我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题 但函数在定义域内某一点附近 也存在着哪一点的函数值大 哪一点的函数值小的问题 如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题 如图观察 函数y f x 在d e f g h i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y f x 在这些点处的导数值是多少 在这些点附近 y f x 的导数的符号有什么规律 答以d e两点为例 函数y f x 在点x d处的函数值f d 比它在点x d附近其他点的函数值都小 f d 0 在x d的附近的左侧f x 0 右侧f x 0 预习导引 1 极值与极值点的概念如果不等式对一切x u v 成立 就说函数在x c处取得极大 小 值 称为f x 的一个极大 小 值点 为f x 的一个极大 小 值 极大值 极小值统称 极大值点和极小值点统称为 f c f x 或f c f x c f c 极值 极值点 2 求极值的一般步骤 1 求导数f x 2 求f x 的驻点 即求的根 3 检查f x 在驻点左右的符号 如果在驻点左侧附近为 右侧附近为 那么函数y f x 在这个驻点处取得极大 小 值 f x 0 正 负 负 正 规律方法求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 检测f x 在方程根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 要点二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 求常数a b c的值 2 判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 试说明理由 并求出极值 规律方法 1 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 要点三函数极值的综合应用例3设函数f x x3 6x 5 x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 规律方法用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 跟踪演练3若函数f x 2x3 6x k在r上只有一个零点 求常数k的取值范围 解f x 2x3 6x k 则f x 6x2 6 令f x 0 得x 1或x 1 可知f x 在 1 1 上是减函数 f x 在 1 和 1 上是增函数 f x 的极大值为f 1 4 k