陈浩 IIR带阻滤波器的设计文档.doc

湖南文理学院课程设计报告课程名称： 专业课程设计 系 部： 电气与信息工程学院 专业班级： 通信工程 08102班 学生姓名： 陈 浩 学 号 ： 200816020206 指导教师： 朱 明 旱 完成时间： 2011年6月22 日 报告成绩： 评阅意见：评阅教师 日期 IIR带阻滤波器的设计一、课题要求1、目的：掌握双线性变化法IIR带阻滤波器的设计。2、要求：既要有设计的理论内容，也要有每一步的MATLAB处理结果。3、内容：采用双线性变换法设计一个IIR带阻滤波器，-3dB衰减处的边带频率分别为f1=20kHZ,f2=40Khz,其-15dB衰减处的频率分别为fs1=28kHZ,fs2=35KHZ,采样频率fs=100kHZ。4、方法：应用MATLAB平台。二、设计背景以及思路1、数字滤波器概述 数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。时域离散系统的频域特性:,其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： 系统函数为： 设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。2、数字滤波器的特点IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。借助成熟的模拟滤波器的成果IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。3、数字滤波器分类数字滤波器可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维数字滤波器。一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列，例如时间函数的抽样值。二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多个变量函数序列。4、设计原理IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为 假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。冲激响应不变法双线性变换频率冲激响应不变法模拟高通、带通和带阻数字原型低通模拟原型低通数字高通、带通和带阻交换频率模拟原型低通模拟高通、带通和带阻方法1方法2双线性变换交换 图1-1 数字滤波器设计的两种方法方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。方法2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。5、IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的区别IIR数字滤波器单位响应为无限脉冲序列，而FIR数字滤波器单位响应为有限的；FIR滤波器，也就是“非递归滤波器”，没有引入反馈。这种滤波器的脉冲响应是有限的。IIR数字滤波器幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位信息不敏感的音频信号上；FIR数字滤波器的幅频特性精度较之于IIR数字滤波器低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过fir滤波器后他们的时间差不变，这是很好的性质。FIR数字滤波器是有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程，用于计算的时延也小，这对实时的信号处理很重要。6、双线性变换法为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2-1图2-1双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现式中,T仍是采样间隔。当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个j轴。写成将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，则得 再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面，z=es1T，从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：前式是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。首先,把z=ej，可得即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=+j代入，得因此由此看出，当0时，|z|0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式所示，重写如下：上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图所示。由图看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。图2-2双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。图2-3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。三、设计原理1、IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示 y(n)=brx(n-r)+aky(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数: 不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数b,a,去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。由于模拟滤波器的设计在理论上已十分成熟,因此数字滤波器设计的关键是将H(S)H(Z),即,利用复值映射将模拟滤波器离散化。已经证明,冲击响应不变法和双线性变换法能较好地担当此任,则在此基础上,数字滤波器的设计就可首先归结为模拟滤波器的设计了。 数字滤波器的设计步骤如下图所示。数字滤波器技术指标指标参数变换数字滤波器模拟滤波器离散化模拟滤波器技术指标相应模拟滤波器设计 数字滤波器设计步骤2、设计IIR数字滤波器的两种方法IIR数字滤波器的的设计就是在给定了滤波器的技术指标后，确定滤波器的阶数n和系数ai，bi。在满足技术指标的条件下，滤波器的阶数应尽可能低，因为滤波器的阶数越低，实现滤波器的成本就越低。在设计IIR滤波器时，常用的方法是利用模拟滤波器来设计数字滤波器。广泛采取这种方法的因素有：1，模拟滤波器设计技术已非常成熟；2，可得闭合形式的解；3，关于模拟滤波器设计有完整的设计公式和图表可以利用很查阅。为实现从模拟滤波器到数字滤波器的转换，需要从系统的描述方法来考虑转换问题，无论是模拟滤波器还是数字滤波器，描述系统的基本方法都有四种，如表所示，且同一滤波器的各种描述形式之间可以相互转换。模拟滤波器数字滤波器模拟滤波器数字滤波器单位脉冲响应ha(t)单位采样响应h(n)系统函数Ha(s)系统函数H(z)频率响应Ha（j）频率响应H（ej）微分方程差分方程滤波器描述系统的方法因此，IIR滤波器的设计方法是首先将数字滤波器的技术指标转化为对应模拟滤波器的技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，然后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。将Ha(s)转换成H(z)的最终目的，是希望数字滤波器的频率响应H（ej）尽量接近模拟滤波器Ha（j）。将系统函数H(z)从s平面转换到z平面的方法有很多种，但工程上常用的有两种：一种是使数字滤波器的h(n)近似于模拟滤波器的ha(t),可导出脉冲响应不变法；另一种使数字滤波器的差分方程近似于模拟滤波器的微分方程，由此可导出双线性变换法。3、双线性变换法的基本原理 脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好的模仿模拟滤波器，但是由于从平面到平面的映射具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混迭现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混跌效应的缺点，我们使用一种新的变换双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分。仿真滤波器的传递函数为将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入和模拟输出有如下关系利用差分方程来代替导数，即同时令这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式两边分别取变换，可得这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示 所谓的双线性变换，仅是指变换公式中与的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。4、用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤MATLAB中设计IIR数字滤波器的具体步骤如下：1、 根据书上例题把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标：（1）对应的各数字频率（2）求D, E。采用归一化原型 的低通滤波器作为变换原型，则低通到带阻的变换中所需的常数D, E分别为（3）求。它是满足数字带阻滤波器要求的归一化原型模拟低通滤波器的阻带其实频率，可用来求。=min（）=2.853，这是因为在较小的频率出如果满足衰减的要求，则在较大的频率处一定满足要求。（4）求N。N是归一化原型模拟低通滤波器的阶数。将代入低通滤波器的响应公式可得可得N=2（5）求。2、 根据转换后的性能指标，通过滤波器结束选择函数，来确定滤波器的最小阶数n和固有频率wn；3、 由最小阶数n得到低通滤波器原型；4、 由固有频率wn把模拟低通滤波器转换为模拟低通、高通、带通或带阻滤波器；5、 运用双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。四、IIR带阻滤波器软件仿真实现代码一clear all;Ap=3;As=15;Fs=100000;Wp=0.4*pi,0.8*pi*Fs;Ws=0.56*pi,0.7*pi*Fs;N,wn=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Ap,As, s);%计算巴特沃斯滤波器的阶次N 和截止频率wnb,a=butter(N,wn,stop, s); %频率变换法设计巴特沃斯滤波器freqs(b,a);bz,az=bilinear(b,a,Fs); %采用双线性变换法figure,freqz(bz,az);C,B,A=dir2cas(b,a);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);subplot(211);plot(w/pi,mag);title(数字滤波器幅频响H(ejomega);subplot(212);plot(w/pi,db);title(数字滤波器频响（dB）)仿真截图 模拟带阻滤波器幅频响应及相频特性图 数字带阻滤波器幅频响应及相频特性图代码二clear all;fp=20000 40000;%通带上下限fs=28000 35000;%阻带上下限rp=3;rs=15;%衰减dbFs=100000;wp=fp*2*pi/Fs;ws=fs*2*pi/Fs;% Firstly to finish frequency prewarping;wap=2*Fs*tan(wp./2)was=2*Fs*tan(ws./2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,s);% Note: s!z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bw=wap(2)-wap(1)w0=sqrt(wap(1)*wap(2)bs,as=lp2bs(bp,ap,w0,bw) h1,w1=freqs(bp,ap);figure(1)plot(w1,abs(h1);grid;ylabel( lowpass G(p)w2=0:Fs/2-1*2*pi;h2=freqs(bs,as,w2);% No