高中数学 第一章 立体几何初步 7.3 球的表面积和体积课件 北师大版必修21.ppt

7 3球的表面积和体积 第一章 7简单几何体的面积和体积 学习目标1 了解球的表面积与体积公式 并能应用它们求球的表面积及体积 2 会求解组合体的体积与表面积 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一球的截面 思考什么叫作球的大圆与小圆 答案平面过球心与球面形成的截线是大圆 平面不过球心与球面形成的截线是小圆 梳理用一个平面 去截半径为r的球o的球面得到的是 有以下性质 1 若平面 过球心o 则截线是以为圆心的球的大圆 2 若平面 不过球心o 如图 设oo 垂足为o 记oo d 对于平面 与球面的任意一个公共点p 都满足oo o p 则有o p 即此时截线是以为圆心 以r 为半径的球的小圆 o 圆 o 知识点二球的切线 1 定义 与球只有公共点的直线叫作球的切线 如图 l为球o的切线 m为切点 2 性质 球的切线垂直于过切点的半径 过球外一点的所有切线的长度都 相等 唯一 知识点三球的表面积与体积公式 r3 4 r2 思考辨析判断正误 1 球的表面积等于它的大圆面积的2倍 2 两个球的半径之比为1 2 则其体积之比为1 4 3 球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面 题型探究 例1已知球的表面积为64 求它的体积 类型一球的表面积与体积 解答 解设球的半径为r 则4 r2 64 解得r 4 反思与感悟 1 要求球的体积或表面积 必须知道半径r或者通过条件能求出半径r 然后代入体积或表面积公式求解 2 半径和球心是球的最关键要素 把握住了这两点 计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了 跟踪训练1 1 已知球的体积为 则其表面积为 解析 答案 100 解得r 5 所以球的表面积s 4 r2 4 52 100 类型二球的截面 例2在半径为r的球面上有a b c三点 且ab bc ca 3 球心到 abc所在截面的距离为球半径的一半 求球的表面积 解答 解依题意知 abc是正三角形 所以球的表面积s 4 r2 16 反思与感悟 1 有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆 将问题转化为平面中圆的问题 2 解题时要注意借助球半径r 截面圆半径r 球心到截面的距离d构成的直角三角形 即r2 d2 r2 跟踪训练2如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 解析 答案 解析利用球的截面性质结合直角三角形求解 如图 作出球的一个截面 则mc 8 6 2 cm 设球的半径为rcm 则r2 om2 mb2 r 2 2 42 r 5 解析长方体外接球直径长等于长方体体对角线长 所以球的表面积s 4 r2 14 类型三与球有关的组合体 命题角度1球的内接或外切柱体问题例3 1 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别为1 2 3 则此球的表面积为 14 解析 答案 解析由题意知 此球是正方体的内切球 根据其几何特征知 此球的直径与正方体的棱长是相等的 故可得球的直径为2 故半径为1 2 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球 则该球的体积为 解析 答案 反思与感悟 1 正方体的内切球球与正方体的六个面都相切 称球为正方体的内切球 若正方体的棱长为a 此时球的半径为r1 2 长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上 称球为长方体的外接球 根据球的定义可知 长方体的体对角线是球的直径 若长方体过同一顶点的三条棱长为a b c 则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2 答案 解析 解如图所示 将正四面体补形成一个正方体 设正四面体的棱长为a 又 球的直径是正方体的体对角线 设球的半径是r 命题角度2球的内接锥体问题例4若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为r的球面上 求球的表面积 解答 解把正四面体放在正方体中 跟踪训练4球的一个内接圆锥满足 球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半 则该圆锥的体积和此球体积的比值为 解析 答案 解析设球的半径为r 当圆锥顶点与底面在球心两侧时 过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图 达标检测 解析设圆柱的高为h 得h 4r 1 把3个半径为r的铁球熔成一个底面半径为r的圆柱 则圆柱的高为a rb 2rc 3rd 4r 1 2 3 4 5 答案 解析 答案 解析 解析如图 设截面圆的圆心为o m为截面圆上任一点 1 2 3 4 5 2 3 3 若与球外切的圆台的上 下底面半径分别为r r 则球的表面积为a 4 r r 2b 4 r2r2c 4 rrd r r 2 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 解析方法一如图 设球的半径为r1 则在rt cde中 de 2r1 ce r r dc r r 由勾股定理得 2 3 4 5 1 方法二如图 设球心为o 球的半径为r1 连接oa ob 则在rt aob中 of是斜边ab上的高 由相似三角形的性质得of2 bf af rr 故球的表面积为s球 4 rr 4 两个球的表面积之差为48 它们的大圆周长之和为12 则这两个球的半径之差为a 1b 2c 3d 4 解析设两球半径分别为r1 r2 且r1 r2 所以r1 r2 2 解析 2 3 4 5 1 答案 表面积为s1 4 r2 半径增加为2r后 表面积为s2 4 2r 2 16 r2 即体积变为原来的8倍 表面积变为原来的4倍 5 若球的半径由r增加为2r 则这个球的体积变为原来的 倍 表面积变为原来的