非性线性连续系统李雅普诺夫第二方法稳定性分析.doc

非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 目录1、前言.(7) 1.1发展状况.（7） 1.2 Lyapunov稳定性实际应用.（7） 1.3 Lyapunov应用研究现状.（9） 1.4 Lyapunov关于稳定性定义.（10） 1.5 Lyapunov第一方法.（11）2 、非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析.（13） 2.1 引言.（13） 2.2 问题描述.（13） 2.3 Lyapunov第二方法直观解释.（13） 2.4 标量函数的符号性质.（14） 2.5 Lyapunov第二方法相关定理.（14） 2.6非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析.（16）3、仿真示例.（20）4、总结与展望.（23）致谢.（24）参考文献.（25）摘要对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。Lyapunov第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。本文主要通过分析李雅普诺夫当前发展状况和在实际中的应用，进而研究非线性连续系统Lyapunov第二方法的稳定性分析。关键字：非线性 连续系统 Lyapunov第二方法 稳定性AbstractDirectly determine the stability of system state equation. The limitations of lyapunov second method is that the need when using the stability of the system problem. Now, with the development of computer technology, with the aid of a digital computer can find not only the need of lyapunov function, but also can determine the stability regions of the system. In this paper, by analyzing the lyapunovs current development status and application in the actual, and study the nonlinear stability analysis of continuous system lyapunov second method.Keywords：Stability of nonlinear; continuous system; Lyapunov second methodl 1 前言（Introduction）1.1 Lyapunov发展状况Lyapunov稳定性理论能同时适用于分析定常系统和时变系统的稳定性、线性系统和非线性系统、，是更为一般的稳定性分析方法。Lyapunov稳定性理论主要指Lyapunov第二方法，又称Lyapunov直接法。Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。时变系统对非线性系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是Lyapunov第一方法，又称Lyapunov间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。Lyapunov第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。Lyapunov第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。从19世纪末以来，Lyapunov稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循Lyapunov所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，Lyapunov第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的Lyapunov稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，Lyapunov函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，Lyapunov函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，v函数被推广为向量形式，称为向量Lyapunov函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。1.2 Lyapunov稳定性实际应用（1）对大学生体育素质稳定性的评估 大学生体育素质的综合评估具有重要的理论意义和应用价值，尤其是对某个学生群体的综合评估具有很大的应用价值。影响大学生体育素质的因素有多个方面，包括教师水平、学校设施、学生自身条件及时间、精力的投入等，这些都是受非随机干扰的随机性变量。因此，对特定大学生群体体育素质的稳定性评估需要着力研究。考虑这些情况，将李雅普诺夫稳定性理论运用于所研究内容。1982 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文运动稳定性的一般问题对运动稳定性给出严格的、精确的数学定义和解法，从而奠定了稳定性理论的基础。随后，经过近百年的发展，形成了一整套的稳定性的数学理论，并在实践中广泛应用。使用该理论进行稳定性评估是通过建立系统动态方程而后对其动态变化特性进行推导和分析。首先确定评估需要考察的内容，然后根据评估指标及其测度方法来表征相应内容。随后，基于李雅普诺夫稳定性理论，建立大学生体育素质的动态方程，最后列举评估实例说明方法有效性。（1） 在目标识别效果评估中的应用 目标识别具有重大的理论意义和应用价值，长期以来，对目标识别效果评估的研究相当有限：a.没有形成一种完整的、通用的评估理论； b.成熟的、可直接应用于实际工作的评估方法非常少； c.评估中没有将识别过程所处的条件有机地考虑进去。因此，效果评估成为目标识别中最迫切需要解决的重要问题。对这一方向进行研究，主要针对识别效果的稳定性进行研究。从整体上来说，目标识别系统融入了待识别目标、环境、识别处理系统，因此，它是一个复杂的大系统，在这中间的随机性因素很多，不确定性的因素也很多，研究识别效果在这样复杂情况下的稳定性具有重要的理论和实践意义。 将Lyapunov稳定性理论运用于所研究内容，首先形成目标识别系统的动态模型，随后基于李雅普诺夫稳定性理论，可以分析目标识别系统的稳定性条件，并给出识别效果的动态变化示意图。 利用Lyapunov稳定性理论进行目标识别系统识别效果稳定性分析的优势：a.理论依据充分，结论清晰明了；b.在一旦找出识别系统获得的目标特征信息变化规律及某些情况下的识别效果后，就可以进行全局的分析；c.评估方法具有通用性，可以适用于任意一种识别系统的评估。（2） 在飞机空气动力和动力学方程中的应用 飞机的稳定性是飞行动力学的重要组成部分,基于飞机空气动力和动力学方程的非线性，将Lyapunov稳定性分析方法应用于飞机在定常大迎角飞行状态的稳定性分析，该方法克服了小迎角的局限性，在某型号设计中得到了具体的应用在航空科学发展的早期，飞机的机动性不高，飞行迎角不大，飞机气动力随迎角的变化保持很好的线性。因此，采用定常直线飞行基准状态的小扰动的假设，忽略运动方程的非线性影响，采用气动导数的方法来分析飞机的稳定性。由于这样处理具有方法简单，物理意义明显，模态特性可以按纵、横航向分开处理，在飞行动力学中得到了广泛应用。随着航空科学的进一步发展，越来越强调飞机的机动性、敏捷性。在高机动性飞机的飞行中，如快速滚转、快速拉升或俯冲，大过载盘旋，大迎角状态下气动力的非线性及纵、横向气动力的交叉，动力学方程中非线性因素的影响，是必须要考虑的。（4）基于信息熵的模糊控制系统稳定性的分析鉴于模糊控制系统稳定性分析方法的复杂性和不完善性，用信息论的观点思考这一问题。依据Lyapunov稳定性分析原理，通过引入信息熵的概念，对模糊控制系统的稳定性分析方法进行深入研究和探讨。在综合考虑系统动态品质和稳定边界要求的基础上，给出一般模糊控制系统的稳定性定义，并通过严格的数学推导证明使模糊控制系统稳定的一个充分条件。1.3 Lyapunov应用研究现状(1)估计非自治系统的吸引域 对于非自治系统，设是R中包含原点的一个开发区域，对所有和任意给定的总能找到一个，使当时，有成立，则称是系统零解的一个吸引域。当零解渐进稳定时，它有一个邻域作为吸引域，希望能估计出一个范围较大的吸引域。 定理：若上述系统的右端函数关于连续，且在，中有界。若有一个正定函数满足：时关于连续，且有，则零解渐进稳定的。(2)判断非线性系统的中心或焦点对于非线性系统 （1）与之相应的线性系统为或 （2）其中，显然当且仅当时，系统有唯一的奇点，因为系统（1）与系统可通过拓扑变换相互转化，即二者是拓扑同胚，二者具有相同的拓扑结构稳定性。判断中心焦点的V函数法：设原点O是系统的一个奇点，并且是对应线性系统的中心，在原点的领域U内存在一个连续可微的正定函数，有以下几种情形：若沿着系统轨线的全导数，则0是系统的中心。其中全导数满足若沿着系统的轨线全导数负定，则0是系统的稳定焦点。若沿着系统的轨线全导数正定，则0是系统的不稳定焦点。1.4 Lyapunov关于稳定性定义线性系统的稳定性只与系统本身的结构和参数有关，但对于非线性系统，其稳定性还与系统的初始条件与外界扰动的大小有关，Lyapunov给出了一种具有一般意义的稳定性的概念。定义：如果系统对于任意选定的实数，都对应存在另一实数使当时，从任意初始状态出发满足 则称平衡状态为Lyapunov意义下稳定（简称稳定）。其中与有关，一般情况下也与有关。如果与无关，则称这样平衡状态是一致稳定的，例如，对于定常系统是这样。以二维空间为例，可用下图形象的表示Lyapunov意义下的稳定性+xeX0无限大时，状态轨迹总是出不了域。即任意选定时都能找到，当时，状态轨迹都出不了的状态空间所界定的边界。当，系统的状态轨迹不一定要收敛于平衡点。系统只要在平衡点小范围内稳定就能满足Lyapunov稳定性定义，因此这种稳定性也可以是范围或局部意义下稳定。1.5 Lyapunov第一方法通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需要解出特征方程的根就可以做出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过一次线性化处理得出线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。线性系统的稳定性判据：以线性定常系统为例，状态稳定性系统矩阵A的所有特征根均具有负实部；输出稳定性传递函数极点全位于S平面左半部；特殊情况下，零极点对消，输出稳定，但状态不稳定。非线性系统的稳定性判据：设非线性系统状态方程为： （3） 为系统平衡状态；为与x同维状态矢量函数，且对具有联系偏导数。为讨论系统在x处的稳定性，对非线性矢量函数在领域内张开成泰勒级数，得： （4）式中， R（x）为级数展开式中得高阶导数项 （5）称为雅可比矩阵。若令，并取式（1.22）的一次近似，可得系统的线性化方程。 (6)式中 （7）在一次近似的基础上，Lyapunov得出如下结论：如果方程式（1.54）中系数矩阵A的所有特征值具有负实部，则原线性系统（1.53）在平衡状态是渐近稳定的，且系统稳定性无关。如果系数矩阵A的所有特征值至少有一个具有真实部，则原非线性系统在平衡状态是不稳定的。如果系数矩阵A的所有特征值至少有一个具有真实部为零，系统处于临界情况，则原非线性系统在平衡状态的稳定性取决于高阶导数项，而不能由A的特征值符号来确定。 l 2 非线性连续系统第二方法稳定性分析2.1 引言Lyapunov稳定的概念以及控制系统在Lyapunov意义下稳定的若干实例,然而没有给出直观图形,学生很难理解控制系统Lyapunov稳定性的确切含义。本文通过系统仿真实例,将控制系统Lyapunov稳定性的几种情况用图像的形式表现出来,使枯燥抽象的理论知识动态化、可视化,使学生对理论知识有了更加深刻的理解和掌握,取得了很好的教学效果。2控制系统的Lyapunov稳定性理论稳定性是控制系统的最重要的特性,也是系统能够工作的首要条件。稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。对于一个控制系统,当所有的输入信号为零,而系统的输出信号保持不变的点(位置)称为平衡点(位置)。稳定性指的是系统在平衡状态下受到干扰后,系统自由运动的性质。因此,系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的,因此分析控制系统的稳定性问题可以归结为对平衡点的稳定性分析。Lyapunov稳定性理论是俄国学者Lyapunov于1892年在“运动稳定性一般问题”一文中最早提出的, Lyapunov稳定性定理1给出了系统稳定的各种判据。Lyapunov第二方法不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。系统运动需要能量在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐进稳定。反之则系统不稳定，若能量在运动过程中不减不增，则为李雅普诺夫意义下稳定。2.2 问题描述Lyapunov第二方法不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。系统运动需要能量在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐进稳定。反之则系统不稳定，若能量在运动过程中不减不增，则为Lyapunov意义下稳定。2.3 Lyapunov第二方法直观解释2.4 标量函数的符号性质设为有n维矢量x所定义的标量函数， ,且在处，恒有。对所有在域中的任何非零矢量x,如果成立1），则称为正定的。例如：2），则称为半正定（或非负定）的。例如，3），则称为负定的。例如：4），则称为半负定（或非正定）的。例如： 5）或，则称为不定的。例如：2.5 Lyapunov第二方法相关定理1、大范围渐近稳定的判别定理连续时间非线性系统时变自治系统： （8） 其中为维状态。并且，对于所有成立，即状态空间原点为系统孤立平衡状态。Lyapunov主稳定性定理1：对于连续时间非线性时变自治系统（8），若可构造对和具有连续一阶偏导数的一个标量函数，且对状态空间中所有非零状态点满足条件： 正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数和，其中和，使所有和所有成立：； 对时间的导数负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数，其中，使对所有和所有成立：； 当，有即。则系统的原点平衡状态为大范围一直渐近稳定。Lyapunov主稳定性定理2：对连续时间非线性时不变自治系统，其中，为维状态，对所有有，即状态空间原点为系统的孤立平衡状态，若可构造对具有连续一介偏导数的一个标量函数， ，且对状态空间中所有非零状态点满足如下条件：为正定；为负定；当，有；则系统的原点平衡状态为大范围渐进稳定。Lyapunov主稳定性定理3:对连续时间非线性时变自治系统（8）若可构造对具有连续一阶偏导数的一个标量函数，,且对状态空间中所有非零状态点满足： 为正定； 为半负定； 当有；则系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定。2、Lyapunov意义下判别定理稳定性定理4:对于连续时间非线性时变自治系统（8），若可构造对和具有连续一阶偏导数的一个标量函数，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有的非零状态和所有满足条件： 为正定且有界； 为负定且有界；则系统原点平衡状态在域内为Lyapunov意义下一致渐近稳定。 稳定渐近性定理定理5：对连续时间非线性时变自治系统 若可构造对具有连续一阶偏导数的一个标量函数，,以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有的非零状态满足： 为正定； 为负定；则系统的原点平衡状态为在域内为渐近稳定。稳定性定理6：对连续时间非线性时不变自治系统 若可构造对具有连续一阶偏导数的一个标量函数，,以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有的非零状态满足： 为正定； 为半负定；。则原点平衡状态为在域内为李雅普诺夫意义下稳定。2.6 非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析举例例1：给定一个连续时间非线性时不变自治系统： 易知，和为唯一平衡状态。分析：首先，取Lyapunov函数为状态的二次函数； 可知为正定，且进而，通过计算，可以得到 容易看出，为负定，且。最后当有 根据定理知，系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。例2：给定一个连续时间非线性时不变自治系统： 易知，和为唯一平衡状态。分析：首先，取Lyapunov函数为状态的二次函数； 可知为正定，且进而，通过计算，可以得到 =可以看出的情况有“任意，”和“任意，”，此外均有。表明为负半定。现在，检查是否满足条件。为此，问题归结为，判断上述使的两种情况是否为系统受干扰运动的解。对“任意，”情形，表 则由可导出，将此代入系统方程得到 这表明，处原点外不是系统受扰运动解，对“任意，”情形表则由可导出将此代入系统方程得到 显然，这是一个矛盾的结果，从而意味着同样不是系统受扰运动解，综上可知，条件满足。最后，当，有由定理三知，系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。通过上面的例子可以知道有Lyapunov第二方法判断系统稳定性分析主要是构造标量函数，并通过判断标量函数一阶导数的正定性来判断系统是否稳定因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：1) 构造一个函数v(x1,xn),它具有一定的符号特性，例如证明渐近稳定时要求v(x1,xn)=C(C0),且当C趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；2) v(x1,xn)沿着解x1=x1(t),xn=xn(t)的时间导数dv/dt= w(x1,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。Lyapunov的稳定性判别研分为时变和时不变时变系统，其中时不变系统要求所找到的标量函数和标量函数一阶导数都有界并且可以标量函数为正定，标量行数一阶导数为半负定那么此系统为Lyapunov意义下一致渐近连续。具体的是时变是不变系统具体区别如下表：大范围小范围Lyapunov时变条件（有界）（有界）（有界）（有界）稳定性域内一致渐近稳定域内Lyapunov意义下一致渐近稳定时不变条件；当时；稳定性大范围渐近稳定域内渐近稳定域内Lyapunov意义下稳定例3：下图为一个简单的RC一阶电路，试判断这个系统的稳定性。解：选择状态变量 为电容器上的电压 ，得系统的状态方程为 现由能量的观点来考察这个系统。由上述状态方程可知其状态解为电容器储存的电场能为它随时间的变化率是这表明系统的运动是一个放电过程，其能量随时间而减少，直到系统运动到平衡状态 ，其能量为零，运动停止在该平衡状态。根据Lyapunov关于稳定性定义，可判断该系统在平衡状态 处是渐近稳定的。l 3 仿真示例 对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即=0是否为大范围渐近稳定： 解：易知，和为唯一平衡状态。首先，取Lyapunov函数为状态的二次函数； 可知为正定，且进而，通过计算，可以得到 = 可以看出的情况有“任意，”和“任意，”，此外均有。表明为负半定。 所以系统原点平衡状态为Lyapunov意义下稳定 通过上面的仿真示例：时变系统系统的系统图形。通过系统状态、的运动轨相图可以看出系统状态、迹随时间的改变渐近趋于稳定，不随时间的变化而发生大幅度的变化，通过系统则相图可以知道在0点附近是大致渐近稳定的，所以系统原点平衡状态为Lyapunov意义下稳定的。通过上面的例子可以知道有Lyapunov第二方法判断系统稳定性分析主要是构造标量函数，并通过判断标量函数一阶导数的正定性来判断系统是否稳定因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：构造一个函数v(x1,xn),它具有一定的符号特性，例如证明渐近稳定时要求v(x1,xn)=C(C0),且当C趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；v(x1,xn)沿着解x1=x1(t),xn=xn(t)的时间导数dv/dt= w(x1,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。 l 总结与展望本文对非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性进行分析，主要为：1、 对非线性系统Lyapunov第二方法稳定性判别方法进行了示例进行证明。2、 本文用表格的方法清除明了的进行对Lyapunov第二方法稳定性判别法进行了对比，并得出相关结论。本文的创新方法也分别得到了验证，即：用Lyapunov第二方法对非线性系统进行稳定性分析时不用求解微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。时变系统最终得出的是一致渐近稳定，时不变得出的是渐近稳定。由于时间仓促，本文所涉及的工作仍不尽详细，例如：1、 对于实例的应用仿真只是数据仿真，可以针对实际问题做更具体深入的数据比较和工程应用分析；2、 对于Lyapunov 第二方法不论从大范围还是从小范围都可以进一步探讨；3、 对于非线性连续系统还可以对其进行不稳定性研究等等。l 致谢在此文完成之际，我四年的大学时光在这个季节画上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号我将面对又一次征程的开始。离别在即，站在人生的又一个转折点上，心中难免思绪万千，一种感恩之情油然而生。在论文完成之际，我首先向关心帮助和指导我的指导老师雷靖表示衷心的感谢并致以崇高的敬意在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到雷老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，雷老师以其渊博的学识、严谨的治学态度、求实的工作作风和他敏捷的思维给我留下了深刻的印象，我将终生难忘我的雷老师对我的亲切关怀和悉心指导，再一次向他表示衷心的感谢，感谢他为学生营造的浓郁学术氛围，以及学习、生活上的无私帮助! 雷老师不仅在学业上给我精心的指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀值此论文完成之际，谨向雷老师致以最崇高的谢意! 然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下的专业知识的基础；同时还要感谢在一起愉快度过毕业论文小组的同学们，正是有你们的帮组和支持，我才能克服一个一个困难和疑惑，直至论文顺利完成。l 参考文献：（宋体 小五号）：1 毛利锐，沈灌群.中国教育通史M.济南：山东教育出版社，1988：20-22.2 .马尔金 著 秦元勋 董金柱等.李雅普诺夫与邦加来方法M. 科学出版社. 1959:45-603 莫少强.数字式中文全文文献格式的设计与研究J/OL.情报学报,2010：01-024高山晟，杨斌.数理经济学.中国人民大学出版社，2009：06-025李信俊，张科.自适应控制理论及应用.西北工业大学出版版社，2005：01.6陈学中，杜秀华.现代控制基础.高等教育出版社，2009：05-027鹏临平，杨卓琴.常微分方程动力系统.北京航空航天大学出版社，2010：018徐国凯，杜元虎电动汽车的驱动与控制.电子工业出版社，2010：06-029杨和振, 李华军, 黄维平. 基于振动测试的海洋平台结构无损检测. 振动工程学报, 2003, 16(4): 480-484.10李中付, 宋汉文, 华宏星. 一种白噪声环境激励下模态参数辨识方法, 振动工程学报, 2002, 15(6): 52-56.11史治宇, 罗绍湘, 张令弥. 构破损定位的单元模态应变能变化率法,振动工程学报, 1998, 11(3): 356-360.12 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