高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.4 充要条件课件 北师大版选修11.ppt

1 2 4充要条件 1 理解并掌握充要条件的意义 2 能结合所学知识判断p是否为q的充要条件 充要条件对于p和q 如果有p q 又有q p 通常记作p q 这时 p既是q的充分条件 又是q的必要条件 同时 q既是p的充分条件 也是p的必要条件 我们称p是q的充分必要条件 简称充要条件 也称p与q是等价的 判断充要条件的三种方法 1 定义法 直接利用定义进行判断 2 等价法 p q 表示p等价于q 等价命题可以进行转换 当我们要证明p成立时 就可以去证明q成立 这里要注意 原命题 逆否命题 否命题 逆命题 只是等价形式之一 对于条件或结论是不等式关系 否定式 的命题一般应用等价法 3 利用集合间的包含关系进行判断 如果条件p和结论q都是集合 那么若p q 则p是q的充分条件 若p q 则p是q的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 名师点拨1 命题成立的条件总共可以分成四种 充分不必要条件 p q 但是q不能推出p 必要不充分条件 q p 但是p不能推出q 充要条件 p q且q p 既不充分又不必要条件 p不能推出q且q不能推出p 2 充要条件的意义是 有p 则q必成立 无p 则q必不成立 简记为 有之必有果 无之则无果 做一做1 a b中至少一个不为零的充要条件是 a ab 0b ab 0c a2 b2 0d a2 b2 0答案 d 做一做2 设原命题 若p 则q 为假 而逆命题为真 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件解析 原命题为假 则p不能推出q 逆命题为真 则q p 答案 b 做一做3 若x r 则函数f x ax2 bx c a 0 的值恒为正的充要条件是 答案 a 0且b2 4ac 0 题型一 题型二 题型三 充要条件的应用 例1 在下列各题中 判断a是b的什么条件 并说明理由 1 a p 2 p r b 关于x的方程x2 px p 3 0有实根 2 a 圆x2 y2 r2与直线ax by c 0相切 b c2 a2 b2 r2 解 1 当 p 2时 例如p 3 则关于x的方程x2 3x 6 0无实根 而关于x的方程x2 px p 3 0有实根 则必有p 2或p 6 可推出 p 2 故a是b的必要不充分条件 题型一 题型二 题型三 2 若圆x2 y2 r2与直线ax by c 0相切 则圆心到直线ax by c 0的距离等于r 所以c2 a2 b2 r2 说明x2 y2 r2的圆心 0 0 到直线ax by c 0的距离等于r 即圆x2 y2 r2与直线ax by c 0相切 故a是b的充要条件 反思本题用集合的包含关系去理解更容易解答 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知p 2x2 3x 2 0 q x2 2 a 1 x a a 2 0 若p是q的充分不必要条件 求实数a的取值范围 题型一 题型二 题型三 充要条件的证明 例2 已知ab 0 求证 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 分析 本题中ab 0是大前提 证明充要条件即证明既是充分条件又是必要条件 必须证明必要性与充分性都成立 题型一 题型二 题型三 证明 先证必要性 a b 1 b 1 a a3 b3 ab a2 b2 a3 1 a 3 a 1 a a2 1 a 2 a3 1 3a 3a2 a3 a a2 a2 1 2a a2 0 必要性成立 再证充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 a b 1 a2 ab b2 0 又ab 0 a 0且b 0 从而a2 ab b2 0 a b 1 0 即a b 1 故充分性成立 综上所述 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 反思证明充要条件时 要分清楚充分性是由条件证明结论成立 必要性是由结论证明条件成立 题型一 题型二 题型三 变式训练2 求证 关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负根的充要条件是a 1 题型一 题型二 题型三 必要性 若方程ax2 2x 1 0至少有一个负根 当a 0时 方程为2x 1 0 符合题意 当a 0时 方程ax2 2x 1 0应有一正一负两根或两个负根 综上知 若方程ax2 2x 1 0至少有一个负根 则a 1 故关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负根的充要条件是a 1 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点证明充要条件时 因混淆充分条件和必要条件而致误 例3 设x y r 求证 x y x y 成立的充要条件是xy 0 错解 证明 充分性 若 x y x y 成立 则 x y 2 x y 2 即x2 y2 2xy x2 y2 2 x y 2xy 2 x y xy x y xy xy 0 必要性 若xy 0 则左边 x y 2 x2 y2 2xy 右边 x y 2 x 2 y 2 2 x y x2 y2 2 xy xy 0 2 xy 2xy x y 2 x y 2 又 x y 0 x y 0 x y x y 成立 综上知 x y x y 成立的充要条件是xy 0 题型一 题型二 题型三 错因分析 x y x y 的充要条件是xy 0 等价于xy 0是 x y x y 成立的充要条件 错解中混淆了充分条件和必要条件 正解 充分性 x y 2 x2 y2 2xy x y 2 x2 y2 2 x y x2 y2 2 xy 且xy 0 2 xy 2xy x y 2 x y 2 又 x y 0 x y 0 两边开方 得 x y x y x y x y 成立 必要性 x y x y 两边平方 得x2 y2 2xy x2 y2 2 x y 2xy 2 x y 2 xy xy 0成立 1 2 3 4 5 1 设集合a x x 2 0 b x x0 则 x a b 是 x c 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 a x x 2 b x x2或x0 x x 2或x 0 a b c x a b 是 x c 的充要条件 答案 c 1 2 3 4 5 2 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 数列 an 为等比数列 且a1 a2 a3 an 是递增数列 反之也成立 故 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的充要条件 答案 c 1 2 3 4 5 3 设 r 则 0 是 f x cos x x r 为偶函数 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 若 0 则f x cosx为偶函数成立 反之 若f x cos x 为偶