E不动点方法求数列通项.doc

不动点方法求数列通项第一章：引言 本文主要是讨论用不动点的方法来解决数列通项问题。当我们知道了数列的递推公式，然后最关心的就是如何求出数列的通项公式。这个也是竞赛，高考中最常见的问题。本文特别关注用分式函数，“耐克”函数，多项式函数作为非线性数列递推关系的数列通项。不动点方法是大学动力系统的研究中的一种核心方法。本文就是通过结合不动点方法来解决已知某项递推公式的通项公式。主要参考了多项式和有理函数的例外点集的处理方法，给出了一种解决数列迭代通项的问题。同时指出，如果在竞赛和高考命题中，如果利用耐克函数迭代形式只有当时，才能写出通项。 第二章：主要结果定义：对函数，若存在满足，那么称为函数的不动点。下面介绍不同几类的数列的通项求法。1 ，设，将看做。计算可得不动点，构造。将代入的表达式中可得是一个等比数列。由此可得：，故2 ，且。若可以通过上下同除一个常数使得行列式为1。 设，计算不动点可得方程，对于方程。因此，对于不动点的结构而言，有三种不同情况。情况一： 方程有两个不同的实数根，记作。那么构造，可得。这里或者，到底取哪个值与的构造方法有关。由此可得，所以，所以情况二：方程有两个相同实数根，记作，此时。故那么构造。 可得。所以。，所以情况三：方程有两个共轭虚根。 当共轭虚根时，数列往往显示周期性。一般有如下规律。要么有，要么有。 这个问题还有待研究。3以下要给出一系列多项式和有理函数迭代的数列的公式。例1 ，求的通项。解：设，那么可得。构造，可得。因此。所以，所以。例2，求的通项。解：作函数，求不动点可得，。显然构造不改变原来递推形式。尝试或者发现可以求出，因此。故 ，即。对于有理函数和多项式迭代什么时候可以用不动点方式写出通向公式。可以从以下定理中得出结论。定义：设为有理函数，称序列为在点的轨道，记作。定义的大轨道。一个点称为例外点，如果它的大轨道是有限点集，记例外集为。定理1：至多由两个点组成。定理2:：若非空，当，则有理函数可以共轭形如。所以，前面的有理函数迭代，其中不动点恰好是例外点。因为若函数则有，由此可知，只有在这个大轨道中。故可以通过设得到。 下面我们来说明，对于耐克函数迭代，可以通过移动不动点方法的情况这是唯一种。证明方法主要是通过计算例外点的方法来实现。设，设，所以，故。如果为例外点，只能有方程的解只能为代入方程可得，。由此可知，必须也是或者。故可知，故。当，故。 由此可知如果利用耐克函数构造数列迭代，只有才能化解成。故我们得到命题。命题： 对于，当且仅当时，的例外集为中有两个点。推论：对于，当且仅当时，才有满足。第三章：问题 本文只是考虑了较为简单的耐克的函数类，分式函数类和多项式函数类的问题。对于更复杂的函数类该如何处理依旧是一个问题。关键问题在于如何计算何种函数才有两个例外点。 第四章： 感谢首先感谢组委会给我一个机会参与这个比赛，激发我的数学兴趣，更要感谢丘先生举办如此一个比赛让我们充分发挥自主学习性。 同时也要感谢我的母校天山中学对我的教导。以及感谢我的指导老师杨静桦博士的指导。谢谢他推荐我看一些大学的书籍，以至于我会了解很多