高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程 3.4.1 曲线与方程课件 北师大版选修21(1).ppt

3 4 1曲线与方程 1 能够结合已学过的曲线及其方程的实例 了解曲线与方程的对应关系 进一步感受数形结合的基本思想 2 体会解析几何的本质 用坐标法研究几何图形的知识 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 进而通过研究方程来研究曲线的性质 3 掌握求曲线方程的一般方法 进一步体会曲线与方程的关系 感受解析几何的思想方法 1 曲线与方程在平面直角坐标系中 如果某曲线c 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解满足以下关系 如果曲线c上点的坐标 x y 都是这个方程f x y 0的解 且以方程f x y 0的解 x y 为坐标的点都在曲线c上 那么 方程f x y 0叫作曲线c的方程 曲线c叫作方程f x y 0的曲线 做一做1 1 已知p1 x1 y1 是直线l f x y 0上的一点 p2 x2 y2 是直线l外一点 则方程f x y f x1 y1 f x2 y2 0表示的直线l 与直线l的位置关系是 a 平行b 重合c 垂直d 斜交解析 点p1 x1 y1 在直线l f x y 0上 f x1 y1 0 f x y f x1 y1 f x2 y2 f x y f x2 y2 0 即l 为f x y f x2 y2 点p2 x2 y2 在直线l外 f x2 y2 k 0 l 为f x y k 即f x y k 0 答案 a 做一做1 2 已知曲线x2 y2 ax by c过原点 则必有 答案 c 0 2 点在曲线上的充要条件如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p x0 y0 在曲线c上的充要条件是f x0 y0 0 说明 证明方程的曲线或曲线的方程需证明两条 1 曲线上点的坐标都是方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 可设曲线上任意一点的坐标 依据曲线的性质 写出该点坐标满足的条件 看是否与方程一致 同时还要看以方程的任一解为坐标的点是否适合曲线上的点的要求 方程与曲线从两个不同的方面反映两个量x y的同一关系 a 1b 2c 3d 4答案 c 做一做2 2 点m在曲线y2 4x上 是 点m的坐标满足方程y 2 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件答案 b 3 求曲线方程的基本方法求曲线方程一般有下列五个步骤 1 建立适当的直角坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 必须是等价变形 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 简记为 建系设点 列式 代换 化简 证明 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思把点的坐标代入方程检验点是否在方程表示的曲线上时 一定要注意方程有限制条件的情况 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 解 方程 1 是表示直线l的方程 而 2 3 4 都不是表示直线l的方程 理由如下 方程 2 中 直线上的点的坐标不全是方程的解 如点 1 1 不符合 直线上的点的坐标都是方程的解 这一结论 方程 3 中 虽然 直线l上的点的坐标都是方程的解 但以方程x2 y2 0的解为坐标的点不全在直线l上 如点 2 2 不符合 以方程的解为坐标的点都在直线上 这一结论 方程 4 既不符合 直线上的点的坐标都是方程的解 也不符合 以方程的解为坐标的点都在直线上 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 证明 圆心为p a b 半径为r的圆的方程是 x a 2 y b 2 r2 证明 设点m x0 y0 是圆上任意一点 所以点m到圆心p的距离等于r 所以 r 也就是 x0 a 2 y0 b 2 r2 即 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 设 x0 y0 是方程 x a 2 y b 2 r2的解 题型一 题型二 题型三 题型四 则有 x0 a 2 y0 b 2 r2 两边开方取算术平方根 得即点m x0 y0 到点 a b 的距离等于r 所以点m x0 y0 是这个圆上的点 综上可知 x a 2 y b 2 r2是圆心为p a b 半径为r的圆的方程 反思证明方程的曲线或曲线的方程须证明两点 1 曲线上的坐标都是方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 过点p 2 4 作两条互相垂直的直线l1 l2 l1交x轴于点a l2交y轴于点b 求线段ab的中点m的轨迹方程 分析一 设m x y 利用kpa kpb 1建立等式求解 分析二 利用直角三角形的性质 pm ab 建立等式求解 分析三 由a o b p四点共圆 则有 om pm 题型一 题型二 题型三 题型四 解 方法一 如图所示 设点m的坐标为 x y m为线段ab的中点 点a的坐标为 2x 0 点b的坐标为 0 2y l1 l2 且l1 l2过点p 2 4 pa pb kpa kpb 1 整理 得x 2y 5 0 x 1 当x 1时 a b的坐标分别为 2 0 0 4 线段ab的中点坐标是 1 2 也满足方程x 2y 5 0 综上可知 点m的轨迹方程是x 2y 5 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 方法三 如图所示 设点m的坐标为 x y 连接pm om 由l1 l2 知a o b p四点共圆 ab为圆的直径 m为圆心 则有 om mp 化简 得x 2y 5 0为所求轨迹方程 反思求曲线的轨迹方程 事实上就是探求动点横纵坐标之间满足的关系式 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如图所示 在圆x2 y2 4上任取一点p 过点p向x轴作垂线段pp1 p1为垂足 延长p1p到点q 使得 p1p pq 求当点p在圆上运动时 动点q的轨迹方程 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点方程变形不等价 造成范围扩大 例4 点m与点p 2 2 连线的斜率是它与点q 2 0 连线斜率的2倍 求点m的轨迹方程 错解 设点m的坐标为 x y 化简整理 得点m的轨迹方程为xy 2x 6y 4 0 错因分析 因为直线pm和直线mq的斜率都存在 所以在 中 x 2 但在 中却有x 2 此时p 2 2 和q 2 0 在方程 表示的曲线上 其原因是从 到 是非等价变形 使x的范围扩大了 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 设点m的坐标为 x y 当x 2时 直线pm的斜率不存在 当x 2时 直线mq的斜率不存在 均不合题意 当x 2时 由已知得化简整理 得点m的轨迹方程为xy 2x 6y 4 0 x 2 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 已知一条曲线 它上面的每一点到点a 0 2 的距离减去它到x轴的距离的差都是2 求这条曲线的方程 分析 由已知点a 0 2 可知本题已有确定的坐标系 此时应注意所设点到x轴的距离应等于所设点纵坐标的绝对值 而不等于所设点的纵坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 解 如图所示 设曲线上任一点m的坐标为 x y ma 为点m到点a 0 2 的距离 mb 为点m到x轴的距离 根据题意 动点m所满足的关系式为 ma mb 2 a 0 2 当y 0时 上式可化简为x2 8y 当y 0时 上式可化简为x 0 所求曲线的方程为x2 8y y 0 或x 0 y 0 12345 1 如果曲线c上的点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 那么 a 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上b 以方程f x y 0的解为坐标的点有些不在曲线c上c 不在曲线c上的点的坐标都不是方程f x y 0的解d 坐标不满足f x y 0的点不在曲线c上解析 条件中曲线c上的点的坐标 x y 都是方程f x y 0的解 满足了曲线与方程的概念的条件 1 而且阐明曲线c上没有坐标不满足方程f x y 0的点 也就是说 坐标不满足f x y 0的点不在曲线c上 故选d 由条件无法判定满足曲线与方程的概念的条件 2 从而选项a b c是错误的 答案 d 12345 2 方程x2 y2 1 xy0 y0 答案 c 12345 3 方程 x y 2 xy 1 2 0的曲线是 a 一条直线和一条双曲线b 两条双曲线c 两个点d 以上答案都不对答案 c 12345 12345 5 已知动点p x y 与两个定点m 1 0 n 1 0 连线所在直线的斜率之