高等数学竞赛题.doc

高等数学竞赛练习题1、设，满足：证明：收敛，并求分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明单调且有界。证明: （1） 证明：易见，则， 从而有： ， 故单调减少，且有下界。所以收敛。 （2）设， 在两边同时取极限得解之得，即。2、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。解 由得，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即，可以得到，同样，我们有，由导数的定义得。因为在的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得）两边取极限得，故。3、设，且在满足：，有（为常数）。证明：（1） 在有界。（2） 在上一致连续。 分析：利用已知条件，通过不等式放大证明有界，再用一致连续的概念和常用的分析方法可以证明函数的一致连续。证明：（1） 由条件知，有，则，从而 ，故在有界。 （2），则 ，取，则，当时，有,故在上一致连续。4、设函数且f (0)存在, 试确定常数a, b, c. 分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。解：由条件可知函数在处连续, 故。 由条件可知在处连续,且, 故。因此 从而，故，则。5、设在上二阶可导， 求证： 使 .分析：洛尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时，采用多种方法去解决，能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。证1 令 则 由洛尔定理知 , , 由洛尔定理知 证2 令 由拉格朗日定理知 由洛尔定理知 证3 在展开为一阶泰勒公式因 故 证4 令 , 用两次洛尔定理。证5 令 , 用一次洛尔定理。6、设f在上可微，且a与b同号，证明：存在，使（1）；（2）.证：（1）令，显然在上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即 .（2）令，显然在上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即 7、设二阶可微，证明：存在，使.证明：令，则。显然在上满足Rolle定理的条件，从而，使. 又 ，于是在上满足Rolle定理的条件，故，使，即存在，使.8、设是定义在上的函数，.且证明：在上可导，且 .分析：由于已知条件：是一个很广的条件，要充分利用它；另外要用导数的定义。证明： 由已知条件得.因为。所以在上可导，且.9、设，且，证明：.分析：从结论可以看出，绝对值里面刚好是，因此容易想到先求的导数。再用导数的定义。证明：因为，所以又，所以 . 即。10、设f在上二阶可微，则方程在内至少有一个根 .分析；方程在一个区间有根的问题往往要用零点存在定理去判断，因此验证该方程在两端点值的符号是解决问题的关键。证明： 因为，不妨设，因，故，使，从而，使。因，故，使，从而，使得。又因在上可微，所以在上连续，由零点存在定理知，使.于是在及上分别利用Rolle定理得，存在，使得. .再在上用Rolle定理得，使.即方程在内至少有一个根.11、（浙江师范大学2004）设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，是内的任一点，证明。分析：如果函数高阶可导，并给定了函数的导数或函数的值，要求估计一个函数的界，往往要用Taylor展开式。证明：因在上具有二阶导数，故存在使得同理存在使得将上面的两个等式两边分别作差，得即因此而，故。12、设. 证明：，使 .证明：将在点处展开泰勒公式，得（在与之间）令得 .令得 .因为，所以.令 ， 则 ，代入，得.13、设函数f具有一阶连续导数，存在，且，（1）确定，使处处连续；（2）对以上所确定的，证明具有一阶连续导数.分析：分段函数的连续和导数，在分段点的导数一般用定义来求.解：（1）因为若处处连续，则在处连续. 于是，且（2）因 于是 显然，当时，连续，当时，因为所以在处连续，故具有一阶连续导数.14、已知，.求证：（1）数列收敛；（2）的极限值a是方程的唯一正根.分析：要直接判断数列收敛有困难时，可以先构造一个级数，判断级数的收敛。也可以先判断偶数项单调减少，奇数项单调增加，利用子序列相同的收敛性判断数列的收敛性。解一：（1），； 又收敛，收敛，收敛，又因，故收敛。（2）令，且，即是的根，令，故根唯一。解二：由已