湖北省八市高三数学三月联考试卷 文（含解析）.doc

湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）复数（3+2i）i等于（）a2+3ib23ic23id2+3i2（5分）已知a=2，b=log2，c=log23，则（）aabcbzcbccbadcab3（5分）有下列关于三角函数的命题p1：xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x0；p2：函数y=sin（x）与函数y=cosx的图象相同；p3：x0r，2cosx0=3；p4：函数y=|cosx|（xr）的最小正周期为2，其中真命题是（）ap1，p4bp2，p4cp2，p3dp1，p24（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）a94b32c64d165（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（） 1813 101 用电量（度） 24 3438 64由表中数据得到线性回归方程=2x+a，当气温为4时，预测用电量均为（）a68度b52度c12度d28度6（5分）从半径为r的圆内接正方形的4个顶点及圆心5个点中任取2个点，则这个点间的距离小于或等于半径的概率为（）abcd7（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式给定，若m（x，y）为d上任一点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a3b4c3d48（5分）函数f（x）=xcosx2在区间0，3上的零点的个数为（）a2b3c4d59（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）（c0）作圆x2+y2=的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若e为线段pf的中点，则双曲线的离心率等于（）abcd10（5分）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1，若f（x）1的解集为m，g（x）4的解集为n，当xmn时，则函数f（x）=x2f（x）+xf（x）2的最大值是（）a0bcd二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm12（5分）已知向量=（1，2），=（5，2），向量=（4，0），用、表示向量，则=13（5分）设an为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为14（5分）在abc中，a=，ac=2，bc=，则ab=15（5分）已知函数f（x）=+lnx，其中ar，若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x2y=0，则切线方程为16（5分）在平面直角坐标系中，已知点p（4，0），q（0，4），m，n分别是x轴和y轴上的动点，若以mn为直径的圆c与直线pq相切，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为17（5分）设a是一个平面，是平面上的一个图形，若在平面上存在一个定点a和一个定角（0，2），使得上的任意一点以a为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原图形重合，则称点a为对称中心，为旋转角，为旋转对称图形，若以下4个图形，从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为，若是一个正n边形，则其最小旋转角n可以表示为三、解答题（共5小题，满分65分）18（12分）已知函数f（x）=acos2+asinxa（0，a0在一个周期内的图象如图所示，其中点a为图象上的最高点，点b，c为图象与x轴的两个相邻交点，且abc是边长为4的正三角形（1）求与a的值；（2）若f（x0）=，且x0（，），求f（x0+1）的值19（12分）已知正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn=（an2+3an+2），nn+）（1）求an；（2）若akna1，a2，an，且ak1，ak2，akn，成等比数列，当k1=1，k2=4时，求kn20（13分）如图，abca1b1c1是地面边长为2，高为的正三棱柱，经过ab的截面与上底面相交于pq，设c1p=c1a1（01）（1）证明：pqa1b1；（2）是否存在，使得平面cpq截面apqb？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，求实数b的取值范围22（14分）椭圆c：+=1（ab0）的上顶点为a，p（，）是c上的一点，以ap为直径的圆经过椭圆c的右焦点f（1）求椭圆c的方程；（2）动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）复数（3+2i）i等于（）a2+3ib23ic23id2+3i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的运算法则进行求解即可解答：解：（3+2i）i=3i+2i2=2+3i，故选：a点评：本题主要考查复数的计算，利用复数乘法的运算法则是解决本题的关键2（5分）已知a=2，b=log2，c=log23，则（）aabcbzcbccbadcab考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：0a=21，b=log20，c=log231，cab，故选：d点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题3（5分）有下列关于三角函数的命题p1：xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x0；p2：函数y=sin（x）与函数y=cosx的图象相同；p3：x0r，2cosx0=3；p4：函数y=|cosx|（xr）的最小正周期为2，其中真命题是（）ap1，p4bp2，p4cp2，p3dp1，p2考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断p1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断p2；由余弦函数的值域，即可判断p3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断p4解答：解：对于p1，xr，xk+（kz），若tanx0，则sin2x=2sinxcosx=0，则p1为真命题；对于p2，函数y=sin（x）=sin（2+x）=sin（x+）=cosx，则p2为真命题；对于p3，由于cosx1，1，1，1，则p3为假命题；对于p4，函数y=|cosx|（xr），f（x+）=|cos（x+）|=|cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为，则p4为假命题故选d点评：本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题4（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）a94b32c64d16考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积s=（62）2=16，高h=82=6，故四棱锥的体积v=32，故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温（） 1813 101 用电量（度） 24 3438 64由表中数据得到线性回归方程=2x+a，当气温为4时，预测用电量均为（）a68度b52度c12度d28度考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数解答：解：由表格得=10，=40（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=2，40=10（2）+a，解得：a=60，=2x+60，当x=4时，=2（4）+60=68故选：a点评：本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题6（5分）从半径为r的圆内接正方形的4个顶点及圆心5个点中任取2个点，则这个点间的距离小于或等于半径的概率为（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：因为圆的半径为r，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为r，4条长度为2r，两条长度为2r，即可得出结论解答：解：因为圆的半径为r，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为r，4条长度为2r，两条长度为2r，所求概率为故选：b点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键7（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式给定，若m（x，y）为d上任一点，点a的坐标为（，1），则z=的最大值为（）a3b4c3d4考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：首先画出可行域，则z=x+y，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：首先做出可行域，如图所示：z=x+y，即y=x+z做出l0：y=x，将此直线平行移动，当直线y=x+z经过点b时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值因为b（，2），所以z=+2=2+2=4，即z的最大值为4故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用以及向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键8（5分）函数f（x）=xcosx2在区间0，3上的零点的个数为（）a2b3c4d5考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：令函数值为0，构建方程，即可求出在区间0，3上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间0，3上的零点个数解答：解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0x=0或x2=k+，kzx0，3，则x20，9，k可取的值有0，1，2，方程共有4个解函数f（x）=xcosx2在区间0，3上的零点个数为4个故选：c点评：本题考查三角方程的解法以及零点的概念，属于基础题9（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）（c0）作圆x2+y2=的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，若e为线段pf的中点，则双曲线的离心率等于（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：右焦点为f，则pf=a，pf=3a，ef=a，利用勾股定理，即可求出双曲线的离心率解答：解：由题意，设右焦点为f，则pf=a，pf=3a，ef=a，=a，e=故选：c点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1，若f（x）1的解集为m，g（x）4的解集为n，当xmn时，则函数f（x）=x2f（x）+xf（x）2的最大值是（）a0bcd考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：根据绝对值不等式的解法求出集合m，n，以及mn，然后求出函数f（x）的表达式，结合一元二次函数的性质即可得到结论解答：解：f（x）=2|x1|+x1=，若x1，由f（x）1得3x31得x，此时得1x，若x1，由f（x）1得1x1得x0，此时得0x1综上，原不等式的解集m为0，由g（x）=16x28x+14，求得x，n=，mn=0，当xmn时，f（x）=1x，f（x）=x2f（x）+xf（x）2 =xf（x）x+f（x）=x（1x）=（x）2，当且仅当x=时，取得最大值则函数的最大值为故选：d点评：本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值不等式的解法以及一元二次函数以及一元二次不等式的性质是解决本题的关键，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100cm考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率=小矩形的面积=小矩形的高组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量频率求出底部周长小于100cm的频数解答：解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）10=0.4，底部周长小于100cm的频数为600.4=24（株）故答案为：24点评：本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高组距=12（5分）已知向量=（1，2），=（5，2），向量=（4，0），用、表示向量，则=考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用平面向量的基本定理即可得出解答：解：设，则（4，0）=x（1，2）+y（5，2），解得x=y=1故答案为：点评：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题13（5分）设an为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为4考点：程序框图 专题：图表型；等差数列与等比数列；算法和程序框图分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，程序算法的功能是求s=lga1+lga2+lga8的值，由等比数列的求和公式即可得解解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1s=lga1，n=2不满足条件n9，s=lga1+lga2，n=3不满足条件n9，s=lga1+lga2+lga8，n=9满足条件n9，退出循环，输出s的值根据等比数列的通项公式：an=a1qn1a4=2，a5=5，可解得：q=，a1=，所以s=lga1+lga2+lga8=lgs=lg（a1a2a8）=lg（）8（）28=8（lg16lg125）+28（lg5lg2）=4故答案为：4点评：本题主要考查的知识点是程序框图，考查了等比数列的求和，考查了对数的运算，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于中档题14（5分）在abc中，a=，ac=2，bc=，则ab=1考点：正弦定理 专题：解三角形分析：直接利用正弦定理解出角b的大小，进一步利用直角三角形的边角关系求出结果解答：解：在abc中，a=，ac=2，bc=根据正弦定理得：解得：sinb=1由于：0b所以：b=所以在rtabc中，=1故答案为：1点评：本题考查的知识要点：正弦定理得应用，及相关的运算问题，属于基础题型15（5分）已知函数f（x）=+lnx，其中ar，若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x2y=0，则切线方程为2x+y2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x2y=0可得f（1）=2，可求出a的值，可得切点坐标，即可求出切线方程解答：解：（）f（x）=+lnx，f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x2y=0，f（1）=a1=2，解得：a=，f（1）=0，切线方程为y=2（x1），即2x+y2=0故答案为：2x+y2=0点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，求出a是关键，难度中档16（5分）在平面直角坐标系中，已知点p（4，0），q（0，4），m，n分别是x轴和y轴上的动点，若以mn为直径的圆c与直线pq相切，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意，圆c的面积最小时，圆c的半径为，面积为2，四边形mpqn的面积为=6，即可得出结论解答：解：由题意，圆c的面积最小时，圆c的半径为，面积为2，四边形mpqn的面积为=6，当圆c的面积最小时，在四边形mpqn内任取一点，则这点落在圆c内的概率为故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，确定面积是关键17（5分）设a是一个平面，是平面上的一个图形，若在平面上存在一个定点a和一个定角（0，2），使得上的任意一点以a为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原图形重合，则称点a为对称中心，为旋转角，为旋转对称图形，若以下4个图形，从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为，若是一个正n边形，则其最小旋转角n可以表示为考点：归纳推理 专题：综合题；推理和证明分析：由题意，对称中心为正多边形的中心，正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为，=，=；由此可得是一个正n边形的最小旋转角解答：解：由题意，对称中心为正多边形的中心，正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们都是旋转对称图形，则它们的最小旋转角依次为，=，=；是一个正n边形，则其最小旋转角n可以表示为故答案为：，；点评：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理它与演绎推理的思维进程不同归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程三、解答题（共5小题，满分65分）18（12分）已知函数f（x）=acos2+asinxa（0，a0在一个周期内的图象如图所示，其中点a为图象上的最高点，点b，c为图象与x轴的两个相邻交点，且abc是边长为4的正三角形（1）求与a的值；（2）若f（x0）=，且x0（，），求f（x0+1）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）化简函数解析式可得f（x）=（），由已知可求t，即可求得的值，由图象可知，正三角形abc的高即为函数f（x）的最大值a，即可得a的值（）由（）及已知可得sin（x0+）=，即可求cos（x0+）的值，由f（x0+1）=2（x0+）=2sin（x0+）+展开即可求值得解解答：解：（）由已知可得f（x）=a（）=asin（） bc=4，t=8，=由图象可知，正三角形abc的高即为函数f（x）的最大值a，得a=bc=2（）由（）知f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，x0（，），x0+（，），cos（x0+）=f（x0+1）=2（x0+）=2sin（x0+）+=2sin（x0+）cos+cos（x0+）sin=2（）=点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变形的应用，属于基本知识的考查19（12分）已知正项数列an的前n项和为sn，且a1=1，sn=（an2+3an+2），nn+）（1）求an；（2）若akna1，a2，an，且ak1，ak2，akn，成等比数列，当k1=1，k2=4时，求kn考点：数列递推式；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由sn=（an2+3an+2），得当n2时，整理后结合an0可得anan1=3，即数列an是首项为1，公差为3的等差数列由等差数列的通项公式得答案；（2）由，可得数列是首项为1，公比为10的等比数列又a1，a2，an，由通项相等可求kn的值解答：解：（1）由sn=（an2+3an+2），得当n2时，整理，得（an+an1）（anan13）=0，an0，anan1=3数列an是首项为1，公差为3的等差数列故an=1+3（n1）=3n2；（2），数列是首项为1，公比为10的等比数列则，又a1，a2，an，点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题20（13分）如图，abca1b1c1是地面边长为2，高为的正三棱柱，经过ab的截面与上底面相交于pq，设c1p=c1a1（01）（1）证明：pqa1b1；（2）是否存在，使得平面cpq截面apqb？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，由两个平面平行的性质定理可得pqab，由此能证明pqa1b1（2）假设存在这样的满足题设，分别取ab的中点d，pq的中点e，连接de，由已知得ced为二面角apqc的平面角，连接c1e并延长，交a1b1于f，若平面cpq截面apqb，则ce2+de2=cd2，由此能求出解答：（1）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面apqb上底面a1b1c1=pq，截面apqb下底面abc=ab，由两个平面平行的性质定理可得pqab，pqa1b1（6分）（2）解：假设存在这样的满足题设，分别取ab的中点d，pq的中点e，连接de，由（1）及正三棱柱的性质可知cpq为等腰三角形，apqb为等腰梯形，cepq，depq，ced为二面角apqc的平面角，（8分）连接c1e并延长，交a1b1于f，由（1）得，=，ef=，（9分）在rtcc1e中，在rtdfe中，de2=，若平面cpq截面apqb，则ced=90，ce2+de2=cd2，将以上数据代入整理，得323，解得（13分）点评：本题考查线线平行的证明，考查使得面面垂直的实数值是否存在的判断与求法，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题21（14分）已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，求实数b的取值范围考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断 专题：导数的综合应用分析：（1）令f（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）x2+x在区间0，2上有