高中数学 第二章 平面解析几何 2.4 空间直角坐标系课件 新人教B版必修2.ppt

2 4空间直角坐标系 一 二 三 一 空间直角坐标系的建立 问题思考 1 在空间中 三个平面可以把空间分成几部分 提示 三个平面可以把空间分成4 6 7或8部分 其中本节将要研究的空间直角坐标系中的八个卦限是三个平面把空间分割最多部分的情形 一 二 三 2 填空 为了确定空间点的位置 在平面直角坐标系xoy的基础上 通过原点o 再作一条数轴z 使它与x轴 y轴都垂直 这样它们中的任意两条都互相垂直 轴的方向通常这样选择 从z轴的正方向看 x轴的正半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的正半轴重合 这样就在空间建立了一个空间直角坐标系oxyz o叫做坐标原点 每两条坐标轴分别确定的平面yoz xoz xoy叫做坐标平面 三个坐标平面把空间分成八个卦限 如图所示 xoy平面 由x轴及y轴确定的坐标平面 xoz平面 由x轴及z轴确定的坐标平面 yoz平面 由y轴及z轴确定的坐标平面 一 二 三 二 点在空间直角坐标系中的坐标 问题思考 1 填空 取定了空间直角坐标系后 就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组 x y z 之间的一一对应关系 点m为空间一已知点 在空间直角坐标系中 过这点作两条轴所确定平面的平行平面 交另一条轴于一点 交点在这条轴上的坐标就是点m相应的一个坐标 设点m在x轴 y轴 z轴的坐标依次为x y z 于是空间的点m就唯一确定了一个有序数组x y z 这组数x y z就叫做点m的坐标 记为 x y z 并依次称x y和z为点m的x坐标 y坐标和z坐标 反之 设 x y z 为一个三元有序数组 过x轴上坐标为x的点 y轴上坐标为y的点 z轴上坐标为z的点 分别作x轴 y轴 z轴的垂直平面 这三个平面的交点m便是三元有序数组 x y z 唯一确定的点 所以 通过空间直角坐标系 我们就建立了空间的点m和有序数组 x y z 之间的一一对应关系 一 二 三 八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点 一 二 三 2 在空间直角坐标系中 点p x y z 落在x y z轴上时 点的坐标有何特点 点p x y z 落在xoy面 yoz面和xoz面上时 点的坐标有何特点 提示 坐标轴及坐标平面上点的坐标形式 一 二 三 3 做一做 在空间直角坐标系中 p 2 3 4 q 2 3 4 两点的位置关系是 a 关于x轴对称b 关于yoz平面对称c 关于坐标原点对称d 关于y轴对称解析 因为p q两点的y坐标相同 x坐标 z坐标分别互为相反数 它们的中点在y轴上 并且pq与y轴垂直 故p q关于y轴对称 答案 d 一 二 三 三 空间两点的距离公式 问题思考 一 二 三 2 填空 空间两点的距离公式可以看作是平面内两点间距离公式的推广 如图 m1 x1 y1 z1 p x2 y1 z1 m2 x2 y2 z2 n x2 y2 z1 m1p x2 x1 pn y2 y1 m2n z2 z1 m1n 2 m1p 2 pn 2 x2 x1 2 y2 y1 2 m1m2 2 m1n 2 nm2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 所以点m1与m2间的距离为 应用两点间的距离公式时 注意是三组对应坐标之差的平方和再开方 一 二 三 特别地 点m x y z 到原点的距离公式为 3 做一做 若已知点a 1 1 1 b 3 3 3 则线段ab的长为 答案 a 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在空间直角坐标系中 在x轴上的点的坐标一定是 0 b c 2 在空间直角坐标系中 在yoz平面上的点的坐标一定是 0 b c 3 在空间直角坐标系中 在z轴上的点的坐标可记作 0 0 c 4 在空间直角坐标系中 在xoz平面上的点的坐标是 a 0 c 5 x 2 2 y 1 2 z 7 2的几何意义是表示在空间直角坐标系中 动点p x y z 与点 2 1 7 之间的距离 6 在坐标平面xoy上 到点a 3 2 5 b 3 5 1 距离相等的点有无数个 一 二 三 7 以a 2 3 5 和b 4 1 3 为直径两端点的球面方程为 x 3 2 y 1 2 z 1 2 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 空间中点的坐标 例1 已知一个长方体的长 宽 高分别为5 3 4 试建立适当的空间直角坐标系 写出长方体的各个顶点的坐标 解 如图所示 以a为坐标原点 ab所在的直线为x轴 ad所在的直线为y轴 aa1所在的直线为z轴 建立空间直角坐标系oxyz 易知 ab 3 bc 5 aa1 4 则a 0 0 0 b 3 0 0 d 0 5 0 a1 0 0 4 c 3 5 0 d1 0 5 4 b1 3 0 4 c1 3 5 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟求空间中点m的坐标的思路主要有以下几种 1 过点m作mm1垂直于平面xoy 垂足为m1 求出m1的x坐标和y坐标 再由射线m1m的指向和线段m1m的长度确定z坐标 2 构造以om为体对角线的长方体 由长方体的三个棱长结合点m的位置 可以确定点m的坐标 3 若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面 或点m在坐标轴或坐标平面上 则利用这一条件 再作轴的垂线即可确定点m的坐标 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1建立适当的坐标系 写出底边长为2 高为3的正三棱柱的各顶点的坐标 解 以bc的中点为原点 以bc所在的直线为y轴 以bc边上的中线oa所在的直线为x轴 以过点o且垂直于底面的直线为z轴建立空间直角坐标系 如图所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 空间中的对称问题 例2 在空间直角坐标系中 点p 2 1 4 关于xoy平面的对称点的坐标是 a 2 1 4 b 2 1 4 c 2 1 4 d 2 1 4 解析 由于点p关于xoy平面对称后 它在x轴 y轴的分量不变 在z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点p2的坐标为 2 1 4 答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟在空间直角坐标系内 已知点p x y z 则有如下对称规律 点p关于原点的对称点是p1 x y z 点p关于x轴的对称点是p2 x y z 点p关于y轴的对称点是p3 x y z 点p关于z轴的对称点是p4 x y z 点p关于坐标平面xoy的对称点是p5 x y z 点p关于坐标平面yoz的对称点是p6 x y z 点p关于坐标平面xoz的对称点是p7 x y z 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2在空间直角坐标系中 点p 2 1 4 关于x轴的对称点的坐标是 a 2 1 4 b 2 1 4 c 2 1 4 d 2 1 4 解析 由于点p关于x轴对称后 它在x轴的分量不变 在y z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点p1的坐标为 2 1 4 答案 b 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 空间两点的距离公式的应用 例3 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 d1d 3 点m是b1c1的中点 点n是ab的中点 建立如图所示的空间直角坐标系 1 写出点d n m的坐标 2 求线段md mn的长度 解 1 因为d是原点 则d 0 0 0 由 ab bc 2 d1d 3 得a 2 0 0 b 2 2 0 b1 2 2 3 c1 0 2 3 因为n是ab的中点 所以n 2 1 0 同理可得m 1 2 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 2 由两点间的距离公式 得 反思感悟求空间两点间的距离的步骤 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 如图所示 点a的坐标是 1 1 0 对于z轴正半轴上任意一点p 在y轴正半轴上是否存在一点b 使得pa ab恒成立 若存在 求出b点的坐标 若不存在 说明理由 思路分析 由立体几何知识可知欲使pa ab 只需使oa ab 空间问题转化为平面问题 欲证oa ab 只需证明 oa 2 ab 2 ob 2 从而将几何问题转化为代数计算问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解 设p 0 0 c b 0 b 0 对于z轴正半轴上任意一点p 假设在y轴正半轴上存在一点b 使得pa ab恒成立 连接oa 则由线面垂直可知只需证oa ab 即只需证 oa 2 ab 2 ob 2 在平面xoy内的点的坐标为a 1 1 0 b 0 b 0 o 0 0 0 令 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 b 2 0 0 2 0 b 2 解得b 2 所以存在这样的点b 当点b为 0 2 0 时 pa ab恒成立 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 空间中点坐标公式的应用 例4 在空间直角坐标系中 点p 2 1 4 关于点m 2 1 4 的对称点的坐标是 a 0 0 0 b 2 1 4 c 6 3 12 d 2 3 12 解析 设对称点为p3 则点m为线段pp3的中点 设p3 x y z 由中点坐标公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以p3 6 3 12 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟平面中的中点坐标公式可推广到空间 即设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则ab中点p 大家对数轴上的中点公式 平面中的中点公式及空间中的中点公式进行对比 以加深理解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练3如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 d1b1的中点 棱长为1 求e f两点的坐标 解 如题图所示 建立空间直角坐标系 由于正方体的棱长为1 可得b b1 d1的坐标分别为b 1 1 0 b1 1 1 1 d1 0 0 1 因为e为b1b的中点 f为b1d1的中点 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因忽视动点的范围而致误 典例 已知点a 1 2 3 b 3 1 2 且 ma mb 求动点m的轨迹方程 错解设m x y z 依题意得 x 1 2 y 2 2 z 3 2 x 3 2 y 1 2 z 2 2 整理得2x 3y 5z 0 所以动点m的轨迹方程为2x 3y 5z 0 轨迹是线段ab的垂直平分线 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 本题错解产生的根源是没有注意动点范围的改变而随意套用平面几何中的结论 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 设m x y z 依题意 得 x 1 2 y 2 2 z 3 2 x 3 2 y 1 2 z 2 2 整理得2x 3y 5z 0 所以动点m的轨迹方程为2x 3y 5z 0 轨迹是线段ab的垂直平分面 防范措施求动点轨迹方程时 一定不要随意将平面几何中的结论套用到空间几何中 由于维度的变化 使得满足同一条件的点的范围也有了根本性变化 因此解此类问题时一定要先辨清范畴问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练已知点p在x轴上 它到点p1 0 3 的距离是到点p2 0 1 1 的距离的2倍 则点p的坐标是 解析 因为点p在x轴上 设p x 0 0 解得x 1 所以所求点的坐标为 1 0 0 或 1 0 0 答案 1 0 0 或 1 0 0 1 2 3 4 5 1 若半径为r的球在第 卦限内 且与各坐标平面均相切 则球心的坐标是 a r r r b r r r c r r r d r r r 答案 b 1 2 3 4 5 2 点p 1 2 1 关于xoz平面的对称点的坐标是 a 1 2 1 b 1 2 1 c 1 2 1 d 1 2 1 答案 a 1 2 3 4 5 3 已知点a 3 1 5 与点b 4 3 1 则ab的中点坐标是 答案 b 1 2 3 4 5 4 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m到a与到b的