2010年高考数学试题分类汇编——三角函数.doc

20102010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 三角函数三角函数 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 上海文数 上海文数 18 若 ABC的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 20102010 湖南文数 湖南文数 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 c 2a 则 A a b B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 2 2 20102010 浙江理数 浙江理数 9 设函数 4sin 21 f xxx 则在下列区间中函数 f x不存在 零点的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 解析 将 xf的零点转化为函数 xxhxxg 与12sin4的交点 数形结合可知答案 选 A 本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点 突出了对转化思想 和数形结合思想的考察 对能力要求较高 属较难题 3 3 20102010 浙江理数 浙江理数 4 设0 2 x 则 2 sin1xx 是 sin1xx 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 0 x 2 所以 sinx 1 故 xsin2x xsinx 结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围 相同 可知答案选 B 本题主要考察了必要条件 充分条件与充要条件的意义 以及转化思 想和处理不等关系的能力 属中档题 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 7 为了得到函数sin 2 3 yx 的图像 只需把函数 sin 2 6 yx 的图像 A 向左平移 4 个长度单位 B 向右平移 4 个长度单位 C 向左平移 2 个长度单位 D 向右平移 2 个长度单位 答案 B 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将 sin 2 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin 2 3 yx 的图像 故选 B 5 5 20102010 陕西文数 陕西文数 3 函数f x 2sinxcosx是 C A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 解析 本题考查三角函数的性质 f x 2sinxcosx sin2x 周期为 的奇函数 6 6 20102010 辽宁文数 辽宁文数 6 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后 与原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 解析 选 C 由已知 周期 243 32 T 7 7 20102010 辽宁理数 辽宁理数 5 设 0 函数 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原 图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 答案 C 命题立意 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性 考查了同学 们对知识灵活掌握的程度 解析 将 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin 2 33 yx 4 sin 2 33 x 所以有 4 3 2k 即 3 2 k 又因为0 所以 k 1 故 3 2 k 3 2 所以选 C 8 8 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 3 已知 2 sin 3 则cos 2 x A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 解析解析 B B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 12sin 9 9 9 20102010 江西理数 江西理数 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则tanECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 答案 D 解析 考查三角函数的计算 解析化应用意识 解法 1 约定 AB 6 AC BC 3 2 由余弦定理 CE CF 10 再由余弦定理得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 解法 2 坐标化 约定 AB 6 AC BC 3 2 F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 10 2010 重庆文数 6 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 A sin 2 2 yx B cos 2 2 yx C sin 2 yx D cos 2 yx 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当 4 2 x 时 3 2 22 x 函数sin 2 2 yx 为减函数 而函数cos 2 2 yx 为增函数 所以选 A 1111 20102010 重庆理数 重庆理数 6 已知函数 sin 0 2 yx 的部分 图象如题 6 图所示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 6 D 2 6 解析 2 T 由五点作图法知 23 2 6 1212 20102010 山东文数 山东文数 10 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理 可得 若定义在R上的函数 f x 满足 fxf x 记 g x 为 f x 的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 答案 D 1313 20102010 北京文数 北京文数 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sin2cos2 B sin3cos3 C 3sin3cos1 D 2sincos1 答案 A 1414 20102010 四川理数 四川理数 6 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 1515 20102010 天津文数 天津文数 8 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了得到这个函 数的图象 只要将ysinxxR 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短 到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识 属于中等题 由图像可知函数的周期为 振幅为 1 所以函数的表达式可以是 y sin 2x 代入 6 0 可得 的一个值为 3 故图像中函数的一个表达式是 y sin 2x 3 即 y sin2 x 6 所以只需将 y sinx x R 的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度 再把所得各点 的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 温馨提示 根据图像求函数的表达式时 一般先求周期 振幅 最后求 三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数 进行周期变换时 需要将 x 的系数变为原来的 1 1616 20102010 天津理数 天津理数 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc sin2 3sinCB 则 A A 0 30 B 0 60 C 0 120 D 0 150 答案 A 解析 本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用 属于中等题 由由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR 所以 cosA 2222 c a3 22 bbcc bcbc 32 33 22 bcbc bc 所以 A 300 温馨提示 解三角形的基本思路是利用正弦 余弦定理将边化为角运算或将角化为边 运算 1717 20102010 福建文数 福建文数 1818 20102010 福建文数 福建文数 2 计算12sin22 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 答案 B 解析 原式 2 cos45 2 故选 B 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 1919 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 1 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1 cos300cos 36060cos60 2 2020 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 2 记cos 80 k 那么tan100 A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 2121 20102010 四川文数 四川文数 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位 长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B y sin 2 5 x C y 1 sin 210 x D 1 sin 220 yx 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得 图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 2222 20102010 湖北文数 湖北文数 2 函数 f x 3sin 24 x xR 的最小正周期为 A 2 B xC 2 D 4 答案 D 解析 由 T 2 1 2 4 故 D 正确 2323 20102010 湖南理数 湖南理数 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 2ca 则 A a b B a0 6 和g x 2cos 2x 1 的图 象的对称轴完全相同 若x 0 2 则f x 的取值范围是 答案 3 3 2 解析 由题意知 2 因为x 0 2 所以 5 2x 666 由三角函数图象知 f x 的最小值为 3 3sin 62 最大值为3sin 3 2 所以f x 的取值范围是 3 3 2 4141 20102010 江苏卷 江苏卷 10 定义在区间 2 0 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交 点为 P 过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2的长为 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 P1P2的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 2 3 线段 P1P2的长为 2 3 4242 20102010 江苏卷 江苏卷 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为a b c 6cos ba C ab 则 tantan tantan CC AB 解析 考查三角形中的正 余弦定理三角函数知识的应用 等价转化思想 一题多解 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 A A B B 和边和边 a a b b 具有轮换性 具有轮换性 当当 A BA B 或或 a ba b 时满足题意 此时有 时满足题意 此时有 1 cos 3 C 2 1 cos1 tan 21cos2 CC C 2 tan 22 C 1 tantan2 tan 2 AB C tantan tantan CC AB 4 方法二 方法二 22 6cos6cos ba CabCab ab 2222 2222 3 6 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin 1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 三 解答题 4343 20102010 上海文数 上海文数 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan12sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 4444 20102010 湖南文数 湖南文数 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集合 4545 20102010 浙江理数 浙江理数 18 本题满分 l4 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 0 C 所以 sinC 10 4 解 当 a 2 2sinA sinC 时 由正弦定理 ac sinAsinC 得 c 4 由 cos2C 2cos2C 1 1 4 J 及 0 C 得 cosC 6 4 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC 得 b2 6b 12 0 所以 b 6 b 6 c 4 或 c 4 4646 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 17 本小题满分 10 分 ABC 中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 命题意图 本试题主要考查同角三角函数关系 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用 考查考生对基础知识 基本技能的掌握情况 参考答案 由 cos ADC 0 知 B 由已知得 cosB sin ADC 从而 sin BAD sin ADC B sin ADCcosB cos ADCsinB 由正弦定理得 所以 点评 三角函数与解三角形的综合性问题 是近几年高考的热点 在高考试题中频繁出现 这 类题型难度比较低 一般出现在 17 或 18 题 属于送分题 估计以后这类题型仍会保留 不 会有太大改变 解决此类问题 要根据已知条件 灵活运用正弦定理或余弦定理 求边角或 将边角互化 4747 20102010 陕西文数 陕西文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC A 100 36 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得 sinsin ABAD ADBB 4848 20102010 辽宁文数 辽宁文数 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 abc 分别为内角ABC 的对边 且2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求A的大小 若sinsin1BC 试判断ABC 的形状 解 由已知 根据正弦定理得cbcbcba 2 2 2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又1sinsin CB 得 2 1 sinsin CB 因为 90 0 900CB 故BC 所以ABC 是等腰的钝角三角形 4949 20102010 辽宁理数 辽宁理数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 2 sin 2 sin 2 sin aAacBcbC 求 A 的大小 求sinsinBC 的最大值 解 由已知 根据正弦定理得 2 2 2 2 abc bcb c 即 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbcA 故 1 cos 2 A A 120 6 分 由 得 sinsinsinsin 60 BCBB 31 cossin 22 sin 60 BB B 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 5050 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 17 本小题满分 10 分 ABCA中 D为边BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求AD 解析解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由由 ADC 与与 B 的差求出的差求出 BAD 根据同角关系及差角公式求出 根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦 在三角形的正弦 在三角形 ABDABD 中 由正弦定理可求得中 由正弦定理可求得 ADAD 5151 20102010 江西理数 江西理数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cotsinsinsin 44 f xxxmxx 1 当 m 0 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2a 时 3 5 f a 求 m 的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托三 角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等 题 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsincos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin 2 1 24 x 由已知 3 84 x 得 2 2 1 42 x 从而得 f x的值域为 12 0 2 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 5252 20102010 安徽文数 安徽文数 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 A B C所对边长分别为 a b c 12 cos 13 A 求AB AC A 若1cb 求a的值 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 12 cos 13 A 得sin A的值 再根据ABC 面积 公式得156bc 直接求数量积AB AC A 由余弦定理 222 2cosabcbcA 代入已知 条件1cb 及156bc 求a的值 解 由 12 cos 13 A 得 2 125 sin1 1313 A 又 1 sin30 2 bcA 156bc 12 cos156144 13 AB ACbcA 222 2cosabcbcA 2 12 2 1 cos 12 156 1 25 13 cbbcA 5a 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求bc的值 考虑已知ABC 的 面积是 30 12 cos 13 A 所以先求sin A的值 然后根据三角形面积公式得bc的值 第二问 中求a的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 53 2010 重庆文数 18 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 设ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 且 3 2 b 3 2 c 3 2 a 42bc 求 sinA 的值 求 2sin sin 44 1 cos2 ABC A 的值 5454 20102010 浙江文数 浙江文数 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 222 3 4 Sabc 求角 C 的大小 求sinsinAB 的最大值 5555 20102010 重庆理数 重庆理数 16 本小题满分 13 分 I 小问 7 分 II 小问 6 分 设函数 2 2 cos2cos 32 x f xxxR I 求 f x的值域 II 记ABC 的内角 A B C 的对边长分别为 a b c 若 f B 1 b 1 c 3 求 a 的值 5656 20102010 山东文数 山东文数 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin coscosf xxxx 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到 函数 yg x 的图像 求函数 yg x 在区间0 16 上的最小值 5757 20102010 北京文数 北京文数 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 cos1 1x 所以 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 5858 20102010 北京理数 北京理数 15 本小题共 13 分 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为cosx 1 1 所以 当cos1x 时 f x取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 f x取最小值 7 3 5959 20102010 四川理数 四川理数 19 本小题满分 12 分 证明两角和的余弦公式C cos coscossinsin 1 由C 推导两角和的正弦公式S sin sincoscossin 2 已知 ABC的面积 1 3 2 SABAC 且 3 5 cosB 求cosC 本小题主要考察两角和的正 余弦公式 诱导公式 同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力 解 1 如图 在执教坐标系xOy内做单位圆O 并作出角 与 使角 的始边 为Ox 交 O于点P1 终边交 O于P2 角 的始边为OP2 终边交 O于P3 角 的始 边为OP1 终边交 O于P4 则P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由P1P3 P2P4及两点间的距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 展开并整理得 2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 4 分 由 易得cos 2 sin sin 2 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin sin cos cos sin 6 分 2 由题意 设 ABC的角B C的对边分别为b c 则S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA 3 0 A 0 2 cosA 3sinA 又sin2A cos2A 1 sinA 10 10 cosA 3 10 10 由题意 cosB 3 5 得sinB 4 5 cos A B cosAcosB sinAsinB 10 10 故cosC cos A B cos A B 10 10 12 分 6060 20102010 天津文数 天津文数 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin4B 3 的值 解析 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角 的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinB sinC cosB cosC 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 而小艇的最 高航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 OD 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v 所以10 10 3tan 30 10 3 cosv 解得 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 从而30 90 30tan 由于时 取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当30 时 10 10 3tan 30 t 取得最小值 且最小值为 2 3 此时 在OAB 中 20OAOBAB 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 71 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设ABC 是锐角三角形 a b c分别是内角 A B C所对边长 并且 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角A的值 若12 2 7AB ACa A 求 b c 其中bc 7272 20102010 江苏卷 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔的 实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tan tan HH AD AD 同理 ta