高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 2.5.1 直线间的夹角 2.5.2 平面间的夹角课件 北师大版选修21.ppt

2 5 1直线间的夹角2 5 2平面间的夹角 一 二 思考辨析 一 直线间的夹角 一 二 思考辨析 做一做1 设直线l1的方向向量为s1 1 1 1 直线l2的方向向量为s2 2 2 2 则l1 l2夹角的余弦值cos 3 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时 要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线的夹角的关系 这两者不一定相等 还可能互补 一 二 思考辨析 二 平面间的夹角 一 二 思考辨析 3 两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等 还可能互补 一 二 思考辨析 做一做2 已知平面 1的法向量n1 1 1 3 平面 2的法向量n2 1 0 1 则这两个平面夹角的余弦值为 解析 n1 1 1 3 n2 1 0 1 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等 3 平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角 探究一 探究二 思想方法 直线间的夹角 例1 如图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 求异面直线ba1和ac的夹角 探究一 探究二 思想方法 探究一 探究二 思想方法 解法二以d为原点 da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则a a 0 0 b a a 0 c 0 a 0 a1 a 0 a 探究一 探究二 思想方法 反思感悟求异面直线的夹角 用向量法比较简单 若用基向量求解 则必须选好空间的一组基向量 若用坐标系求解 一定要将每个点的坐标写正确 探究一 探究二 思想方法 变式训练1如图 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 异面直线a1m与dn所成的角为90 答案 90 探究一 探究二 思想方法 平面间的夹角 例2 等边三角形abc的边长为4 cd是ab边上的高 e f分别是ac和bc边上的中点 如图 现将 abc沿cd翻折 使平面acd 平面bcd 如图 求平面abd与平面efd夹角的余弦值 探究一 探究二 思想方法 解 由已知cd ad cd bd adb就是平面acd与平面bcd的夹角的平面角 ad bd 以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 0 0 2 b 2 0 0 c 0 2 0 e f分别是ac bc的中点 探究一 探究二 思想方法 反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时 多采用法向量法 即求出两个面的法向量 然后通过法向量的夹角来得到平面间夹角的大小 但利用这种方法求解时 要注意结合图形观察分析 确定平面间夹角是锐角还是钝角 不能将两个法向量的夹角与平面间夹角的大小完全等同起来 探究一 探究二 思想方法 变式训练2如图 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求平面aa1d与平面a1db夹角的余弦值 解 如图 取bc的中点o 连接ao abc是等边三角形 ao bc 在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 ao 平面bcc1b1 取b1c1的中点为o1 以o为原点 以直线ob oo1 oa为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 探究一 探究二 思想方法 设平面a1ad的一个法向量为n x y z 探究一 探究二 思想方法 函数与方程思想利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时 常需要建立方程求解 或利用函数求最值 典例 如图 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直 aa1 ab ac 1 ab ac m n分别是cc1 bc的中点 点p在直线a1b1上 且a1p a1b1 问 是否存在点p 使得平面pmn与平面abc的夹角为30 若存在 试确定点p的位置 若不存在 请说明理由 探究一 探究二 思想方法 解 以a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 令x 3 得y 1 2 z 2 2 n 3 1 2 2 2 又aa1 平面abc 探究一 探究二 思想方法 化简得4 2 10 13 0 100 4 4 13 108 0 方程 无解 不存在点p使得平面pmn与平面abc的夹角为30 方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时 常先假设存在 然后根据条件建立方程 组 根据方程 组 解的情况 以及已知条件的限制得出结论 探究一 探究二 思想方法 变式训练在正三棱柱abc a1b1c1中 所有棱的长度都是2 m是bc边的中点 试问 侧棱cc1上是否存在一点n 使得异面直线ab1和mn所成的角等于45 解 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 因为所有棱的长都是2 探究一 探究二 思想方法 假设侧棱cc1上存在一点n 0 2 m 0 m 2 使得异面直线ab1和mn所成的角等于45 所以侧棱cc1上不存在点n 使得异面直线ab1和mn所成的角等于45 1234 1 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 则直线ec1与fd1夹角的余弦值是 方向建立空间直角坐标系 则e 3 3 0 f 2 4 0 d1 0 0 2 c1 0 4 2 答案 a 1234 2 过正方形abcd的顶点a作线段pa 平面abcd 如果pa ab 那么平面abp与平面cdp的夹角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 根据题设条件 将图形恢复为一个正方体abcd prnm 则平面abp即平面abrp 平面cdp即平面cdpr 二者的交线为pr 显然 dpa为平面dpr与平面apr的夹角的平面角 且 dpa 45 答案 b 1234 3 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 aa1 2 ac bc 1 则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是 解析 因为ac a1c1 所以 ba1c1 或其补角 就是所求异面