高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理（2）课件 北师大版选修21.ppt

2 3 2空间向量基本定理 空间向量基本定理 名师点拨理解空间向量基本定理应注意 1 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底 同时一个基底是一个向量组 而不是单指一个向量 2 由于0可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0 3 空间向量基本定理说明 用空间不共面的三个已知向量a b c可以线性表示空间的任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 做一做 已知正方体abcd a1b1c1d1中 点e为上底面a1c1 答案 c 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 已知a b m n是空间四点 若不能构成空间的一个基底 则a b m n共面 2 若 a b c 是空间的一个基底 且存在实数x y z使得xa yb zc 0 则x y z 0 3 选用不同的基底 同一向量的表达式不同 4 基底中的三个向量可以有零向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 基底的判断 e1 2e2 e3 x 3e1 e2 2e3 y e1 e2 e3 3x y e1 x y e2 2x y e3 e1 e2 e3是空间的一个基底 e1 e2 e3不共面 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2e1 e2 3e3 p e1 2e2 e3 q 3e1 e2 2e3 z e1 e2 e3 p 3q z e1 2p q z e2 p 2q z e3 e1 e2 e3为空间的一个基底 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断三个向量能否作为基底 关键是判断它们是否共面 若从正面判断难以入手 可以用反证法结合共面向量定理或利用常见的几何图形帮助进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一组基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的向量组有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用基底表示向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟对于基底e1 e2 e3除了知道它们不共面外 还应明确 1 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一向量 二者是相关联的不同概念 2 基底一旦确定 所有向量的表示就唯一确定了 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 在平行六面体abcd a b c d 中 p是ca 的中点 m是cd 的中点 n是c d 的中点 点q在ca 上 且cq qa 4 1 用a b c表示下列向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 空间向量基本定理的应用 例3 设a b c及a1 b1 c1分别是异面直线l1 l2上的三点 而m n p q分别是线段aa1 ba1 bb1 cc1的中点 求证m n p q四点共面 证明 因为m n p q分别是线段aa1 ba1 bb1 cc1的中点 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟证明空间四点共面的方法 对空间四点p m a b 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 m为dd1的中点 n ac 且an nc 2 1 求证a1 b n m四点共面 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对基底的概念理解不透彻而致误 典例 如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m为ac与bd 易错分析 在用基底表示向量时 其结果中有时还会出现基底以外的其他向量 应对基底以外的向量继续分解 最后都转化为用基向量表示 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得基底可以表示空间内任一向量 用基底表示向量时 最后结果应只含基向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 b 1234 a o a b c四点共线b o a b c四点共面c o a b c四点中任意三点共线d o a b c四点不共面答案 d 1234 答案 d 1234 3 如图 已知矩形abcd p为平面abcd外一点 且pa 平面abcd m n分别为pc pd上的点 且pm 2mc pn nd 则满足