福建省长泰一中高考数学一轮复习《球》学案.doc

用心 爱心 专心1 福建省长泰一中高考数学一轮复习福建省长泰一中高考数学一轮复习 球球 学案学案 例例 1 1 如图 a b c 是半径为 1 的球面上的三点 b c 两点间的球面距离为 点 a 与 3 b c 两点的球面距离都为 o 为球心 求 2 1 的大小 aobboc 2 球心 o 到截面 abc 的距离 a b o c 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心2 解 解 设球心为 o 由已知 易得 aob aoc boc 过 o 作 od bc 于 d 连 2 3 ad 再过 o 作 oe ad 于 e 则 oe 平面 abc 于 e oe 在 rt aod 中 由 7 21 ad oe ao odoa r 1 v 球 r3 3 4 3 4 例例 2 2 如图 四棱锥 a bcde 中 且 ac bc ae be bcdead底面 1 求证 a b c d e 五点都在以 ab 为直径的同一球面上 2 若求 b d 两点间的球面距离 1 3 90 adcecbe e b c d a 解 解 1 因为 ad 底面 bcde 所以 ad bc ad be 又因为 ac bc ae be 所以 bc cd be ed 故 b c d e 四点共圆 bd 为此圆的直径 取 bd 的中点 m ab 的中点 n 连接 bd ab 的中点 mn 则 mn ad 所以 mn 底 面 bcde 即 n 的射影是圆的圆心m 有 am bm cm dm em 故五点共球且直 径为 ab 2 若 cbe 90 则底面四边形bcde 是一个矩 形 连接 dn 因为 3 2 3 1 2 1 3 1 3 bndbnmbn mnbdadce 所以 b d 两点间的球面距离是 3 2 rl 变式训练变式训练 2 2 过半径为 r 的球面上一点 m 作三条两两互相垂直的弦 ma mb mc 1 求证 ma2 mb2 mc2为定值 用心 爱心 专心3 2 求 mab mac mbc 面积之和的最大值 解解 1 易求得 ma2 mb2 mc2 4r2 2 s mab s mac s mbc ma mb ma mc mb mc ma2 mb2 mc2 2r2 当且仅 2 1 2 1 当 ma mb mc 时取最大值 例例 3 3 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面 如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 a 2 2 b 2 3 c 2 d 3 解 解 设正四面体为正四面体 abcd 分析截面图可知 截面经过正四面体的一条棱设为 cd 又过球心 设截面与棱 ab 交于 e 点 则 e 为 ab 的中点 易求得截面三角形的面积为 2 故选 c 变式训练变式训练 3 3 已知三棱锥 p abc 中 e f 分别是 ac ab 的中点 abc pef 都是正三 角形 pf ab 1 证明 pc 平面 pab 2 求二面角 p ab c 的平面角的余弦值 3 若点 p a b c 在一个表面积为 12 的球面上 求 abc的边长 解解 1 连结 cf pe ef bc ac ap pc cf ab pf ab ab 平面 pcf 2 1 2 1 ac平面 pcf pc ab pc 平面 pab 2 ab pf ab cf pfc 为所求二面角的平面角 设 ab a 则 pf ef cf 2 a a 3 cos pfc 3 3 2 3 2 a a 3 设 pa x 球半径为 r pc 平面 pab pa pb 4 r2 12 r 知 abc 的外接圆为球之小圆 由 x2 x 2r 3 3 3 得 abc 的边长为 2 2 1 因为 球 是 圆 在空间概念上的延伸 所以研究球的性质时 应注意与圆的性质类 比 2 球的轴截面是大圆 它含有球的全部元素 所以有关球的计算 可作出球的一个大圆 化 球 为 圆 来解决问题 3 球心与小圆圆心的连线 垂直于小圆所在的平面 球的内部结构的计算也由此展开 4 计算球面上 a b 两点的球面距离是一个难点 其关键是利用 ab 既是小圆的弦 又是 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心4 大圆的弦 这一事实 其一般步骤是 1 根据已知条件求出小圆的半径 r 和大圆的半径