数学物理方法_第7章 Green函数法.pdf

7 1 引言引言 Green函数 有时又称函数 有时又称点源函数点源函数或者或者影响函影响函 数数 是数学物理中的一个重要概念 这概念 是数学物理中的一个重要概念 这概念 之所以重要是由于以下原因 从物理上看 之所以重要是由于以下原因 从物理上看 在某种情况下 一个数学物理方程表示的是在某种情况下 一个数学物理方程表示的是 一种特定的场和产生这种场的源之间的关系一种特定的场和产生这种场的源之间的关系 例如热传导方程表示温度场和热源的关系 例如热传导方程表示温度场和热源的关系 Poisson方程表示静电场和电荷分布的关系等方程表示静电场和电荷分布的关系等 等 而等 而Green函数则代表一个点源所产生函数则代表一个点源所产生 的场 知道了一个点源的场 就可以用叠加的场 知道了一个点源的场 就可以用叠加 的方法算出任意源的场 的方法算出任意源的场 例如 静电场的电势例如 静电场的电势u满足满足Poisson方程方程 2 4u 是电荷密度 根据库仑定律 位于是电荷密度 根据库仑定律 位于 0 M 0 0 1 MM G M M r 的 源 在的 源 在 0 0 0000 MM M u MdMG M MMdM r 其中其中 点的一个正的点电荷在无界空间中的点的一个正的点电荷在无界空间中的 M点处产生的电势是点处产生的电势是 由此可求得任意电荷分布密度为由此可求得任意电荷分布密度为 M点所产生的电势为点所产生的电势为 7 1 1 7 1 2 7 1 3 其中其中 0 dM为空间体积元为空间体积元 000 dx dy dz 式中的式中的 0 G M M 称为方程 称为方程 7 1 1 左边 左边 2 在一般的数学物理问题中 要求的是满足在一般的数学物理问题中 要求的是满足 一定边界条件和 或 初始条件的解 相应一定边界条件和 或 初始条件的解 相应 的的Green函数也就比举例的函数也就比举例的Green函数要复杂函数要复杂 一些 因为在这种情形下 一个点源所产生一些 因为在这种情形下 一个点源所产生 的场还受到边界条件和 或 初始条件的影的场还受到边界条件和 或 初始条件的影 响 而这些影响本身也是待定的 响 而这些影响本身也是待定的 的简写 的简写 Laplace算符算符 在无界空间中的在无界空间中的Green 函数 用它可以求出方程 函数 用它可以求出方程 7 1 1 在无界 在无界 空间的解式 空间的解式 7 1 3 因此 普遍地说 因此 普遍地说 Green函数是一个点源在函数是一个点源在 一定的边界条件和 或 初始条件下所产生一定的边界条件和 或 初始条件下所产生 的场的场 利用 利用Green函数 可求出任意分布的函数 可求出任意分布的 源所产生的场 下面以源所产生的场 下面以Poisson方程的第一 方程的第一 二 三类边界条件为例进一步阐明二 三类边界条件为例进一步阐明Green函函 数的概念 并讨论数的概念 并讨论Green函数法函数法 解的积分解的积分 表示 表示 7 2 Poisson方程的边值问题方程的边值问题 三维三维Poisson方程的边值问题 可以统一写成方程的边值问题 可以统一写成 2 7 2 1 7 2 2 S u Mh MM u ug M n 其中其中 是不同时为零的常数 是不同时为零的常数 S 是的边界 的边界 引入函数引入函数 0 G M M使之满足使之满足 2 00 G M MMMM 下面推导定解问题 下面推导定解问题 7 2 1 7 2 2 用 用 Green函数表示的解的积分表达式 函数表示的解的积分表达式 其中其中 00000 MM x y z 为区域为区域 中的任意点 中的任意点 的函数定义知 的函数定义知 0 G M M为在为在 0 M 点的点源所产生的场 以函数点的点源所产生的场 以函数 0 G M M 乘式 乘式 7 2 1 的两边 同时以函数 的两边 同时以函数 u M 乘式 乘式 7 2 6 的两边 然后相减得 的两边 然后相减得 22 00 00 G M Mu Mu MG M M u MMMG M M h M 则由则由 将上式在将上式在上上 对对 M x y z 积分 利用积分 利用Green 公式 经过繁复的推导 并考虑公式 经过繁复的推导 并考虑Green函函 数的对易性数的对易性得到得到 00 G M MG M M 000 00000 00 SS u MG M M h M d u G M MdSu MG M M dS nn 中体分布源中体分布源 0 h M 在在M点产生的场的总和 而第二 三两个积点产生的场的总和 而第二 三两个积 分则是边界上的源所产生的场 这两种影响分则是边界上的源所产生的场 这两种影响 都是由同一都是由同一Green函数给出的 式 函数给出的 式 7 2 9 给出了给出了Poisson方程或方程或Laplace方 方 时 时 0h 解的积分表达式解的积分表达式 7 2 9 式 式 7 2 9 被称为基本积分公式或解的 被称为基本积分公式或解的 积分表达式 它的物理意义是十分清楚的积分表达式 它的物理意义是十分清楚的 右边第一个积分代表在区域右边第一个积分代表在区域 在具体的边界条件下 解式有更具体的形式 在具体的边界条件下 解式有更具体的形式 0 则则 1 S ug Mf M 若要求若要求 0 G M M 满足第一类齐次边界条件满足第一类齐次边界条件 0 0 S G M M 则式 则式 7 2 9 中的面积分中 含 中的面积分中 含 0 u n 的项消失的项消失 000000 0 u MG M M h M df MG M M d n 7 2 12 1 第一类边界条件 即在式 第一类边界条件 即在式 7 2 2 中 中 7 2 10 7 2 11 从而式 从而式 7 2 9 变为 变为 我们称方程 我们称方程 7 2 6 和边界条件 和边界条件 7 2 11 所构成的定解问题所构成的定解问题 2 00 0 0 S G M MMMM G M M 的解的解 0 G M M 为由方程 为由方程 7 2 1 的边界条件 的边界条件 2 S u Mh MM uf M 的的Green函数 简称函数 简称Direchlet Green函数 而函数 而 称式 称式 7 2 12 为 为Direchlet积分公式 它是积分公式 它是 Direchlet问题 问题 7 2 14 的积分形式的解 的积分形式的解 7 2 13 7 2 10 所构成的 所构成的Direchlet问题问题 7 2 14 2 第三类边界条件 即式 第三类边界条件 即式 7 2 2 中 中 均不为零 若要求 均不为零 若要求 0 G M M满足第三类满足第三类 00 0 S G M MG M M n 则以则以 0 G M M 乘以 乘以 7 2 2 以 以 u M 000 1 S u G M Mu MG M MG M Mg M nn 000000 1 S u MG M M h M dG M Mg M dS 齐次边界条件 即齐次边界条件 即 7 2 15 乘乘 以 以 7 2 15 然后再将两式相减 得 然后再将两式相减 得 代入式 代入式 7 2 9 有 有 可见 只要从式 可见 只要从式 7 2 6 和式 和式 7 2 15 中 中 0 G M M 则式 则式 7 2 16 也已全部由已知 也已全部由已知 2 00 00 0 S G M MMMM G M MG M M n 的解的解 0 G M M 为由方程 为由方程 7 2 1 和边界条件 和边界条件 解出解出 量表示 我们称方程 量表示 我们称方程 7 2 6 和边界条件 和边界条件 7 2 15 所构成的定解问题 所构成的定解问题 7 2 2 所构成的定解问题的格林函数 式所构成的定解问题的格林函数 式 7 2 16 即为由式即为由式 7 2 1 和式和式 7 2 2 所构成的定解问题的积分形式的解 所构成的定解问题的积分形式的解 3 第二类边界条件 第二类边界条件 第二类边界条件时 定解问题为第二类边界条件时 定解问题为 2 1 S u Mh MM u g M n 相应的格林函数相应的格林函数 0 G M M 满足满足 2 00 0 S G M MMM G n 7 2 18 7 2 17 由于由于0 1MMd 但但 2 0 SS G GdG dG d SdS n 因此 定解 因此 定解 7 2 18 的解不存在 为了解决 的解不存在 为了解决 A作下列定解问题作下列定解问题 2 00 S G M MMM G A n 由条件由条件 0 SS MMdAd 得出得出 1 A 其中其中 为曲面为曲面S的面积 称的面积 称 2 00 1 S G M MMM G n 7 2 19 这个矛盾 取待定常数这个矛盾 取待定常数 的解为第二类边界条件下 的解为第二类边界条件下 Laplace算符的广算符的广 义格林函数 将式义格林函数 将式 7 2 19 和式和式 7 2 17 中中 的边界条件代入式的边界条件代入式 7 2 9 得 得 0000 11 S u MG M M h M dG M Mg Mu MdS 由于由于u 在边界上的分布客观存在 故在边界上的分布客观存在 故 0 1 S u MdS 与与M无关 为常数 故有无关 为常数 故有 000 S u MCG M M h M dG M Mf MdS 其中其中C为待定常数 为待定常数 1 f Mg M 7 2 20 由上面的讨论看到 在各类非齐次边界条件由上面的讨论看到 在各类非齐次边界条件 下求解下求解Poisson方程方程 7 2 1 可以先在相应 可以先在相应 的同类齐次边界条件下求解的同类齐次边界条件下求解Green函数所满函数所满 足的方程足的方程 7 2 6 然后通过积分公式 然后通过积分公式 7 2 12 7 2 16 或或 7 2 20 得到解得到解 u M u 容易些 不仅如此 对方程容易些 不仅如此 对方程 7 2 1 中不同的中不同的 格林函数的定解问题 其方程格林函数的定解问题 其方程 7 2 6 形式形式 上比式上比式 7 2 1 简单 而且边界条件又是齐简单 而且边界条件又是齐 次的 因此 相对地说 求次的 因此 相对地说 求G比求解比求解 h M 和边界条件 和边界条件 7 2 2 中不同 中不同 g M 只要属于同一类型的边界条件 只要属于同一类型的边界条件 非齐次项非齐次项 的的 函数函数0 G M M 都是相同的 这就把解都是相同的 这就把解Poisson 0 G M M 类似于上面的讨论过程 可以得到二维类似于上面的讨论过程 可以得到二维 Poisson方程的各类边值问题的积分公式 方程的各类边值问题的积分公式 如二维如二维Poisson方程的方程的Dirichlet问题问题 2 c uh MMD uf M 的积分形式的解 即二维空间的的积分形式的解 即二维空间的Dirichlet积分积分 000000 0 DC u MG M M h M df MG M M dl n 方程的边值问题化为在几种类型边界条件下方程的边值问题化为在几种类型边界条件下 求求Green函数函数 的问题 的问题 7 2 20 公式为公式为 其中 其中 0 G M M 为二维为二维Poisson方程的方程的Dirichlet 2 00 0 0 c G M MMMMD G M M 的解 的解 Green函数 即定解问题函数 即定解问题 7 2 22 应当指出 应当指出 Green法 即解的积分表示具法 即解的积分表示具 有上述理论意义 在实际求解中 只有几种有上述理论意义 在实际求解中 只有几种 特殊边界可以求出特殊边界可以求出Green函数 下面我们函数 下面我们 来讨论求来讨论求Green函数的一种特殊方法函数的一种特殊方法 电电 像法 像法 Green函数求法函数求法 从上一节的讨论可以看出 求解边值问题从上一节的讨论可以看出 求解边值问题 实际上归结为求相应的实际上归结为求相应的Green函数 只要求函数 只要求 出出Green函数 将其代入相应的积分公式 函数 将其代入相应的积分公式 就可得到问题的解 就可得到问题的解 一般来说 实际求一般来说 实际求Green函数 并非一件容函数 并非一件容 易的事 但在某些情况下 却可以比较容易易的事 但在某些情况下 却可以比较容易 地求出 地求出 一 无界区域的一 无界区域的Green函数函数 无界区域的无界区域的Green函数函数G 又称为相应方程 又称为相应方程 的基本解 的基本解 G满足含有满足含有函数的非齐次方程函数的非齐次方程 具有奇异性 一般可以用有限形式表示出来 具有奇异性 一般可以用有限形式表示出来 下面通过具体例子 说明求基本解的方法 下面通过具体例子 说明求基本解的方法 000 2 zzyyxxG 0000 zyxM上 有上 有 2 0 2 0 2 0 zzyyxxr 例例1 求三维泊松方程的基本解 求三维泊松方程的基本解 解解 Green函数满足的方程为函数满足的方程为 7 3 1 采用球坐标 并将坐标原点放在源点采用球坐标 并将坐标原点放在源点 由于区域是无界的 点源所产生的场应与方由于区域是无界的 点源所产生的场应与方 向无关 而只是向无关 而只是r的函数 于是式的函数 于是式 7 3 1 简化简化 为为 1 2 2 r dr dG r dr d r 当当0 r 时 方程化为齐次的 即时 方程化为齐次的 即 0 2 dr dG r dr d 积分两次求得其一般解为积分两次求得其一般解为 21 1 C r CG 其中其中 12 CC和为积分常数 不失一般性 取为积分常数 不失一般性 取 0 2 C r CG 1 1 7 3 2 得得 下面考虑下面考虑0 r 的情形 为此 对方程的情形 为此 对方程 7 3 1 为半径的小球体为半径的小球体 在以原点为球心 在以原点为球心 内作体积分内作体积分 1 000 2 dxdydzzzyyxxGdxdydz 从而从而1lim 2 0 Gdxdydz sv vsudsudv的边界面 为 s dxdy n G Gdxdydz 2 而由散度定理而由散度定理 于是于是 故故 s r s dxdy r G dxdy n G 1limlim 00 将式将式 7 3 3 的结果代入上式 得的结果代入上式 得 1sin 1 lim 2 2 2 00 1 0 ddC 于是有于是有 4 1 1 C r MMG 4 1 0 00 2 yyxxG 再代入式再代入式 7 3 3 得到 得到 7 3 4 例例2求二维泊松方程的基本解 求二维泊松方程的基本解 解 二维解 二维Green函数满足的方程为函数满足的方程为 7 3 5 采用极坐标 并将坐标原点放在源点采用极坐标 并将坐标原点放在源点 000 yxM 上 则上 则 2 0 2 0 yyxxr 1 r dr dG r dr d r 0 r rCGln 1 0 r 时 在以原点为中心 时 在以原点为中心 为半径的为半径的 ls sludluds的边界 为 类似于对三维情况的讨论 得类似于对三维情况的讨论 得 2 1 1 C 与三维问题一样 与三维问题一样 G应只是应只是r的函数 于是的函数 于是 式式 7 3 5 简化为简化为 7 3 6 当当 当当 小圆内对方程小圆内对方程 7 3 5 两边作面积分 注意两边作面积分 注意 到二维情况下的散度定理为到二维情况下的散度定理为 时 求解式时 求解式 7 3 6 得 得 r G 1 ln 2 1 于是于是 7 3 7 二 用本征函数展开法求边值问题的二 用本征函数展开法求边值问题的 Green函数函数 利用本征函数族展开是求边值问题的利用本征函数族展开是求边值问题的Green 函数的一个重要而又普遍的方法 现以第一函数的一个重要而又普遍的方法 现以第一 类边值问题类边值问题 2 000 0 S G M MG M MMMM G 为例来讨论此法 写下相应的本征问题为例来讨论此法 写下相应的本征问题 2 0 0 S M 7 3 8 7 3 8 设本征值问题 设本征值问题 7 3 9 的全部本征值和相应 的全部本征值和相应 的归一化本征函数分别是的归一化本征函数分别是 n 和 和 n M 即即 2 0 0 nnn n S MMM 而且而且 mnnm MM d 这里这里 m M 表示表示 m M 的共轭复变函数 将的共轭复变函数 将 0 G M M 在区域在区域 上展开为本征函数族上展开为本征函数族 n M 的广义的广义Fourier级数级数 7 3 10 7 3 11 函数函数 0 1 nn n G M MCM 7 3 12 为定出系数为定出系数 n C 将式 将式 7 3 12 代入问题 代入问题 0 11 nnnnn nn CMCMMM 设设 n 以以 m M 乘上式两端 然后在区域乘上式两端 然后在区域 上积分 并利用式 上积分 并利用式 7 3 11 可得 可得 0 1 mm m CM 00 1 1 nn n n G M MMM 0 S G 7 3 8 的方程中 并利用方程 的方程中 并利用方程 7 3 10 得得 代入式 代入式 7 3 12 即得 即得 7 3 13 显然 它满足齐次边界条件显然 它满足齐次边界条件 如果如果Green函数函数 0 G M M 例例3 求求Poisson方程在矩形区域方程在矩形区域 2 000 00 0 xx ayy b G M Mxxyy GGGG 的齐次边界条件的齐次边界条件 是第二类的或第三类的 这时可以类似地是第二类的或第三类的 这时可以类似地 求得求得G 只要本征函数也满足相应的齐次 只要本征函数也满足相应的齐次 边界条件即可 边界条件即可 内的内的Dirichlet问题的问题的Green函数 函数 解 本问题解 本问题Green函数的定解问题为函数的定解问题为 byax 0 0 它是定解问题它是定解问题 2 0000 00 0 xx ayy b G M MG M Mxxyy GGGG 当当 0 时的特例 而相应的本征值问题为时的特例 而相应的本征值问题为 2 00 0 0 xx ayy b x yx y 它的本征值和归一化的本征函数分别是它的本征值和归一化的本征函数分别是 2 1 22 2 2 2 2 2 nm b n a m nmmn yx ab yx nmmn sinsin 2 其中其中 b n a m nm mn 0 故根据式故根据式 7 3 13 22 00 1 0 sinsinsinsin4 nm nmnm nm yxyx ab MMG 因为题设因为题设 有有 7 4 用电像法求某些特殊区域的用电像法求某些特殊区域的 Dirichlet Green函数函数 电像法求特殊区域电像法求特殊区域Green函数的函数的基本思想基本思想 是利用边值问题定解区域的是利用边值问题定解区域的对称性对称性 在 在 定解区域外放置合适的点源来代替边界定解区域外放置合适的点源来代替边界 的影响 使区域内的点源和区域外的点的影响 使区域内的点源和区域外的点 源之和同时满足边值问题源之和同时满足边值问题Green函数要函数要 求满足的方程和边界条件 求满足的方程和边界条件 2 000 0 S Gxxyy zzM G 7 4 1 7 4 2 000 G M MF M Mg M M 2 000 Fxxyy zzM 7 4 3 7 4 1 Poisson方程的方程的Dirichlet Green函函 数及其物理意义数及其物理意义 为了求三维为了求三维Poisson方程的方程的Dirichlet Green函数 即求解定解问题函数 即求解定解问题 令令 使使 g 2 0 SS gM gF 222 000 1 4 Frxxyyzz r 1 4 Gg r 2 0 1 4 S S gM g r 而而应满足应满足 其中其中 7 4 5 而非齐次方程 而非齐次方程 7 4 4 的解 已由式 的解 已由式 7 3 4 给出 即 给出 即 因此有因此有 2 0 a ua uf M 0 Mh 000 0 S u Mf MG M M dS n a 例例1 求解球内求解球内Dirichlet问题问题 解解 此时方程的非齐次项此时方程的非齐次项 故由积分公式故由积分公式 7 2 12 得定解问题得定解问题 7 4 11 的的 7 4 11 解为解为 其中其中S为球面 为球面 G为球边界问题的为球边界问题的 Dirichlet Green函数 它满足定解问题函数 它满足定解问题 2 000 0 a Gxx yy zza G 2 0 1 4 a a ga g r 由上面的分析 有由上面的分析 有 1 4 Gg r 其中其中g满足满足 0 r r 导体球内有一个点电荷导体球内有一个点电荷 导体接地 求球 导体接地 求球 内电势 内电势 电荷的存在 在导体上感应了电荷 球内电荷的存在 在导体上感应了电荷 球内 的电势为自由电荷和感应电荷电势之和 的电势为自由电荷和感应电荷电势之和 0 将感应电荷的电势由一将感应电荷的电势由一 电像电荷电像电荷 的的 电势表示电势表示 o 00 rM rM 11 r