高考数学 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版.ppt

2 3函数的奇偶性与周期性 2 3 知识梳理 考点自测 1 函数的奇偶性 f x f x y轴 f x f x 原点 4 知识梳理 考点自测 2 函数的周期性 1 周期函数 t为函数f x 的一个周期 则需满足条件 t 0 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做f x 的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是函数f x 的周期 即f x nt f x f x t f x 最小的正数 最小的正数 5 知识梳理 考点自测 1 函数奇偶性的四个重要结论 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 3 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 4 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 6 知识梳理 考点自测 2 周期性的几个常用结论对f x 定义域内任一自变量的值x 其中a 0 且为常数 3 对称性的四个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 即f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 7 知识梳理 考点自测 8 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 函数y x2在区间 0 内是偶函数 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图象关于点 b 0 中心对称 4 如果函数f x g x 是定义域相同的偶函数 那么f x f x g x 是偶函数 5 已知函数y f x 是定义在r上的偶函数 若在 内f x 是减函数 则在 0 内f x 是增函数 6 若t为y f x 的一个周期 则nt n z 是函数f x 的周期 9 知识梳理 考点自测 d 解析 由题意知f x 的定义域为 0 0 且在区间 0 内为减函数 f x 为偶函数 即f x 的图象关于y轴对称 故选d 10 知识梳理 考点自测 3 教材习题改编p39a组t6 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则当x 0时 f x 的解析式为 a f x x 1 x b f x x 1 x c f x x 1 x d f x x x 1 b 解析 方法一 由题意得f 2 2 1 2 6 函数f x 是定义在r上的奇函数 f 2 6 经验证 仅有f x x 1 x 时 f 2 6 故选b 方法二 当x0 f x x 1 x 又f x 为奇函数 f x f x f x x 1 x f x x 1 x 故选b 11 知识梳理 考点自测 4 教材习题改编p39b组t3 已知函数f x 是奇函数 在区间 0 内是减函数 且在区间 a b a b 0 上的值域为 3 4 则f x 在区间 b a 上 a 有最大值4b 有最小值 4c 有最大值 3d 有最小值 3 b 解析 方法一 根据题意作出y f x 的简图 由图知 选b 方法二 当x b a 时 x a b 由题意得f b f x f a 即 3 f x 4 4 f x 3 即在区间 b a 上 f x min 4 f x max 3 故选b 12 知识梳理 考点自测 5 教材习题改编p39b组t1 已知函数f x 的定义域为r 且对于x r 恒有f x 2 f x 当x 2 4 时 f x x2 2x 则f 2017 3 解析 由f x 2 f x 知f x 是周期为2的周期函数 当x 2 4 时 f x x2 2x f 2017 f 1007 2 3 f 3 32 2 3 3 即f 2017 3 13 考点一 考点二 考点三 考点四 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性 14 考点一 考点二 考点三 考点四 2 由题意知函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x2 2x 1 f x x2 2x 1 f x 故对于x 0 0 均有f x f x 即函数f x 是奇函数 15 考点一 考点二 考点三 考点四 思考判断函数的奇偶性要注意什么 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点 1 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 2 判断关系式f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 16 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练1判断下列函数的奇偶性 17 考点一 考点二 考点三 考点四 解 1 由题意知函数f x 的定义域为r 关于原点对称 因为f x x 3 x x3 x x3 x f x 所以函数f x 为奇函数 2 由可得函数的定义域为 1 1 因为函数的定义域不关于原点对称 所以函数f x 既不是奇函数 也不是偶函数 3 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 当x 0时 x0 此时f x x2 x f x x 2 x x2 x x2 x f x 故对于x 0 0 均有f x f x 即函数f x 为奇函数 18 考点一 考点二 考点三 考点四 函数奇偶性的应用例2 1 已知f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x m 则f 2 2 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 3 已知f x 是偶函数 g x 是奇函数 且 则函数f x 的解析式为 4 已知函数f x 为奇函数 当x 0时 f x x2 x 则当x 0时 函数f x 的最大值为 a c 19 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 1 因为f x 为r上的奇函数 所以f 0 0 即f 0 20 m 0 解得m 1 则f 2 f 2 22 1 3 2 因为f x 是奇函数 所以当x 0时 f x x2 2x 作出函数f x 的大致图象如图中实线所示 结合图象可知f x 是r上的增函数 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 解得 2 a 1 20 考点一 考点二 考点三 考点四 21 考点一 考点二 考点三 考点四 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用 解题心得1 函数奇偶性的应用主要有 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性求最值等 2 已知函数的奇偶性求函数的解析式 往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式 或充分利用奇偶性产生关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 22 考点一 考点二 考点三 考点四 a d b 23 考点一 考点二 考点三 考点四 3 当x 2时 有f 2 0 因为f x 为奇函数 所以f 2 0 作出f x 的大致图象 由图象可知 当 22 即04时 有f x 2 0 故选b 24 考点一 考点二 考点三 考点四 函数的周期性的应用例3 1 已知定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2017 等于 a 336b 337c 1678d 2012 2 已知f x 是定义在r上的偶函数 并且 若当2 x 3时 f x x 则f 105 5 b 2 5 25 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 1 f x 6 f x 函数f x 的周期t 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 f 1 f 2 f 3 f 2015 f 2016 又f 2017 f 1 1 f 1 f 2 f 3 f 2017 336 1 337 26 考点一 考点二 考点三 考点四 函数f x 的周期为4 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 思考函数周期性的主要应用是什么 解题心得利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 再进行求解 27 考点一 考点二 考点三 考点四 d 2 0 28 考点一 考点二 考点三 考点四 2 因为f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 所以函数f x 的周期为4 所以f 2018 f 4 504 2 f 2 又2 2 3 所以f 2 2 即f 2018 2 29 考点一 考点二 考点三 考点四 30 考点一 考点二 考点三 考点四 函数性质的综合应用例4 1 已知函数f x 是定义域为r的偶函数 且f x 1 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 则f x 在 1 3 上是 a 增函数b 减函数c 先增后减的函数d 先减后增的函数 2 已知偶函数f x 的定义域为r 当x 0 时 f x 是增函数 则f 2 f f 3 的大小关系是 a f f 3 f 2 b f f 2 f 3 c f f 3 f 2 d f f 2 f 3 3 2017山西晋中模拟 已知f x 是r上的奇函数 f 1 2 且对任意x r都有f x 6 f x f 3 成立 则f 2017 d a 2 31 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 1 因为f x 在 1 0 上是减函数 又f x 是r上的偶函数 所以f x 在 0 1 上是增函数 由f x 1 f x 得f x 2 f x 1 1 f x 1 f x 故2是函数f x 的一个周期 结合以上性质 画出f x 的部分草图 如图所示 由图象可以观察出 f x 在 1 2 上为减函数 在 2 3 上为增函数 故选d 32 考点一 考点二 考点三 考点四 2 因为 3 2 且当x 0 时 f x 是增函数 所以f f 3 f 2 又函数f x 为r上的偶函数 所以f 3 f 3 f 2 f 2 故f f 3 f 2 3 因为f x 是r上的奇函数 所以f 0 0 又对任意x r都有f x 6 f x f 3 所以当x 3时 有f 3 f 3 f 3 0 所以f 3 0 f 3 0 所以f x 6 f x 周期为6 故f 2017 f 1 2 33 考点一 考点二 考点三 考点四 思考解有关函数的单调性 奇偶性 周期性的综合问题的策略有哪些 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 函数单调性与奇偶性结合 注意奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行转换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 再利用奇偶性和单调性求解 34 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练4 1 已知f x 是定义在r上的以3为周期的偶函数 若f 1 1 f 5 则实数a的取值范围为 a 1 4 b 2 0 c 1 0 d 1 2 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且f x 在区间 0 2 上是增函数 则 a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 a d 35 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 1 f x 是定义在r上的周期为3的偶函数 f 5 f 5 6 f 1 f 1 解得 1 a 4 2 因为f x 满足f x 4 f x 所以f x 8 f x 所以函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在r上的奇函数 且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 因为f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在r上是奇函数 所以f x 在区间 2 2 上是增函数 所以f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 36 考点一 考点二 考点三 考点四 1 正确理解奇函数和偶函数的定义 必须把握好两个关键点 1 定义域关于原点对称 是 函数f x 为奇函数或偶函数 的必要不充分条件 2 f x f x 或f x f x 是定义域上的恒