高考数学一轮复习 第四章 解三角形课件.ppt

第四章解三角形 高考数学 知识清单 二 解三角形的类型1 已知两角及任一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其中一边的对角 可用正弦定理 也可用余弦定理 在 abc中 已知a b和角a 用正弦定理解三角形时 有解的情况如下 上表中a为锐角时 若a bsina 则无解 a为钝角时 若a b或a b 则无解 用余弦定理时 可列出关于第三边的一元二次方程 在 abc中 已知a b和角a 则根据余弦定理c2 b2 2bc cosa a2 得c2 2bcosa c b2 a2 0 然后讨论关于c的一元二次方程根的情况 3 已知三边 用余弦定理 有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 三 三角形的面积设 abc的三边为a b c 所对的三个角为a b c 其面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc bcsina acsinb 3 s 2r2sinasinbsinc r为 abc外接圆半径 四 实际问题中的常用角1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角中 目标视线在水平线上方的叫仰角 目标视线在水平线下方的叫俯角 如图 a 所示 2 方位角从某点的指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 b 3 方向角相对于某一正方向的水平角 如图 1 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 2 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 3 其他方向角类似 4 坡度 坡面与水平面所成的锐二面角 如图中角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比 如图 i为坡比 三角形中的几何计算求解三角形中的几何计算问题 要首先确定与未知量相关联的量 再利用正 余弦定理及三角形面积公式等知识来解决 同时还要注意以下两点 1 对于几何问题中的解三角形要注意运用几何图形的数量关系 比如角的互补关系 线段之间的长度关系等 2 有时候可能还要适当添加辅助线 达到图形变换的目的 以便能利用正 余弦定理列方程求解 例1如图 在 abc中 已知b ac 4 d为bc边上一点 方法技巧 1 若ad 2 s dac 2 求dc的长 2 若ab ad 试求 adc的周长的最大值 解析 1 s dac 2 ad ac sin dac 2 ad 2 ac 4 sin dac dac bac dac 在 adc中 由余弦定理得dc2 ad2 ac2 2ad accos 4 48 2 2 4 28 dc 2 2 ab ad b abd为正三角形 在 adc中 根据正弦定理 可得 ad 8sinc dc 8sin adc的周长为ad dc ac 8sinc 8sin 4 8 4 8 4 8sin 4 adc 0 c c 当c 即c 时 adc的周长取得最大值 且最大值为8 4 利用正 余弦定理判断三角形的形状判断三角形形状有边和角两种途径 应根据题目条件选用合适的策略 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时应注意应用a b c 这个隐藏条件 例2 1 2013安徽理改编 12 5分 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则 abc的形状为 2 2013陕西理改编 7 5分 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为三角形 解析 1 由3sina 5sinb及正弦定理得3a 5b 故a b b c 2a c b 所以cosc 即c 从而 abc为钝角三角形 2 由正弦定理得sinbcosc sinccosb sin2a 即sin b c sin2a sin b c sin a sina sina sin2a sina 1 a 从而 abc为直角三角形 答案 1 钝角三角形 2 直角 解三角形应用题的方法1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正 余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量和未知量涉及两个 或两个以上 三角形 这时先解条件够的三角形 然后逐步求出其他三角形中的量 有时需要构造方程 利用方程思想求解 3 三角形应用题的解题技巧 首先 理清题干条件和应用背景 画出示意图 其次 把所求问题归结到一个或几个三角形中 利用正弦定理 余弦定理等有关知识求解 最后 回归实际问题并检验结果 例3 2017江苏扬州期末 如图 矩形abcd是一个历史文物展览厅的俯视图 点e在ab上 在梯形bcde区域内部展示文物 de是玻璃幕墙 游客 只能在 ade区域内参观 在ae上的点p处安装一可旋转的监控摄像头 mpn为监控角 其中m n在线段de 含端点 上 且点m在点n的右下方 经测量得知 ad 6米 ae 6米 ap 2米 mpn 记 epm 监控摄像头的可视区域 pmn的面积为s平方米 1 求s关于 的函数关系式 不必写出 的取值范围 2 求可视区域 pmn的面积的最小值 解析 1 易知pe ae ap 4米 pem 所以 pme 所以 pne pme中