数学分析中的四个等价命题.pdf

第 2 9卷 第 1 期 2 0 1 3年 2月 大 学 数 学 CO LLEGE M ATH EM ATI CS Vo1 2 9 1 Fe b 2 01 3 数学分析 中的四个等价命题 赵 宇 董庆超 黄金 莹 刘春妍 康 兆敏 佳木斯 大学 黑龙 江 佳木斯1 5 4 0 0 7 摘要 围绕数学分析 的极 限理论 给 出四个等价命题 包括海涅定理的 推广 介值性 的刻划 一致连续 性的刻划和级数收敛 的刻划 相应指 出它们 在理论上的应用 关键词 海涅定理 介值 性定 理 一 致连续 级数 中图分类号 01 7 1 文献标识码 C 文章编号 1 6 7 2 1 4 5 4 2 0 1 3 O 1 0 0 7 7 0 5 在数学中 经常对 同一问题采用不同的方式加以刻划 使得人们对问题的认识更加深刻 解决 问题 更加快捷 实数的完备性定理 可积准则 曲线积分与路径无关条件等数学分析的理论 内容都是 以等价 命题的形式给出的 它们在数学分析 中发挥的作用是 巨大的 既然如此 笔者认为有必要进一步挖掘数 学分析中的等价命题 以此来扫除由于教材 内容上的缺失所带来的读者认识上 的盲 区 进而加深学生对 某些 知识 点 的掌握 程度 1 海涅定理 的推广 海涅定理是反映函数极限与数列极限之间关系的重要定理 对它加以推广和改进 会对后续研究产 生很大影响 受文献 1 的启发 本文给出海涅定理的推广形式 我们仅讨论 l i mf z 一b和 l i m 一b两种情形函数极限的海涅定理 其它情形 同理 引理 1 海 涅定理 的通常 形式 i l i mf x b当且 仅 当对 V 12 a 日 a 一 口 有 l i mf a 一 b i i l i m 厂 z 一b当且仅 当对 严格 增加 的 V a 口 一 有 l i mf a 一b 引理 1也可 以这 样叙 述 将左 侧 的 一6 替 换 为 存 在 而将 右侧 的 一6 替换 为 存在 且相 等 下 面的定理 1 将指出 在应用海涅定理的充分性讨论函数极限存在问题时 右侧 相等 的条件完全蕴涵在 数列的任意性 中 是一种多余 的限制 定理 1 海 涅定理 的推广 形式 i l i m f 存 在 当且仅 当对 V a a 12 n 一 口 l i mf a 都 存在 i i l i m厂 z 存在当且仅当对严格增加的 V a n 一 C x D l i mf a 都存在 证根 据引理 1知 i i i 的必 要性 成 立 下证 i i i 的充 分性 i 根 据引 理 1和充 分 性 条 件 只 需 证 对 V a a a n 一 a l i mf a 都 相 等 任 取 两 个 数 列 X Y 满足 n z 一 a Y 口 Y 一 a 则 l i mf x 与 l i mf y 都存在 构造数列 一 一n 2 k忌 收稿 日期 2 0 1 0 0 9 2 6 基金项 目 佳木斯 大学教学研究项 目 2 O 1 0 1 O O 7 8 大 学 数 学 第 2 9卷 则 C a且 c 一 a 从而 l i mf c 存在 设 l i mf c 一b 则 一 一 l i mf x 一 i mf x 2 k 一 1 一 i mf c 2 一 1 一b l i mf y 一l i mf y 2 一l i mf c 2 一b i i 根 据引 理 1和充分 性条 件 只需证 对严 格增 加 的 V a n 一 C l i mf a 都相 等 任取两 个 严格增加数列 3 2 Y 满足 z 一 C Y 一 则 l i mf x 与 l i mf y 都存在 构造数列如 下 令 C 1 1 一z 由 Y 一 知 j W I l 使 y C 1 令 C 2 一Y 由 z 一 知 n 2 使 z C 2 令 C 3 一 由 Y 一 知 m2 N十 使 C 3 令 C 4 一Y 由 X 一 知 了 3 N 使 3 2 C 4 一 般地 令 C 2 H z 由 一 知 j N 使 Y C 2 k 一 令 一Y 由 z 一 知 j t k 1 N 使 1 由此得到 的子列 以及严格增加数列c 其 中 c 一2 是 一 1 因为 一 Y 一 c 3 故 一 Y 一 从而 c 一 故 l i mf c 存在 设 l i mf c 一b 则 n l i mf x 一l i mf x 一l i mf c 一 1 一b l i mf y l i mf y l i mf c 2 女 一b 对于另外 四种函数极限也有相应结果 例如 l i m f x 存在当且仅当对严格减少 的 V a a n r n十 n 一n l i mf a 都 存在 例 1 证 明 函数极 限存在 的柯 西 收敛准 则 l i mf x 存在 目 V e 0 j 0 V z z U a 有 l f x 一f x f 0 j 0 V z U a 有 I f x 一f x I 0 j N N V m N 有 a 口 U a 进 而 I f a 一f a I 0 N N V m N 有 I f a 一f a I e 由数列的柯西收 敛准则知 l i mf a 都存在 再由定理 1 知 l i mf x 存在 例 2 证 明单侧 函数极 限的单调有 界定 理 若 函数 f x 在 区间 a O o 单调 有界 则极 限 l i mf x 和 l i ra f x 存在 一 十 一 十 证对严 格减 少 的 V 口 c C 3 日 一 或 对严 格增 加的 V 口 c 日 a 一 其函数值数列 f a 亦单调有界 由数列的单调有界定理知 l i mf a 都存在 从而由定理 1 充分性 知 极 限 l i raf x 和 l i ra f x 存 在 2 介值性 的刻划 定理 2 下列陈述是等价的 i 零点定理 若 函数 在 n 6 连续 口 厂 6 0 则 j a 6 使得 o i i 介值性定理 若 函数 f x 在 6 连续 M 为其最大值和最小值 为介于M 之 间 的任意数 则 j n 6 使得 叩 i i i 4 t 值性定理 若 函数 厂 z 在 n 6 连续 为介于 口 6 之间的任意数 则 n 6 使 得 厂 一 7 iv 若函数 在区间 连续且不恒为常值 则 D一 y l y f x V 也是区间 z f l f I l 一 第 1 期 赵宇 等 数学分析 中的四个等价命题 7 9 证仅证 i i i i v 及 i v i i i i i v 任 取 y l y 2 D 且 y l y 2 则 3 z1 2 I f x1 一 1 f x 2 一y 2 不妨设 0 厂 6 0 厂 6 O知 口 6 注 1 数学分析谈论 的区间是下列数集的统称 口 6 a 6 n 6 口 6 一 a 一 口 n r a 一 o 区间实际上可以这样定义 令 口 6 一 z I a z b 若 V a b 且 a b 有 a 6 则 称 I 是区间 在定理 2的证明过程中使用的就是这种 区间作为 R中的凸集 定义 注 2 包括文献 2 3 在内的数学分析教材没有指 出介值性定理的这 四种等价刻划 同时在研究 反 函数 连续性 时也不 够细 致严 谨 其 原 因 在 于研 究 反 函数 连 续 性 时 定 理 2中 的结 论 i v 将 起 到关 键 作 用 3一致连续 性的刻划 设函数 f x 在 n 6 有界 令分法 T a z 0 z 1 z z 0 3 0 对任意的分法 T 当 T 时 有 u 0 j 艿 0 V z f a 6 z 有 I 厂 一厂 I 于是 对任意的分法 T 当 T 时 一 一m 0 j 0 对 任 意 的分 法 丁 当 T 时 有 6 0 e 愚 1 2 一 7 2 任取z Y n 6 且 I z I 总存在以所取的 为分点的分法 T 且 T 进而 有 甜 e 忌 1 2 n 进一步就有 l f S C 一厂 l 0 3 0 对任 意 的分法 T 当 T 时 V 一1 2 有 0 j 0 对任 意 的 分 法 T 当 丁 时 厂 z 在 口 6 可积 4级数收敛的刻划 o j N v N v 户 N 有I I 据此构造数列如下 1 p 对 一 南 N V N 有J V户 1 n 十 N l l n 1 矗 由于 1 2 h i 1 令 f 1 1 靠 l n 一 1 n 则 j i 使得 n 于是 l B l I k l k I l n1 2 斋 3 薹 罩 I l n1 1 2 I l 3 I M l l I 1 1 1 1 月l 一1 十 l n 1 l 1 1 j 1 因 为 为 定 数 而 级 数妻而1 1 故 当 令 n 1 I l M 时 就 有I B I M 1 即 数 列 B 一 6 i i i 即为级数收敛的狄里克雷判别法 i i i i 令 a 1 卢 一 即可得证 i i i i 即为级数 收敛 的 阿贝尔判 别 法 注 4 定理 4受到文献 5 6 7 的启发 本文改进 了文献相关定理的叙述 并在证明上予 以简 化 定理 4指出通常教材 中关于级数收敛 的狄里克雷判别法和阿贝尔判别法不仅是充分 的 而且是必要 的 至于说它们多判别级数条件收敛 则是针对其在应用层面上所言 理论上它们等同于级数收敛的柯 西收敛准则 定理 4还可以推广到广义积分 函数级数 含参量积分等方面 见文献 5 以上是数学分析中的四个等价命题 作为理论补充 笔者认为至少应作为章节的习题体现于教材之 中 数学分析是经典的 随着人们认识发展 其教材的内容体系在保持经典的同时也应与时俱进 数学分 第 1期 赵宇 等 数学分析中的四个等价命题 8 1 析 的理论 就摆 在 那里 如何 使 它科 学地 完整 地体 现在 现代 教 材 中 这从 教 材结构 和 教材 内容 方面都 是 一 个值 得探 讨 的问题 参 考 文 献 1 王文平 海涅定理 的改进E J 思茅师范高等专科学校学报 2 0 0 4 2 0 3 6 2 2 刘 玉琏 等 数学 分析讲义 上册 M 北京 高等 教育出版社 2 0 0 3 3 华 东师范大学数学系 数学 分析 上册 M 北 京 高等教育 出版社 2 0 1 0 4 周祖奎 介绍康托定理 的一种证 法 J 首都师范大学学报 自然科学版 1 9 9 6 1 7 3 5 1 5 3 5 赵显曾 数学分析拾遗 M 南京 东南大学出版社 2 0 0 6 6 古定桂 D i r i c h l e t 判 别法的必要条件 J 哈尔滨 师范大学 自然科学学报 2 0 0 3 1 9 3 2 4 2 5 7 薛访存 函数项 级数 一致 收敛 定 理 的证 明和广 义 积分 收敛 的充 要 条件 J 嘉 应 大学 学 报 自然科 学 版 2 0 0 3 21 6 1 9 2 2 Fo u r Eq u i v a l e n t Pr o p o s i t i o n s o f M a t he m a t i c a l Ana l y s i s ZHA0 D0NG Qi n g c h a o H ANG Ji n yi n g L U C h u n y a h KANG Zh a o i n J i a mu s i Un i v e r s i t y J i a mu s i He i l o n i a n g 1 5 4 0 0 7 Ch i n a Ab s t r a c t The p r e s e nt a r t i c l e g i v e s f our e qu i v a l e nt pr op os i t i ons o f l i mi t t h e or y of m a t he ma t i c a l a na l y s i s i n c l u di ng t he s pr e a d of He i ne t he o r e m c ha r a c t e r i z e s of t he i nt e r me d i a t e v a l u e u ni f or m c o nt i nui