2013年高考数学试题精编：4.3三角函数的图像和性质.pdf

第四章 三角函数 三 三角函数的图像和性质 第四章 三角函数 三 三角函数的图像和性质 考点阐述 正弦函数 余弦函数的图像和性质 周期函数 函数 y Asin x 的图像 正切函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 考试要求 5 理解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 会用 五点法 画正弦函数 余 弦函数和函数 y Asin x 的简图 理解 A 的物理意义 6 会由已知三角函数值求角 并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示 考题分类 一 选择题 共 15 题 1 安徽卷理 9 动点 A x y 在圆 22 1xy 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 12 秒 旋转一周 已知时间 0t 时 点A的坐标是 13 22 则当0 12t 时 动点A的纵坐 标 y 关于t 单位 秒 的函数的单调递增区间是 A 0 1 B 1 7 C 7 12 D 0 1 和 7 12 答案 D 解析 画出图形 设动点 A 与x轴正方向夹角为 则 0t 时 3 每秒钟旋转6 在 0 1t 上 3 2 在 7 12 上 37 23 动点A的纵坐标 y 关于t都是单调 递增的 方法技巧 由动点 A x y 在圆 22 1xy 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转 可知与 三角函数的定义类似 由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度 画出单位圆 很容易看出 当 t 在 0 12 变化时 点A的纵坐标 y 关于t 单位 秒 的函数的单调性的变化 从而得 单调递增区间 2 福建卷文 10 将函数 sin f xx 的图像向左平移2 个单位 若所得图象与原 图象重合 则 的值不可能等于 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 因为将函数 sin f xx 的图像向左平移2 个单位 若所得图象与原图象 重合 所以2 是已知函数周期的整数倍 即 2 k 2 kZ 解得 4 k kZ 故 选 B 命题意图 本题考查三角函数的周期 图象变换等基础知识 3 湖北卷文 2 函数 f x 3sin 24 x xR 的最小正周期为 A 2 B C 2 D 4 答案 D 解析 由 T 2 1 2 4 故 D 正确 4 江西卷文 6 函数 2 sinsin1yxx 的值域为 A 1 1 B 5 1 4 C 5 1 4 D 5 1 4 答案 C 解析 考查二次函数型值域问题 通过函数形状发现此函数很像二次函数 故令 sin X t 可得 2 1ytt 从而求解出二次函数值域 5 江西卷文 12 如图 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间 各自作 出三个函数 sin2yx sin 6 yx sin 3 yx 的图像如下 结果发现其中有一 位同学作出的图像有错误 那么有错误的图像是 答案 C 解析 考查三角函数图像 通过三个图像比较不难得出答案 C 6 辽宁卷理 5 文 6 设 0 函数 y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图 像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 7 全国 新卷理 4 文 6 如图 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位置为 P0 2 2 角速度为 1 那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 答案 C 解析 显然 当 0t 时 由已知得 2d 故排除 A D 又因为质点是按逆时针方向转 动 随时间t的变化质点 P 到x轴的距离d先减小 再排除 B 即得 C 另解 根据已知条件得 2 1 4 A 再结合已知得质点 P 到x轴的距离d关于时 间t的函数为 2sin 4 dt 画图得 C 8 全国 卷理 7 为了得到函数 sin 2 3 yx 的图像 只需把函数 sin 2 6 yx 的 图像 A 向左平移4 个长度单位 B 向右平移4 个长度单位 C 向左平移2 个长度单位 D 向右平移2 个长度单位 答案 B 命题意图 本试题主要考查三角函数图像的平移 解析 sin 2 6 yx sin2 12 x sin 2 3 yx sin2 6 x 所以将 sin 2 6 yx 的图像向右平移4 个长度单位得到 sin 2 3 yx 的图像 故选 B 9 陕西卷理 3 对于函数 2 sincosfxxx 下列选项中正确的是 A f x f x 在 4 2 上是递增的 B f x 的图像关于原点对称 C f x 的最小正周期为 2 D f x 的最大值为 2 答案 B 解析 xxf2sin 易知 xf 在 2 4 上是递减的 选项A错误 xxf2sin 易知 xf 为奇函数 xf 的图象关于原点对称 选项B正确 xxf2sin 2 2 T 选项C错误 xxf2sin xf 的最大值为1 选项D错误 故综上知 本题应选B 10 陕西卷文 3 函数 f x 2sinxcosx 是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 答案 C 解析 因为 f x 2sinxcosx sin2x 所以它的最小正周期为 且为奇函数 选 C 11 四川卷理 6 文 7 将函数 sinyx 的图像上所有的点向右平行移动10 个单位长度 再 把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 220 yx 解析 将函数 sinyx 的图像上所有的点向右平行移动10 个单位长度 所得函数图象的解 析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 12 天津卷文8 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了得到这个 函数的图象 只要将 ysinxxR 的图象上所有的点 A 向左平移3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 1 2倍 纵坐标不变 B 向左平移3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍 纵坐标不变 D 向左平移6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 由给出的三角函数图象知 A 1 2 解得 2 又 2 0 6 所以 3 即原函数解析式为 ysin 2x 3 所以只要将 ysinxxR 的图象上 所有的点先向左平移3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍 纵坐标不 变即可得到函数 ysin 2x 3 的图象 选 A 命题意图 本题考查正弦型三角函数的图象变换 考查正弦型三角函数解析式的求法 考 查识图能力 13 浙江卷理 9 设函数 4sin 21 f xxx 则在下列区间中函数 f x 不存在零点 的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 解析 将 xf 的零点转化为函数 xxhxxg 与12sin4 的交点 数形结合可知答 案选 A 本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点 突出了对转化思 想和数形结合思想的考察 对能力要求较高 属较难题 14 重庆卷理 6 已知函数 sin 0 2 yx 0 6 和g x 2cos 2x 1 的图象的对 称轴完全相同 若 x 0 2 则f x 的取值范围是 答案 3 3 2 解析 由题意知 2 因为 x 0 2 所以 5 2x 666 由三角函数图象知 f x 的最小值为 3 3sin 62 最大值为 3sin 3 2 所以f x 的取值范围是 3 3 2 命题意图 本题考查三角函数的图象与性质 考查了数形结合的数学思想 2 江苏卷 10 定义在区间 2 0 上的函数 y 6cosx 的图像与 y 5tanx 的图像的交点为 P 过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1 直线 PP1 与 y sinx 的图像交于点 P2 则线段 P1P2 的长为 答案 2 3 解析 考查三角函数的图象 数形结合思想 线段 P1P2 的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx 5tanx 解得 sinx 2 3 线段 P1P2 的长为 2 3 3 浙江卷理 11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 解析 2 4 2sin 2 2 xxf 故最小正周期为 本题主要考察了三角恒等变换及 相关公式 属中档题 4 浙江卷文 12 函数 2 sin 2 4 f xx 的最小正周期是 解析 对解析式进行降幂扩角 转化为 2 1 2 4cos 2 1 xxf 可知其最小正周期为 2 本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用 属容易题 5 上海春卷 1 函数 xy2sin 2 1 的最小正周期 T 答案 解析 由周期公式得 22 2 T 三 解答题 共 13 题 1 北京卷理 15 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 f x 的最大值和最小值 解析 I 2 239 2cossin4cos12 333344 f 2 22 2 2 2 2cos1 1 cos 4cos 3cos4cos1 27 3 cos 33 f xxxx xx xxR 因为 cos1 1 x 所以当cos 1x 时 f x 取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 取 最小值 7 3 2 北京卷文 15 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x 的最大值和最小值 3 广东卷理 16 已知函数 sin 3 0 0f xAxAx 在 12 x 时取得最大值 4 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 的解析式 3 若 f 2 3 12 12 5 求 sin 3 sin 2 25 3 cos2 5 2 3 12sin 5 2 1 sin 5 5 sin 5 4 广东卷文 16 设函数 3sin 6 fxx 0 x 且以2 为最小 正周期 1 求 0f 2 求 f x 的解析式 3 已知 9 4125 f 求sin 的值 w w 5 湖北卷理 16 已知函数 coscos 33 f xxx 11 sin2 24 g xx 求函数 f x 的最小正周期 求函数 h xf xg x 的最大值 并求使 h x 取得最大值的x的集合 6 湖北卷文 16 已经函数 22 cossin11 sin2 224 xx f xg xx 函数 f x 的图象可由函数 g x 的图象经过怎样变化得出 求函数 h xf xg x 的最小值 并求使用 h x 取得最小值的x的集合 7 湖南卷理 16 已知函数 2 3sin22sinf xxx 求函数 f x 的最大值 II 求函数 f x 的零点的集合 8 湖南卷文 16 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x 的最小正周期 II 求函数 f x 的最大值及 f x 取最大值时 x 的集合 9 江西卷理 17 已知函数 2 1cot sinsin sin 44 f xxxmxx 1 当 0m 时 求 f x 在区间 3 84 上的取值范围 2 当tan 2 时 3 5 f 求m的值 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 已知三角函数值求值问题 依托三 角函数化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等 题 解 1 当 m 0 时 22 cos1 cos2sin2 1 sinsinsincos sin2 xxx f xxxxx x 1 2sin 2 1 24 x 由已知 3 84 x 得 2 2 1 42 x 从而得 f x 的值域为 12 0 2 2 2 cos 1 sinsin sin sin44 x f xxmxx x 化简得 11 sin2 1 cos2 22 f xxmx 当tan 2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 aaa a aaa 3 cos2 5 a 代入上式 m 2 10 江西卷文 19 已知函数 2 1cot sin2sin sin 44 f xxxxx 1 若tan 2 求 f 2 若 12 2 x 求 f x 的取值范围 解析 考查三角函数的化简 三角函数的图像和性质 三角函数值域问题 依托三角函数 化简 考查函数值域 作为基本的知识交汇问题 考查基本三角函数变换 属于中等题 解 1 2 sinsin coscos2f xxxxx 1 cos21 sin2cos2 22 x xx 11 sin2cos2 22 xx 由tan 2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由 12 2 x 得 55 2 4124 x 所以 2 sin 2 1 42 x 从而 2112 sin 2 0 2422 f xx 11 山东卷理 17 已知函数 2 11 sin2 sincoscossin 0 222 f xxx 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到函数 yg x 的图像 求函数 yg x 在区间 0 16 上的最小值 命