2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛详细参考答案.doc

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第 一 试1.设A、B是两个非空的有限集，全集U=AB，且U中含有m个元素.若(CuA)(CuB)中含有n个元素，则AB中所含元素的个数为_.解：m-n.注意到，(CuA)(CuB)= Cu(AB)，由韦恩图知，AB中含有m-n个元素.2.已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足 asinAsinB+bcos2A=2a.则 ba 的值是_.解：2.由题设及正弦定理，得 2a=asinAsinB+b(1-sin2A)=b+sinA(asinB-bsinA)=b. 故 ba = 2.3.在直角坐标系xoy中，已知三点A(a，1)、B(2，b)、C(3，4) .若向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同，则3a 4b的值是_.解：2.方法1向量OA 、OB在向量OC方向上的投影分别为OAOCOC OBOCOC.依题意得 OAOC = OBOC，即3a+4=6+4b.故3a-4b=2.方法2因为向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同，所以 ABOC，即ABOC = 0.所以3(2-a)+4(b-1)=0，即3a 4b = 2.4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45，则相邻两侧面所成角的余弦值为_.解：. 如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即. 过点A作AFPC，垂足为F，由对称性知，BFPC，故AFB为侧面PAC与PBC所成的角. 在等腰直角EFC中，. 所以. 在AFB中，cosAFB = .5.已知三个互不相等的整数x、y、z之和介于40与44之间，若x，y，z依次构成公差为d的等差数列，依次构成公比为q的等比数列，则dq的值是_.解：42.由，得.又由 ，得，即.因为，所以.又，所以.因为y为整数，所以.从而.所以 .故dq = 42.6.设点P、Q分别在直线和3xy13=0上运动，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且x0+y04.则 y0x0 的取值范围是_.解：1，3) .方法1设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，且 3x1-y1+5=0 ，3x2-y2-13=0.两式相加，得3(x1+x2)y1+y2-8=0，即3x0-y0-4=0.所以3x0=y0+44-x0+4=8-x0，则x02.从而，y0x0=3x0-4x0=3-4x0在2，+)上单调递增.故1y0x03.方法2易知，点M在直线 y=3x4上.又点M的坐标满足x+y4，所以点M在如图2所示的射线M0M：y=3x-4 (x2)上，其中点M0(2，2).因为表示射线上的点与原点O连线的斜率，所以.7.在一个圆上随机取三个点，顺次连结成一个三角形，则该三角形为锐角三角形的概率是_.解：.不妨设ABC是半径为1的圆的任一内接三角形，A、B所对的弧长分别为x、y，则有 ， .这个不等式组表示如图3所示的POQ区域（不含边界），其面积为.若ABC为锐角三角形，则x、y满足 ， ， .这个不等式组表示如图3所示的DEF区域（不含边界），其中D、E、F分别为OP、OQ、PQ的中点，其面积为.故所求概率为.8.设，则M的个位数字为_.解：1.设a、b为正整数，则的个位数字与的个位数字相同.从而，的个位数字与的个位数字相同为3.所以的个位数字与的个位数字相同为3.又的个位数字与的个位数字相同为8，故M的个位数字与3+8=11的个位数字相同为1.9.若对任意x(-12，1)，都有x1+x-2x=a0+a1x+a2x+anxn+，则a3+a4的值是_.解：-2.方法1由题设知，对任意x(-12，1)，都有 x=1+x-x2(a0+a1x+a2x+anxn+) =a0+a1+a0x+a2+a1-2a0x2+ ，其中，xk项的系数为ak+ak-1-2ak-2，k=2、3、. a0=0， a0=0， a1+a0=1， a1=1，所以 a2+a1-2a0=0， 解得 a2=-1， a3+a2-2a1=0， a3=3， a4+a3-2a2=0. a4=-5. 故a3+a4=-2.方法2在已知等式中，令x=0，得a0=0.代入已知等式，化简得11+x-2x=a1+a2x+a3x+anxn-1+.令x=0，得a1=1.代入上式，化简得-1+2x1+x-2x=a2+a3x+anxn-2+.再令x=0，得a2=-1.用同样的方法，得a3=3，a4=-5.故a3+a4=-2.10.若0xi1(i=1，2，5)则M=|x1-x2|3+|x2-x3|3+|x3-x4|3+|x4-x5|3+|x5-x1|3的最大值是_.解：4.(1)若存在正整数j，使得xj=xj+1(j=1，2，5，规定x6=x1)，则M4.上式等号可以成立.例如，取x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0.(2)若对任意正整数i，都有xixi+1(i=1，2，5，规定x6=x1)，则要么xi-1xi且xixi+1，要么xi-1xixi+1或xi-1xixi+1.如果xi-1xi且xixi+1，则有x1x2，x2x3，x3x4，x4x