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温州医学院第六届大学生数学建模竞赛论文论文题目： SARS疫情分析及预测 参赛队序号： 参赛队员姓名： 周里程 叶志芳 目录SARS疫情分析及走势预测，分析其对旅游业造成的影响3摘要3一、问题重述4二、对附件1模型的评价4三、自建模型6【一】6（一）基本假设6（二）常用基本模型6（一）1符号说明9（二）房室模型：9四、模型一的评价和改进方向14（一）模型的评价：14（二）理想模型建立的方案及困难14五、对旅游业是否受SARS影响的分析与求解(灰色理论)151、对问题的分析152、对问题的求解15（1）、符号说明15（2）数据的检验与处理15（3）建立模型163、结论174、误差分析17六、模型的推广和改进18七、模型的评价和方向19（一）模型的评价：19（二）理想模型建立的方案及困难19八、 通俗短文19九、参考文献20十、附录21SARS疫情分析及走势预测，分析其对旅游业造成的影响摘要SARS曾经在我国的部分地区爆发与蔓延，对我国经济发展与人民生活造成了巨大的影响，因此建立SARS流行过程的数学模型就显得相当重要。对于一个传染病的模型，评价其优劣，首先应该着重考察该模型是否与真实的传染病传染机理相吻合，即模型是否具有合理性，能否正确描述出该传染病的感染方式和退出感染域的方式，这是模型的基础。对于本题，要求所建立的模型在数值预测上的效用，即从实用性的角度考察模型：是否能正确可靠的预测传染病的蔓延；是否能基于传染病初期的数据而对后期的蔓延趋势做出预测；是否能简易的得到预测值。基于这种评价的标准，我们认为对于建立模型, 需要分析非典作为一种特殊的传染病的特征（特别是政府的防治措施），以此为基础建立符合非典感染特征数学模型，以区别于传统的传染病模型。再者，我们以模型的实用性作为优化目标，使得模型能很好地预测疾病蔓延趋势，对实际的政府措施的采取有指导的作用.房室仿真模型, 根据非典相对于不同人群的不同特点，通过对SARS房室模型和相应微分方程的建立，将SARS相对于时间的基本特征描述出来，初步达到进行SARS传染与防疫模拟分析的目的。我们建立了一个SARS对经济（北京涉外旅游方面）影响的模型，我们在这个模型中对不同年份相同月份采取了，灰色理论的方法对2003年的数据进行了预测，又从旅游者心理以及对SARS发展的预测等方面合理的构造了2003年9-12月份的数据。最后预测得出：2003年SARS使去北京旅游的境外游客减少了161.851万人次，造成经济损失:129.56亿元人民币。关健词：优化目标；传染病模型；房室模型；经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差；回归拟合一、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下 (1) 对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 (2) 建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。(3) 收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。(4) 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性二、对附件1模型的评价附件一的模型是通过考虑平均每个病人可传染的人数K人和平均每个病人可以直接感染他人的时间L天, 这两个影响传播的因素来考虑建立模型的。它是基于传统的指数增长模型，同时又引进传染期L改进而得到的模型。基本的计算原理是通过数据拟合求出参数K，再使用半模拟循环计算的方法计算出患病者人数。在预测北京非典疫情时，首先使用上述的方法拟合出北京非典高峰期前的k 值，进而通过香港和广东的数据拟合的非典高峰期后的k 值结合定性分析，定出北京非典高峰期后的k 值的范围，作为对北京疫情的预测。模型优点：1.该模型对北京地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型在短期内有一定的实用性,在短期预测方面简单，而且能较为准确的反映一定的疫情变化趋势。2.对K的分段处理，反映了传染病的许多特性，同时也反应了社会的警觉程度、政府和公众采取的措施反过来也会影响K值。3.通过拟合的函数给出了非典疫情发展的大体趋势，使得决策部门对于病情的蔓延情况有着整体性的把握，可以基于模型的预测进行必要的及时的决策，采取防治措施。4.通过对香港和广东两个地区的数据的分析给出两种极端情况。即迅猛发展型和无激烈峰值型。通过定性分析，把北京的疫情情况被限制在这两种情况之间，可得出北京高峰和结束的时间范围和患者累计总数的范围。模型缺点：1、“传染概率”的说法欠妥，传染期限L的确定缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。2、模型中的人口至少有3类：易感者、患者和恢复(与死亡)者，仔细一些的可以再加入潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，治愈者和留观者等，要弄清楚他们之间的关系。 3、模型的结果应该提供预测值(用数量或曲线来说明高峰期和持续时间)和隔离措施的效果(包括提前和推迟控制时间的影响，隔离人数多少的影响及遗漏病人的影响)。对于结果的分析应包括误差分析，及模型与方法的通用性分析(模型除北京外，是否还用于其它地区，如外地、香港、全国和全球等)。 4、于该模型中, 只是通过用平均每个病人可传染的人数K来比较、分析疫情的发展, 因此准确性不高（如图1,2）,且没有给出一个计算K值的有效公式或算法, 仅提到用数据拟合的方法得到, 所以要计算得到某地区某个时刻的的值是相当困难的。5、型中忽略了易感人群和感染者。6、模型也没有给出平均每个病人可以直接感染他人的时间L天的计算方法, 以及在模型中的具体表示和应用，因此该模型的实用性不强。7、该模型对北京地区的后期疫情预测与后来的实际情况却有一定差距，同时该模型中K值是从香港和广州两地实际情况统计处理得来，而实际上，各地区社会客观因素（包括气候因素，社会的医疗条件，人口的密集度、政府政策以及人们生活习惯）各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。所以该模型的通用性有一定局限。图1三、自建模型【一】（一）基本假设1、 国家卫生部提供的北京疫情统计真实可信。（误诊数仅为1，可忽略不计）。2、 由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。3、 不考虑出生与自然死亡的过程和人群的迁入迁出（或认为迁入和迁出基本平衡），认为疾病传播期间所考察地区的总人数为常数。4、 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。5、 康复患者退出传染系统。6、 根据资料显示，SARS病毒的潜伏期一般为27天，平均约为5天。（这一条件将在后期的模型中有所改动）（二）常用基本模型目前常用的传染病模型，通常将传染病流行范围内的人群分为三类： S类：易感者，指未得病者，但与感病者接触后容易受到感染。I类：感病者，指染上传染病的人。R类：移出者，指因患病而被隔离，或因病愈而具有免疫力的人，他们即非感病者，也非易感者，实际上他们已经退出了传染病系统。并通过三类之间的互相转化关系建立微分方程组进行求解： (1)变量和符号说明：传染率：每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。退出率：单位时间内治愈和死亡人数占感病者人数的百分数。S(t)易感人群的总数。I(t)感病者总数。R(t)退出者总数。N一个城市总人口数。观察附件二中给出的数据，我们发现截至6月23日，感病者累计为2521人，远远小于北京城市的总人口数150万人，故认为感病者和退出者对易感人群的总数影响不大，易感者总人数s为一常数。原方程变形为： （2）注意到退出者不是我们研究的范围，故方程组（2）实际上是一个常微分方程 （3）其中，不难用分离变量法解出： （4）其中I0为初始值。根据以上分析我们可以看出，常微分方程的传染病模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况。当病例数远小于总人口数时，常微分方程模型的实质与附件1的模型相同，感病人数将随时间以指数增长。由于北京在4月20日才开始建立每日疫情报道制度，故认为政府采取严格的隔离措施开始于4月20日，以这一天为分界线，之前属于自由传播阶段。根据这一模型，用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测。图2：5月10日以前数据拟合图图3：5月10日以后的预测曲线通过图2两条曲线的拟合，得到控前的有效接触率（表征病毒的传染力）k=1.351,可控率（表征政府的控制力度）；控后k1=0.8， =0.7。根据这两个参数作出5月10日的预测曲线见图3。，根据预测，北京将在第97天（6月下旬）实现零增长，累计病例数2448人。经过分析，以上确定型的模拟模型存在以下两点问题：第一、SARS病毒的潜伏期一般是27天，模型将潜伏期确定为5天，从感染到被发现的时间确定为7天，可以明显地看到以7天为传播周期的曲线变动，而在实际曲线中，虽然数据有上下波动的趋势，但周期性并不明显。第二、在采用隔离政策时，模型假定与病源接触的人群以固定的比例受到控制，这种假设加大了人为主观因素的影响。基于以上两点，在拟合5月10日之前的数据时，得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差。这种偏差降低了模型的可信度。因此我们引入了另一种模型房室仿真模型。（一）1符号说明( 1 ) , 发病率,当日正常人口的发病概率;( 2 ) , 疑似率,当日正常人口中发现疑似病例的概率;( 3 ) , 疑似转临床率,当日疑似人群中发现临床病例的概率;( 4 ) , 治愈率,表示当天非典人群的治愈概率;( 5 ) , 因病死亡率,表示当天非典人群因SARS而死亡的概率;( 6 ) , 非典恢复率,表示当天治愈人群的出院概率;( 7 ) , 疑似排除率,表示当天排除疑似病例的概率;( 8 ) , 人口出生率,表示当天人口自然出生的概率;( 9 ) , 人口死亡率,表示当天人口自然死亡的概率. (10) , 表示模型时间计算的起始点; (11) , 表示时刻的正常且可被感染人群的总数; (12 ) , 表示时刻的疑似人群的总数; (13 ) , 表示时刻的患病人群的总数; (14) , 表示时刻的治愈人群的总数;（二）房室模型：1. 模型的提出：根据非典相对于不同人群的不同特点，通过对SARS房室模型和相应微分方程的建立，将SARS相对于时间的基本特征描述出来，初步达到进行SARS传染与防疫模拟分析的目的。2. 模型的建立：房室模型： v e-d e e e S N I R u d d d 死亡 图一 （房室模型图）由房室模型建立的微分方程组：3，其中由符号的说明可以知道初值为：。3. 参数的不同处理方法：（1）常数参数为： 合理性：SARS发病期间内，人口的出生率和自然死亡率是相对不变化的。我们参考中国统计年鉴（2000）得到了以天为基本单位的常数e,d.我们假设非典恢复率v为1：每天新增非典治愈人数非常少，相对于我们模型所用的总人口数是一个非常小的数字，对模型的仿真影响非常小。（2）均值参数为：，u合理性：通过多次仿真的结果对比我们发现这两个参数对整个仿真的结果（即S，N，I和R的曲线）影响不明显，我们采取平均值进行处理，根据以知数据得到：=0.002875，u=0.022522（3）变量参数为，我们通过各参数的意义知道，和是随时间变化的函数，它们的值域是一定的，在一定数值给定的情况下，我们在值域范围内仿真逼近，使这四个参数的值最优。4模型的解答：实现的目的：实现了以任意点为起点的任意长度时间内（的实际值知道）仿真出最佳参数（此参数构成的模型与实际相差最小），我们用仿真出来的参数，来检验模型的好坏，即用仿真出的参数，算出每一天的，再由它所拟和的曲线与实际发病曲线进行比较。引入仿真算法：数据输入从差分公式计算出预测值以求得误差平方和最小为目标函数参数循环取值得到最优参数输出最优参数与最佳预测值 图二（程序流程图）最终用VC编程实现。利用附件2所给的数据来模拟：最后得到仿真参数值：=1e-6，=8e-6，=0.045，=0.004由于篇幅有限结果中我们只考虑最重要两组数据的仿真情况仿真图与实际图的比较：见图6 图95用参数值的变化预测国家推后或提前采取强硬措施对疫情的影响：根据多次的实验我们估计国家推后五天对参数的变化：=1.5e-6, =1e-5, ,变化不大；提前五天采取隔离措施对参数的变化：=0.5e-6, =4e-6, ,变化不大，以此推得的模拟图与实际的比较：见图7 图10 图11由图看出对于的预测不太准确，而对于的预测相当合乎情理预测结论：显然有公式：累计确诊人数=当前确诊人数+累计治愈人数 （4）当推迟五天采取严格的隔离措施时，当前确诊人数稳定期将推迟10天以上，根据公式（4）以及推导结果累计得病人数最小值为3569。当提前五天采取严格的隔离措施时，当前确诊人数稳定期将提前8天左右，根据公式（4）以及推导结果累计得病人数为1976左右。由此可见推后或提前采取强硬措施对疫情的传播造成的影响是相当大的。6模型的评价与改进：评价：本模型采用房室模型，使得对SARS分人群的特点以及内部机理进行了充分的考虑，这是其他的一般传染性疾病模型所不能的，仿真中对当天确诊人数的估计与实际的值是相当吻合的，在对采取严格隔离措施的提前或推后的问题上，估计也是相当合乎情理的，但当天疑似人数的仿真不是很准确。改进方向：a 可以对参数值进行一次指数与一次线形回归，预测出参数的更加准确的值。b本房室模型的构造与机理与系统动力模型有相似的地方。可在此基础上进行系统动力模型的构造，这样的预测可以更加精确。 图127 困难点：（1） 从第一例被确诊的病例后到实验日期之前并没有相关数据，无法进行更加准确的估计。（2） 参数的选取很难很好的进行控制和预测。（3） 参数的变化需要进行不断的拟和，需要花大量的时间。（4） 由于SARS控制的复杂和艰巨性，仅仅依靠定量分析会出现疏漏甚至错误，因此定量分析的同时必须进行定性分析。.（5） SARS的生物学规律尚不太清楚，传染源与感染者的关系尚在探索之中，无法准确的进行定量分析。四、模型一的评价和改进方向（一）模型的评价：1、附件1的模型中，未能明确指出自由携带者和已确症患者之间的区别，未能考虑到潜伏期不具备传染力的情况。而在本文中的两个模拟模型，对各个时期的带菌者作了严格的界定，认为只有未受控（未被隔离及入院就诊）的带菌者在病发后的12天内才具有传染能力，之后会立即入院治疗。符合实际情况，揭示了传染的主要途径和传播机理。2、改进后的模拟模型对潜伏期和带菌者被发现的时间按照实际规律，作了正态模拟，具有明确的实际意义。3、模拟模型是完全依照北京市5月10日以前的数据拟合得到的，不需要借鉴其他城市的数据，可以预测首发城市的疫情发展，且结果与实际情况符合的很好。4、正是由于我们模型逻辑的准确性，如果经过深入调查获取实际数据，再对模型进行一定的修改，就可立即用于建立前期的预测模型，而不需要等待疾病的发展来获得大量数据进行拟和。（二）理想模型建立的方案及困难要真正建立能够预测以及能为预防和控制提供可靠，足够的信息的模型。要怎样做，以及困难。事实上，真正情况要比我们的模型复杂的多，比如，由于初期传播机理不明，医护人员为收到好的保护，很多受到传染。而传播率事实上也是按照某种趋势变化的，他与人们的警惕心理等因素有关。要建立这样的模型，我们认为：1、要不断的研究传染病理，完善模型。2、建立实时反馈机制，不断修改模型参数，以求更准确的预测以后的数据。3、尽量以实际的研究数据建模，力求准确反映事件的实质。这样，当人为修改参数进行模拟预测时，可以为采取什么措施效果最好做出较准确的建议。4、研究各种措施实际对疾病传播的影响。要做到这些，也恰恰是建模的难点，因为当涉及到新的传染病的时候，以上数据或参数都必须通过长期的研究或拟合才能得到的。比如措施对疾病传播的影响，是要统计大量实际数据才能获得的。以上也可以看作我们模型的改进方向。五、对旅游业是否受SARS影响的分析与求解(灰色理论)1、对问题的分析 由附表二，对该市1997-2003年的接待海外旅游人数（单位：万人）进行分析，利用灰色预测理论预测该市2003年接待海外旅游人数，并与该市2003年接待海外旅游实际人数比较，从而反映SARS疫情对该市2003年旅游业的总体影响；然后根据历史平均比例可以计算出2003年该市912月份的预测接待海外旅游人数，从而可以进一步分析SARS疫情给该市旅游业各月份所造成的具体影响。2、对问题的求解（1）、符号说明序号符号符号说明1表示第指标的参考数列2表示通过级比数列的累加数列3表示生成的均值数列4表示预测方程的发展系统5表示预测方程的灰作用量6表示第i个指标的原始数据的预测7表示第i个指标累加数列的预测8表示用第i个指标的级比（2）数据的检验与处理首先，我们把各年各月接待海外旅游人数向量作为参考数列，经过级比判断得到，其中有数据不在要求范围内，需进行转换，得到根据下列公式计算数列的级比当n=6时，求得级比均落在了内，则可以作为模型GM(1，1)进行数据灰色预测。（3）建立模型对数列做一次累加， 求得，再求均值根据公式进行均值生成由灰色预测理论， ，则上式可以写成矩阵形式，由最小二乘法，求使得达到最小值的（程序见附录程序1）得到：表-2 的估计值-0.0868-0.1002-0.0896-0.0940-0.1029-0.1099-0.0842-0.0809-0.0386-0.0504-0.0324-0.09778.16896.389713.799817.207917.184715.622416.554520.671921.859624.006820.744512.8222于是有预测值 利用MATLAB软件求得：表-3 预测值1月2月3月4月5月6月199711.305210.564518.102321.357922.168321.5192199812.907811.891020.280724.888125.743724.3699199914.078213.144322.181827.341128.533827.2009200015.354814.529624.261030.035831.626330.3607200116.747216.060926.535132.996135.054033.8876200218.265817.753529.022536.248238.853137.8242200319.922119.624631.742939.820843.064142.21827月8月9月10月11月12月199721.812525.834223.672326.717822.892518.2074199823.366128.087124.653028.683723.356820.0122199925.418830.453825.623230.166424.126022.0661200027.651733.019926.631631.725724.920524.3308200130.080835.802227.679633.365725.741126.8279200232.723338.819028.769035.090426.588829.5813200335.598042.090029.901136.904327.464432.6173预测2003的海外旅游人数MATLAB编程计算求得：图-13 2003年各月海外旅游人数散点图3、结论由图-1可看出2003年正常情况下的预测值和实际值有些月份相差很大，我们可以得出结论：SARS在2003年的4月到8月使旅游人数比预期值下降。由此可见：SARS对我国的旅游业是一个重大的打击,不过由于政府采取了积极快速的行动,以及采取了有效的措施,于6月份旅游人数已逐渐回升,可见对SARS的控制成效不错。4、误差分析 1、在研究SARS对海外旅游人数的影响时，我们对预测值进行检验。计算相对误差，求得1月2月3月4月5月6月19970.03240.00120.02150.02440.03120.039219980.03440.00160.02830.02500.03200.036919990.03930.00180.02530.03020.03580.033320000.03460.04410.02370.01590.01450.024920010.04560.03910.03000.02640.02120.021020020.03330.04020.02560.02540.03390.038020030.02930.01470.03500.24322.31931.51757月8月9月10月11月12月19970.03000.02120.01340.01540.01540.021219980.03120.02050.01520.01700.01620.025819990.01600.01800.01250.00120.00220.033720000.02020.001870.00240.01130.02400.031520010.01930.01620.00350.01870.01590.029620020.02580.002050.00830.00760.00890.029120030.30450.15980.04870.04820.00360.0496由计算结果可以知道，除2003年各月的残差值外其他各值均0.1),sum(t),plot(1:length(t),t,g)clearf=zeros(1,200); %f表示自由的带菌者数 a=zeros(1,200); %a表示新增病例数b=zeros(1,200); %b表示被隔离的人数%f(1:7)=60,70,80,100,143,106,105;f(1:7)=1,2,3,4,5,6,7;%f(1)的起点：beta=.5;k=1.35;T=5;l=.01;fo