2002数一数三考研数学真题及解析.doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设常数,则.(2)交换积分次序.(3)设三阶矩阵,三维列向量.已知与线性相关,则.(4)设随机变量和的联合概率分布为概率则和的协方差.(5)设总体的概率密度为而是来自总体的简单随机样本,则未知参数的矩估计量为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在闭区间上有定义,在开区间内可导,则(A)当时,存在,使.(B)对任何,有.(C)当时,存在,使.(D)存在,使. (2)设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为(A).(B).(C).(D). (3)设是矩阵,是矩阵,则线性方程组(A)当时仅有零解.(B)当时必有非零解.(C)当时仅有零解.(D)当时必有非零解. (4)设是阶实对称矩阵,是阶可逆矩阵.已知维列向量是的属于特征值的特征向量,则矩阵属于特征值的特征向量是(A).(B).(C).(D). (5)设随机变量和都服从标准正态分布,则(A)服从正态分布.(B)服从分布.(C)和都服从分布.(D)服从分布.三、(本题满分5分)求极限四、(本题满分7分)设函数有连续偏导数,且由方程所确定,求.五、(本题满分6分)设,求.六、(本题满分7分)设是由抛物线和直线及所围成的平面区域;是由抛物线和直线所围成的平面区域,其中(1)试求绕轴旋转而成的旋转体体积;绕轴旋转而成的旋转体体积;(2)问当为何值时,取得最大值?试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点,使.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组其中.试讨论为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解？在有穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设为三阶实对称矩阵,且满足条件,已知的秩.(1)求的全部特征值;(2)当为何值时,矩阵为正定矩阵,其中为三阶单位矩阵.十一、(本题满分8分)假设随机变量在区间上服从均匀分布,随机变量试求(1)和的联合概率分布;(2).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布,平均无故障工作的时间为小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数.2002年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由于利用等价无穷小因子代换,有.于是原式. (2)【分析】由题设知,积分区域,且这表明是由和两个区域合并而成,其中中最低点的纵坐标是,最高点的纵坐标是,的左边界的方程是,即,右边界的方程是,即的右支;而中最低点的纵坐标是,最高点的纵坐标是,的左边界的方程仍然是,即,右边界的方程却是.由此不难画出的图形,如图.从图形可见中最左点的横坐标为,最右点的横坐标为,下边界的方程是,上边界的方程是,即,所以. (3)【分析】因为,那么由,线性相关,有. (4)【分析】依题意,的联合分布及关于与关于的边缘分布如下表所示概率 (5)【分析】由的矩估计量为.二、选择题(1)【分析】由于在内可导,则在点可导,因而在点连续,故.所以应选(B).有省略(2)【分析】设和都存在,由题设知.于是从而级数的收敛半径是.故应选(A). (3)【分析】是阶矩阵,那么仅有零解的充分必要条件是.又因,故当时,必有.所以应当选(D). (4)【分析】因为是实对称矩阵,故那么,由知所以应选(B). (5)【分析】由于的联合分布是否为二位正态分布未知,不能确定服从正态分布,又因与是否独立未知,因而不能确定服从正态分布,也不能确定服从分布,也不能确定服从分布,因而选(C).进一步分析,因,故,同理,因此应选(C).三、【分析】这是一个含变上限定积分的“”型极限,一般是用洛必达法则.本题中先将分母中的用其等价无穷小代替,再用洛必达法则较为方便.【解】四、【解】将两边求全微分,得.故.由,得故五、【解】因,于是可令,且,故六、【证明】(1)与如图,计算可得,(2).由于因此是的最大值点.此时取最大值.七、【解】(1)因为幂级数的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得,所以.(2)与相应的齐次微分方程为,其特征方程为,特征根为.因此齐次微分方程的通解为.设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得,即有.于是,方程通解为.当时,有于是幂级数的和函数为.八、【证明】因为在上连续,且,于是.又由最值定理知在上有最大值和最小值,即.故于是,由连续函数的介值定理知,存在,使即.九、【分析】这是个未知数个方程的齐次线性方程组,只有零解的充分必要条件是,故可从计算系数行列式入手.【解】方程组的系数行列式(1)当且时,方程组只有零解.(2)当时,对系数矩阵作初等行变换,有.由于,取自由变量为.得到基础解系为:方程组的通解是:,其中为任意常数.(3)当时,对系数矩阵作初等行变换,有由于,有,即基础解系只有个解向量,取自由变量为,则基础解系为.故通解为,其中为任意常数.十、【解】(1)设是矩阵的任一特征值,是属于特征值的特征向量,即.那么,.于是由得.又因,故或.因为是实对称矩阵,必可相似对角化,且,所以.即矩阵的特征值为(2)由于是对称矩阵,且由(1)知