2014《步步高》高考数学第一轮复习03 导数的应用(二).doc

3.3导数的应用(二)2014高考会这样考1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决实际问题复习备考要这样做1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题、实际问题等1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题难点正本疑点清源1 实际问题的最值(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2 判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性1. 如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是_ cm2/s.答案25 000 解析设时间t时，水波圆的半径、面积分别为r、s，则r50t，Sr2(50t)22 500t2，则S5 000t，而r250时，t5，故S(5)25 000(cm2/s)2 若函数f(x)xasin x在R上递增，则实数a的取值范围为_答案1,1解析f(x)1acos x，要使函数f(x)xasin x在R上递增，则1acos x0对任意实数x都成立1cos x1，当a0时，aacos xa，a1，0a1；当a0时适合；当a0时，aacos xa，a1，1a0.综上，1a1.3 若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(2,2)解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)4 若f(x)，0abe，则f(a)、f(b)的大小关系为_答案f(a)f(b)解析f(x)，0ab0，即f(x)0，f(x)为增函数，f(a)f(b)5 从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_答案144 cm3解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x (0xln 21且x0时，exx22ax1.思维启迪：证明不等式时要构造函数，利用函数的单调性来解题(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.探究提高利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口当0xx.证明设f(x)tan x，则f(x)1x2tan2xx2(tan xx)(tan xx)因为0x，所以x0，即x时，f(x)为增函数所以x时，f(x)f(0)而f(0)0，所以f(x)0，即tan x0.故tan xx.题型二利用导数研究恒成立问题例2已知函数f(x)ln x.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0或f(x)0确定单调性(2)根据单调性求f(x)在1，e上的最小值列方程求解(3)f(x)xln xx3求xln xx3的最大值解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立探究提高(1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用 已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案4，)解析当x(0,1时不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x)，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)4因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是4，)题型三生活中的优化问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值思维启迪：(1)考虑求解C(x)中的参数k的值，注意C(0)8.(2)由导数求最值，注意考虑定义域解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年的能源消耗费用为C(x) (0x10)再由C(0)8，得k40，因此C(x) (0x10)又建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5或x(舍去)当0x5时，f(x)0，当5x0，故x5是f(x)的极小值点也是最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元探究提高在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点 现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：yxax2ln ，t，)，其中t为大于的常数当x10时，y9.2.(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值解(1)当x10时，y9.2，即10a102ln 19.2，解得a.f(x)xln .t且t，60，且f(x)在(6,50上连续，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当x(50，)时，f(x)0，且f(x)在50，)上连续，因此，f(x)在50，)上是减函数x50为极大值点当50，即t时，投入50万元改造时取得最大增加值；当650，即t时，投入万元改造时取得最大增加值 导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011辽宁)设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.考点分析本题考查曲线的切线、导数的几何意义，考查函数在闭区间上的最值解题策略本题的关键点：P(1,0)点处切线斜率为2，可以列方程解出a，b；证明不等式时可以构造函数，利用函数的单调性来证明不等式规范解答(1)解f(x)12ax.1分由已知条件得即4分解得5分(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.8分当0x0，当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.12分解后反思利用函数的导数研究不等式问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目二审结论会转换典例：(12分)已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方审题路线图求f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求f(x)0的解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)0 (f(x)0在有限个点处取到)2 导数为0的点不一定是极值点，极大值未必大于极小值A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a243(a6)0，即a23a180.a6或a2 Bm2Cm0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立，当0时，则m280，2m0，所以yg(x)的单调增区间是(，0)，(，)；单调减区间是(，)，(0，)9 (12分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售设本年度成本价比上年度降低了x (0x5(1310)解得0x.(2)本年度年利润为W(x)13(10.9x)10(1x)2 0112 011.W(x)2 011.令W(x)0，解得x1，x22.又0x0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A. B. C.1 D.1答案D解析f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，由奇、偶函数的性质知，当x0，g(x)0)，函数f(x)在1，)上为增函数，f(x)0对x1，)恒成立，ax10对x1，)恒成立，即a对x1，)恒成立，a1.5已知函数f(x)x2(xa)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是_；若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是_答案(，3解析f(x)3x22ax，若f(x)在(2,3)上单调，则f(x)0或f(x)0在(2,3)上恒成立，ax或ax.x(2,3)，a3或a.6 用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为_答案128 000 cm3解析设水箱底边长为x cm，则水箱高h cm.水箱容积VV(x)x2h60x2(0x0.(