5.1 二元运算及其性质(清华--修改).doc

第五章 代数系统的一般性质 第四章讨论了集合及集合中元素之间的关系，本章讨论集合中元素之间的运算性质。5.1 二元运算及其性质 通俗地讲，集合及集合上的运算称为代数系统。 利用集合和映射（函数）的概念定义运算。 定义1. 设为集合，称映射 为集合上的一元运算，称映射 为集合上的二元运算。 上二元运算的特点： 中任两个元素都可运算，结果唯一； 对该运算封闭。例 1 (1) ，则为上的二元运算。，由于则不是上的二元运算，(2) ，是上的二元运算。但，不是上的二元运算。(3) 非零实数集，乘法、除法是上的二元运算，但减法不是。(4) 则矩阵加法、乘法是上的二元运算。(5) 为集合，合成运算为上的二元运算。(6) 为集合，则为上的二元运算。类似地可定义上的元运算。 定义2. 设为集合，为正整数，则函数称为上的元运算。时为一元运算，如，. ， 都是一元运算。时为二元运算，如，都是二元运算。下面只讨论一元和二元运算。 通常用等表示运算，称为算符。 当为上的一元运算时，对进行运算，记作 。 当为上的二元运算时，对进行运算，记作. 是有限集时，通常用运算表表示上的运算。 一元运算 二元运算 例2 ，布尔加法，布尔乘法的运算表为 布尔加法 0 1010 11 1 布尔乘法 0 101 0 0 0 1 记为模加法，为模乘法。 例3为上的二元运算，运算表为 模2加法0 101 0 11 0 模2乘法0 101 0 0 0 1 例4 的运算表； 模3加法0 1 20120 1 21 2 0 2 0 1 模3乘法0 1 20120 0 00 1 20 2 1 例5设，求上的补运算及差运算的运算表。 解： 二元运算的主要性质 交换律，结合律，幂等律。 定义3 设为集合上的二元运算。 如果对任意，都有 则称满足交换律。 如果对任意的，都有 则称满足结合律。 如果对任意的，都有 则称满足幂等律。称为幂等元。 例6 设，对任意的，定义 则其运算表为 由于，故交换律不成立。 设是中的任意三个元素，由于 故满足结合律。由，得满足幂等律。 例7 设为整数集合，对任意，定义 则 交换律成立，但 结合律不成立。由于 幂等律不成立。由 得0为幂等元。 若运算满足结合律，可定义幂次 。则有 为正整数。 分配律，吸收律 定义4 设和是集合上的两个二元运算，对任意的，有 则称对满足分配律。（和的地位不同） 对任意的，有 则称和满足吸收律。（和的地位相同） 例8 为实数集， + 分别为上的普通乘法和加法，则乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律。由于 所以 和 + 不满足吸收律。 例9 和为上的二元运算，对是可分配的，对也是可分配的，由于对任意的 所以和满足吸收律。二元运算的一些特殊元素 特殊元素有三种，即单位元，零元及可逆元。 定义5 设为集合上的二元运算，如果存在，使得对任意的，都有 则称为集合关于的左单位元。如果存在，使得对任意的，都有 则称为集合关于的右单位元。如果存在，使得对任意的，都有 则称为集合关于的单位元。 对任意集合来说，关于运算的单位元不一定存在。例10 ，定义则都是左单位元，无右单位元，无单位元。 定理 若运算的左、右单位元都存在，则一定相等且唯一。 证：若和分别为集合关于运算的左、右单位元，则 即单位元是唯一的。把记作，则为单位元，若也是单位元，则 即单位元是唯一的。 例11 设为集合，是上的运算。由于对任意的，有 故为上关于运算的单位元。 同理，为上关于运算的单位元。 定义6 设为集合上的二元运算，如果存在，使得对任意的，有 则称为集合关于的左零元。 如果存在，使得对任意的，有 则称为集合关于的右零元。 如果存在，使得对任意的，有 则称为集合关于的零元。 例12 为实数集，对任意的，定义 则对任意的 故为的零元。 上的普通加法无零元，普通乘法的零元为0。 对任意集合的来说，关于运算的零元不一定存在。定理 若运算的左、右零元都存在，则一定相等且唯一。证：若和分别为集合关于运算的左、右零元，则 即左、右零元相等。设，则为零元，若也是零元，则 即零元是唯一的。定理3 设运算为上的二元运算，都存在，若，则。证：假设，则，有 与矛盾。定义7 设为运算的单位元，若有，使得 则称为关于的左逆元。若有，使得 则称为关于的右逆元。如果存在，使得对 则称为关于的逆元。定理4设为运算的单位元，运算满足结合律，若的左逆元和右逆元同时存在，则一定相等且唯一。证：由 得设，若也是的逆元，则有即的逆元是唯一的。设为集合上的二元运算，且有单位元，如果对，存在，使得 则称是关于可逆的，称为关于的逆元。记作 事实上，与互为逆元。例13. ,为上的二元运算，运算表为 则满足结合律。由运算表可知，为单位元，没有零元，且 集合上不一定每一个元素都可逆，例14. 设，为上的二元运算，运算表为 则为单位元，为零元，且，不是可逆元。定理5 设可逆，且运算满足结合律，则 (1) ； (2) 若可逆，则. （证明略）消去律定义8 设为集合上的二元运算，运算满足左消去律，若 且 ，则 。运算满足右消去律，若 且 ，则 。如果运算既满足左消去律又满足右消去律，则称运算