2010高教社杯全国大学生数学建模论文.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要讨论的是储油罐的变位识别与罐容表标定以及罐体变位后油位高度在间隔一定值的情况下给定罐容表标定值的问题，并结合实际检测数据来检验模型的正确性和方法的可靠性.针对问题（1），在储油量固定的情况下，当罐体不发生变位时，得到储油量与油位高度的函数关系；当罐体发生纵向变位时，油罐发生倾斜改变了液形，液面和罐底不再平行，而油位探针是始终垂直于罐底的，因此油位高度也会相应发生变化. 类似于罐体不发生变位时储油量的求法，可以得到纵向变位时储油量与油位高度之间的关系. 由于不论罐体是否发生倾斜，其储油量都是固定不变的. 根据无变位和变位后储油量相等的关系，可以得出无变位和变位后油位高度的关系. 从而得出罐体变位后对罐容表的影响. 再对罐体变位后储油量关于油位高度的函数求导，便可得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值. 在计算过程中，我们利用切比晓夫级数的一致收敛性质以及正交性与对偶性，得到相应的近似简化公式.针对问题（2），需要探讨的是罐体变位后罐内储油量与油位高度以及纵向倾斜角、横向倾斜角之间的关系.其中罐体的变位需讨论纵向倾斜和横向偏转同时发生的情况. 当罐体发生纵向倾斜时，中间圆柱体部分的储油量的计算可根据问题（1）中变位模型的表达式进行求解，在计算两端球冠部分的储油量时，我们先通过几何图形计算油罐在无变位时的储油量和油位高度的函数.在罐体发生变位后，两端球体中储油量的求法不变，只是其自变量的积分上限发生了变化.所以只需将问题（1）中的积分上限换掉即可.因为横向偏转没有使液形发生变化，而使得油位探针发生了倾斜，从而导致油位高度的改变. 所以当罐体既发生纵向倾斜又发生横向偏转时，只需在发生纵向倾斜的情况下改变积分上限即可. 然后根据附表2中的实际检测数据通过数据拟合确定变位参数为，并从而可给出油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.再通过MATLAB软件进行曲线拟合，来分析检验模型的正确性与可靠性. 在算法上，主要运用MATLAB软件求储油量的容积以及椭球的侧面积，并且对两条曲线进行拟合，利用其接近程度来分析误差，并以此判断模型的正确性以及方法的可靠性.同时，利用软件绘图，将不是很有规律的数据放在同一坐标中，能更直观的看出储油量和油位高度之间的关系.为检验所求储油量与油位高度的关系表达式是否符合附件1所给的实际检测数据，该文利用MATLAB软件进行编程，比较两条拟合曲线的近似程度，观察所求曲线与实际曲线的拟合程度.本文的特点是建立了两个模型，一个是理论模型，一个是实用简化模型. 前者有坚实的理论基础，后者是借助前者的思想方法对实际问题的简化，得到实用的求解方法.并且文章中采用了微元法，利用定积分在几何中的应用，求得曲面面积以及旋转体的体积，避免使用二重积分进行运算，减小了MATLAB软件计算的难度.关键字：变位识别 罐容标定 拟合 油位高度1 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”,采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况.许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图.请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题.（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）,分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值.（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系.请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2）,根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性.2 问题分析对于问题（1），要求探讨罐体变位后对罐容表的影响，在储油量固定的情况下，当罐体不发生变位时，利用微元法将截面面积进行无限切分，从而可以用截面面积来表示储油量，然而截面积是关于油位高度的函数，则可以得到储油量与油位高度的函数关系；当罐体发生纵向变位时，油罐发生倾斜改变了液形，液面和罐底不再平行，而油位探针是始终垂直于罐底的，因此油位高度也会相应发生变化. 类似于罐体不发生变位时储油量的求法，可以得到纵向变位时储油量与油位高度之间的关系. 由于不论罐体是否发生倾斜，其储油量都是固定不变的. 根据无变位和变位后储油量相等的关系，可以得出无变位和变位后油位高度的关系. 从而得出罐体变位后对罐容表的影响. 再对罐体变位后储油量关于油位高度的函数求导，便可得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值. 对于问题（2），主要探讨的是罐体变位后罐内储油量与油位高度以及纵向倾斜角a、横向倾斜角b之间的关系.其中罐体的变位需讨论纵向倾斜和横向偏转两种情况同时发生,从而得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的关系. 首先将油罐分为三个部分，即中间圆柱体部分和两端球冠部分，分别求其储油量.当罐体发生纵向倾斜时，中间圆柱体部分的储油量的计算可根据问题（1）中变位模型的表达式进行求解，在计算两端球冠部分的储油量时，我们先通过几何图形计算油罐在无变位时的储油量和油位高度的函数.在罐体发生变位后，两端球体中储油量的求法不变，只是其自变量的积分上限发生了变化.而我们可以根据偏角计算出和的关系，所以只需将问题（1）中的积分上限换为即可.因为横向偏转没有使液形发生变化，而使得油位探针发生了倾斜，从而导致油位高度的改变. 所以当罐体既发生纵向倾斜又发生横向偏转时，只需在发生纵向倾斜的情况下改变积分上限即可. 然后根据附表2中的实际检测数据通过数据拟合确定变位参数，并给出油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.再通过MATLAB软件进行曲线拟合，来分析检验模型的正确性与可靠性.3 模型假设与符号说明3.1模型假设1除罐内油位高度和储油量，其他影响罐容表显示的因素均忽略不计.2假定储油罐里的油不会过少也不会过多，即倾斜时不会出现油面接触罐底或罐顶的情况.3认为储油罐的主体为标准的圆柱体，两端为标准的球冠体.4罐体进、出油的过程中，粘附在罐壁上的油量忽略不计.3.2符号说明符号代表意义小椭圆油罐截面椭圆长半轴/小椭圆油罐截面椭圆短半轴/无变位油位高度/变位后油位高度/变位后任意油面处的油高/罐体最左侧油高/油罐长/椭圆弓形的面积/变位后罐体在油位高度时的弓形面积/无变位时的储油量/变位后的储油量/众向倾斜角度/度横向倾斜角度/度油罐中间圆柱体部分的容油量/油罐无变位时左端球体中的容油量/油罐无变位时右端球体中的容油量/油罐较低一端球体部分的容油量/油罐较高一端球体部分的容油量/油罐截面的半径/球冠部分油面横截面的半径/4 模型建立与求解4.1 罐体变位后对罐容表影响的模型为了更全面的对该问题进行分析，先对罐体无变位时油位高度与储油量之间的关系进行求解.设横截面椭圆方程为 可知图（1）中阴影部分为储油罐侧面积. 图（1） 设椭圆弓形的高（即油位高度）为，油罐的长为，椭圆弓形的面积为，储油量为，则根据定积分在几何中的应用可知 令（由可知）由体积=侧面积长可知 （1）利用已知条件，从（1）式能准确地算出储油量，但是由于算式里含有反三角函数，不易计算.我们可以运用多项式逼近，从而给出储油量的近似值. 由文献1可知的切比晓夫（Chebyshev）级数（其中，为阶切比晓夫多项式）一致收敛于函数. 由（1）式知 （2）事实上，由最佳平方逼近的定义可知：的切比晓夫级数的部分和也就是的最佳平方逼近多项式.因此可用代替从（2）式可得出在上的近似计算公式： （3）作为未知参数，我们可以通过以下方法进行求解. 由文献2可知，切比晓夫多项式具有正交性，即即在区间上带权正交. 由的奇偶性知，只含的偶次幂，只含的奇次幂. 当时，由于为偶函数，又为奇函数，为偶函数，可知中的被积函数为奇函数，又积分区间为对称区间，因此 （4）当时，设，则：用分部积分法不难从上式得出： （5）综合（4）式和（5）式得： （6） 由（3）式和（6）式可得的近似计算公式： 利用泰勒级数展开，当时，即用代替得的近似值为： 当时，即用代替得的近似值为： 以时的近似值代表，将代入上式可得 (7) 然后，对罐体发生倾斜角的纵向变位时油位高度与储油量之间的关系进行讨论，建立合理的数学模型，进而求得关系表达式. 图（2） 图（3）根据公式其中在罐体发生倾斜过程中，相对于罐体平稳状态时是关于的函数，可以运用定积分的定义，利用微元法将截面面积进行无限切分，得到 . （8）下面给出的求法：利用直角三角形的性质，可得在中， ，得 （9）将（8）式代入（7）式，可得因为且所以 将上式代入（7）式可得下式 （10）在固定储油量的情况下，结合（7）、（10）式，及 ，可得出无变位油位高度与变位后油位高度之间的关系，将用表示，便可得出在储油量固定不变的情况下，当储油罐发生变位时罐内油位高度相对于无变位油位高度的变化量.1）在表达式（10）中代入，用MATLAB软件编程：syms h0 hV=-12.979730899521791308870643353145*h03+.86065163799523625116136414816548*h04-.26114509839341774775082729822786e-1*h05+24.96843972732378565329816500615*h0+102.96704929533799992861546566484*h02+33.28474367082396220533741244034-50V0=(pi/2)*6*8.9*24.5+16/(1575*pi)*615*(h-6)/6-80*(h-6)/6)3-48*(h-6)/6)5*6*8.9*24.5y1=ezplot(V,0,12)grid onhold ony2=ezplot(V0,0,12)set(y2,Color,r,LineWidth,1.5)title()legend(变位容积-油位高度,无变位容积-油位高度曲线)hold off上表中，位于上方的是罐体无变位油位高度与罐容量之间的关系曲线，位于下方的是变位后油位高度与罐容量之间的关系曲线.从整体趋势来看，变位后与无变位两种情况下，两者的油位高度相当接近.并且通过数值验算可知，罐容量越大时，越接近实测值.从而得出罐体变位后对罐容表的影响很小，并且影响罐容量的主要因素为油位高度.2）对的函数进行求导，得到一条关于的函数曲线，便可得到在任一油位高度处间隔的罐容定标值.利用MATLAB软件编制程序如下：syms h0V=-12.979730899521791308870643353145*h03+.86065163799523625116136414816548*h04-.26114509839341774775082729822786e-1*h05+24.96843972732378565329816500615*h0+102.96704929533799992861546566484*h02+33.28474367082396220533741244034-50dfdv=simple(vpa(diff(V,h0)ezplot(dfdv,0,12)grid ontitle()hold off所绘制的标定值图形为：在罐体发生纵向变位且倾斜角的情况下，当时，随着油位高度的增加储油量的变化量越来越大，当时，随着油位高度的增加储油量的变化量越来越小.储油量是一个关于变量的函数，对其求导数，即可得到油位高度间隔为的罐容表标定值.如下表所示 显示油高/mm显示油量容积/L显示油高/mm显示油量容积/L显示油高/mm显示油量容积/L40.008.9379430.001.2184e+003820.002.8779e+00350.0019.9412440.001.2604e+003830.002.9181e+00360.0032.6398450.001.3027e+003840.002.9580e+00370.0046.9667460.001.3451e+003850.002.9976e+00380.0062.8568470.001.3877e+003860.003.0370e+00390.0080.2467480.001.4304e+003870.003.0759e+003100.0099.0750490.001.4732e+003880.003.1146e+003110.00119.2822500.001.5161e+003890.003.1529e+003120.00140.8101510.001.5592e+003900.003.1908e+003130.00163.6027520.001.6023e+003910.003.2283e+003140.00187.6054530.001.6455e+003920.003.2655e+003150.00212.7654540.001.6887e+003930.003.3021e+003160.00239.0315550.001.7320e+003940.003.3384e+003170.00266.3539560.001.7753e+003950.003.3741e+003180.00294.6847570.001.8186e+003960.003.4094e+003190.00323.9773580.001.8620e+003970.003.4441e+003200.00354.1867590.001.9053e+003980.003.4783e+003210.00385.2694600.001.9486e+003990.003.5120e+003220.00417.1831610.001.9919e+0031000.003.5450e+003230.00449.8872620.002.0352e+0031010.003.5774e+003240.00483.3424630.002.0784e+0031020.003.6092e+003250.00517.5106640.002.1216e+0031030.003.6403e+003260.00552.3551650.002.1647e+0031040.003.6706e+003270.00587.8407660.002.2077e+0031050.003.7002e+003280.00623.9331670.002.2507e+0031060.003.7291e+003290.00660.5993680.002.2935e+0031070.003.7571e+003300.00697.8077690.002.3363e+0031080.003.7843e+003310.00735.5277700.002.3789e+0031090.003.8106e+003320.00773.7298710.002.4214e+0031100.003.8360e+003330.00812.3856720.002.4638e+0031110.003.8604e+003340.00851.4679730.002.5061e+0031120.003.8838e+003350.00890.9504740.002.5481e+0031130.003.9061e+003360.00930.8077750.002.5901e+0031140.003.9274e+003370.00971.0157760.002.6318e+0031150.003.9476e+003380.001.0116e+003770.002.6734e+0031160.003.9665e+003390.001.0524e+003780.002.7147e+0031170.003.9842e+003400.001.0935e+003790.002.7559e+0031180.004.0007e+003410.001.1349e+003800.002.7968e+0031190.004.0158e+003420.001.1765e+003810.002.8375e+0031200.004.0295e+0034.2 罐体变位后标定罐容表的模型将油罐分为三个部分，即中间圆柱体部分和两端球冠部分，分别求其储油量.1）当储油罐纵向倾斜角度为时, 油罐内的储油量为:对于的计算：因为本问中油罐中间圆柱体部分正好是问题（1）中两端平头的圆柱体，所以我们直接利用问题（1）中的结论.由此可得 圆柱体作为椭圆柱体的一种特殊情况，上题中、分别代表长半轴、短半轴，由圆柱体中长半轴与短半轴相等，即所以 (11)在求和之前，我们需先考虑油罐在无变位时各自的求法.无变位时的计算：下图为其平面图形 图（4）设r为球冠部分油面横截面的半径，为了求的值，首先应该求左边球冠的半径.如下:如下图（4）所示可以得出关系式从而可求出 图（5）然后再根据由图中得出的等式弓形的高然后再根据问题（1）中已求侧面积表达式：由于=所以=可以运用定积分的定义，利用微元法将截面面积进行无限划分. （12）此时油罐无变位（即静止时左右两端油面水平），得 .现在考虑有纵向位变和横向位变后的各种数据关系：如图所示 图（6） 图（7）图（7），Rt中，可得图（6），Rt中，如上图所示，可利用几何关系求得任意纵截面的油位高度为然后再考虑罐体发生变位后和的求法.在罐体发生变位后，两端球体中储油量的求法不变，只是其自变量的积分上限发生了变化（即变成了）.图（8）在Rt中， 将它们分别代入（11）式便可得到如下两个式子: （13） （13）式便为我们所求的关于油面高度及变位参数，的函数.运用枚举法，将实际数据采集表2带入（13）式中，通过matlab软件模拟附件2，得出最接近实际值的和值分别为，. 注意程 date.txt是一个关于二维数据的文件，Vbb3为一个函数，他们另外给出. 在求罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容量标定值时，我们依旧是运用罐内储油量与油位高度及变为参数三者之间的关系公式，通过matlab软件的模拟与计算，可求出所需标定值，matlab程序即所得结果如下：syms h phiV0=0.5*pi*152*80-152*acos(h-15)*cos(phi)/15)-(h-15)*sqrt(152-(h-15)2*(cos(phi)2)*cos(phi)*80+pi*10/15*152*(h-15)*cos(phi)-1/3*(h-15)3*(cos(phi)3+2/3*153 V0 = 9000*pi-18000*acos(1/15*(h-15)*cos(phi)+80*(h-15)*(225-(h-15)2*cos(phi)2)(1/2)*cos(phi)+2/3*pi*(225*h-3375)*cos(phi)-1/3*(h-15)3*cos(phi)3+2250) for k=1:1:30V=subs(V0,h,k)end油位高度/mm所显示的油量/L油位高度/mm所显示的油量/L油位高度/mm所显示的油量/L100.003902.551100.0021127.662100.0048763.22200.004189.371200.0023814.2522200.0050367.14300.004478.121300.0026597.282300.0053577.28400.004962.341400.0029546.472400.0055869.85500.006637.451500.0032167.402500.0057724.53600.008794.131600.0035087.222600.0059842.11700.0010861.791700.0037618.312700.0060734.67800.0013268.831800.0040736.092800.0061893.94900.0015813.671900.0043375.242900.0062437.511000.0018834.302000.0046013.883000.0062794.585 模型检验为检验所求储油量与油位高度的关系表达式是否符合附件1所给的实际检测数据，我们用MATLAB进行拟合，比较两条曲线的近似程度，观察所求曲线与实际检测数据的拟合程度.用MATLAB进行编程如下：syms h0V=-12.979730899521791308870643353145*h03+.86065163799523625116136414816548*h04-.26114509839341774775082729822786e-1*h05+24.96843972732378565329816500615*h0+102.96704929533799992861546566484*h02+33.28474367082396220533741244034-50ezplot(V,0,12)grid onhold onload data.txty=(data(:,1)+262);x=(data(:,2)/100;plot(x,y,r.)title()legend(模型所得容积-油位高的关系,实验采集数据1)hold off绘制的图形 从上图可以看出，两条曲线几乎重合，因此所求储油量与油位高度的关系表达式符合附件1所给的实际检测数据. 6 模型评价与推广6.1 模型评价本文建立了两个模型，一个是理论模型，一个是实用简化模型. 前者有坚实的理论基础，后者是借助前者的思想方法对实际问题的简化，得到使用的求解方法. 我们曾想过用计算机编程实现前者，但时间和空间复杂度的巨大使我们尚处于尝试阶段，将计算机知识应用于后者得到问题的结果，但在理论上主要是定积分在几何中的应用和近似求解，结果是否最优，难于论证，但就所给的实际检测数据来看，就局部来说，结果是令人满意的. （1）模型优点1）本模型采用了微元法，利用定积分在几何中的应用，求得曲面面积以及旋转体的体积，避免使用二重积分，减小了MATLAB软件计算的难度. 2）模型充分利用题目所给实际检测数据，用于模型的求解与检验，使得所得的结果更具说服力. 3）在解题过程中，我们将复杂问题先特殊化，再化简、逐步求精，最后归纳出一般求解公式，使得问题得到很好的解决. 4）所求建立的模型可以运用到实际生活中对罐容表的标定，具有较强的实用价值. （2）模型缺点 1）通过建立合理的模型对罐容表进行标定，其精确度较低，测量过程影响加油站的正常工作. 2）在解题时，我们运用最佳平方逼近法来简化模型的计算，采用近似计算公式，使得模型有一定程度的误差. 6.2 模型推广 此题模型是