全等三角形__导学案.doc

111 全等三角形 学习目标1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边学习过程FEDCBA图1问题：观察下图中的两个三角形，这两个三角形形状、大小有什么关系吗？这两个三角形的 、 完全一样，放在一起 完全重合自主学习：阅读教材P23 ,完成下列填空 全等形的定义：形状与大小都相同的两个图形放在一起能够完全重合。能够完全重合两个图形叫做 。 全等三角形的定义： 的两个三角形叫做全等三角形。对应顶点： 的顶点叫对应顶点；对应角： 的角叫对应角；对应边 的边叫对应边；“全等”用符号： 表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时对应顶点字母写在对应的位置上。例如 图1中的ABC和DEF全等，记作： ，其中点 和点 ，点 和点 ，点 和点 是对应顶点；哪些是对应边？对应角呢？思考：将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180得到DBC；将ABC绕点A旋转180得AED议一议：各图中的两个三角形全等吗？ DEF，ABC ，ABC 注意 ：对应顶点字母写在对应的位置上。归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形思考：观察图1中两各全等三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形的性质： ， 。例1 如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角 如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角 已知，如图ABCADE，试找出对应边、对应角例2 如图，ABEACD， AB与AC，AD与AE是对应边，已知：，求的大小。1121 三角形全等的判定（一）学习目标CBA图1FED1三角形全等的“边边边”的条件2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程学习过程1.复习： 的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形的性质：如图1所示，ABCDEF，写出其中相等的边及相等的角？BAC2问题： 如图，已知ABC，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？导入新课探究一：先任意画一个ABC，再画一个ABC，使ABC与ABC，满足上述条件中的一个或两个你画出的ABC与ABC一定全等吗?分别按下列条件做一做 三角形一内角为30，一条边为3cm 三角形两条边分别为4cm、6cm得出结论：只给出一个或两个条件时，所画出的三角形 全等给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能即：三条边、两边及一内角、两内角及一边、三内角探究二：先任意画一个ABC，再画一个ABC，使ABAB，BCBC，CACA，把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗?已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？由此可得：判定三角形全等的一种方法：边边边公理： 的两个三角形全等 (简写为“边边边”或“SSS”)用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据请看例题DCBA例1 如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架求证：ABDACDDCBA1.如图所示，已知 AB=AC,BD=CD, 求证：ABDACD例2 如图，在ABC与DEF中，如果AB=DE，AC=DF,BE=CF，求证：ABCDEF2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB求证：ABCFDE。1122三角形全等的判定（二） 学习目标：1三角形全等的“边角边”的条件2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3掌握三角形全等的“SS”条件；4能运用“SS”证明简单的三角形全等问题学习过程1.复习巩固1三角形全等的判定方法： 。2. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，BCDEFA求证：ABCDEF导入新课1 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形 2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1) 读句画图：画DAE30，在AD、AE上分别取 B、C，使 AB4cm， AC6cm连结BC，得ABC (2) 把你画的ABC剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？由此可得：判定三角形全等的另一种方法：边角边公理： 的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习例1 如图所示，已知：ABAC、ADAE、12求证：ABDACE1已知：如图，ABAC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：ABEACF例2如图所示，已知ADBC，ADCB，求证：ABDCDB。DCBA2已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDFDBCcAFE3.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 1123 三角形全等的判定（三）学习目标1掌握三角形全等的判定方法：“角边角”2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3能运用全等三角形的判定方法，解决简单的推理证明问题学习过程1. 复习：你学过的判定两个三角形全等的方法有： 导入新课 问题：某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，你认为他应该带哪块？猜想：如果两个三角形有两 和它们的 对应相等，那么这两个三角形 探究：上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1) 读句画图： 画BC6 cm，再画EBC=60，FCB=45， EB与FC交与点A，得ABC (2) 把你画的ABC剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？由此可得：判定三角形全等的一种方法：角边角公理： 的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”)：试一试ODCBA1如图，AB与CD相交与点O，A=B，AO=BO，因为 = ，所以AOCBOD，其理由是 。2已知，如图，AB、CD相交于点O，ACOBDO，CEDF。求证：COEDOF。FEODCBA例1 如图：D在AB上，E在AC上，ABAC，BC求证ADAE1如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 2已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF1124 三角形全等的判定（四）学习目标1掌握三角形全等的判定方法： “角角边”2经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程3能运用全等三角形的判定方法，解决简单的推理证明问题学习过程 复习：问题1：你学过的判定两个三角形全等的方法有： 、 、 .问题2：在“ASA”中，假如这条边不是两角的夹边，而是其中一个角的对边，那么这两个三角形还会全等吗？ 探究1： 在ABC和DEF中，AD，BE，BCEF，ABC与DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗？由此可得：判定三角形全等的一种方法：角角边公理： 的两个三角形全等(简称“角角边”或“ ”)探究2： 三角对应相等的两个三角形全等吗？ 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？1.如图，请你添加一个条件： ，可得ADBBCADOCBAB2如上右图，AB与CD交于点O，OAOC，ODOB，AOD_，根据_可得到AODCOB，从而可以得到AD_例1已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEF1 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求证：DE=DF2.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？DCBAE1124 三角形全等的判定（五）-直角三角形全等的判定学习目标1 掌握直角三角形全等的判定方法： “斜边、直角边”；2经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；3在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。学习过程 复习：1.你学过的判定两个三角形全等的方法有： 、 、 、 .2.如图，ABBE于C，DEBE于E， 若AB=DE，添一条件 ，可得ABCDEF，根据是 。 若A=D，添一条件 ，可得ABCDEF，根据是 。 若AB=DE， AC=DF，添一条件 ，可得ABCDEF，根据是 。导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (ac) ，作一个RtABC，使C=90，AB=c ，CB= a按步骤作图： 作MCN=90，在射线 CM上截取线段CB=a，以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A， 连结AB得ABC (2) 把你画的ABC剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？由此可得：判定直角三角形全等的一种方法：斜边直角边公理： 对应相等的两个直角三角形全等（可以简写为“斜边、直角边”）（二）巩固练习：1.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则 根据 2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等例1. 如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，求证：ABCD。课本P14练习1,23.如图，ACBC,BDAD,AC=BD.求证：BC=AD4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？小结至此，我们学习的三角形全等的判定方法： 1131 角的平分线的性质学习目标 1. 角平分线的画法：会用尺规作一个已知角的平分线 2应用三角形全等的知识，探索研究角平分线的性质与判定3. 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神学习过程提出问题，创设情境 问题1：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？ 导入新课探究：通过上述问题的研究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法OBA 如图，已知：AOB 求作：AOB的平分线作法：OBA练习1 画出下列角的平分线 OBA探究： 如图，OC是AOB的平分线，P是OC 上任意一点，PMOA于M，PNOB于NOBANMPC 试猜测PM与PN的关系，并证明。 由此得到角的平分线的性质定理：角的平分线上的点 相等。练习2 课本P21的思考问题2：角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 探究： 如图，P是AOB的内部的一点， PMOA于M，PNOB于N，且PM=PN求证：OBANMP OP是AOB的平分线， 由此得到：角的内部 的点在角的平分线上。注：这就是角平分线的判定定理，与角的平分线的性质定理是互逆的例1、如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等练习3 如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OBOC，求证：AO平分BAC.全等三角形知识点归纳与复习一 知识点1 全等形的定义及全等三角形的性质1如图1，图中两个三角形全等，且A=D，AB与DE是对应边，则下列书写规范的是( ) AABCDEFBABCDFEFECBDA图1FECBA图2图3CBACDEFDACBDEF2如图2，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么BAE等于 ( ) AACBBBAFCFDCAF3已知ABCEFG，有B=70，E=60，则C=（ ）A 60 B 70 C 50 D 654一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_5已知ABCDEF，DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=_，BC=_，AC=_6ABC中，ABC432，且ABCDEF，则E_7如图3，在正方形网格上有一个ABC在网格中作一个与它全等的三角形；如每一个小正方形的边长为1，则ABC的面积是 8仿照例题：沿虚线，画出三种不同的图案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形例 知识点2 全等三角形的判定方法9判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_、_、_、_、_10（2008天门）如图4，已知AECF，AC，要使ADFCBE，还需添加一个条件_(只需写一个)，其判定的根据是 11如图5，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，AD=AE，B=C，则可得 ，其判定的根据是 12如图7，BE，CD是ABC的高，且BDEC，判定BCDCBE的根据是_ADECB图7图5FEDCBA图413下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ） A已知两边和夹角 B已知两角和夹边 C已知两边和其中一边的对角 D已知三边14如图8,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带_去配. ( )ADCB图10DAECB图9FG A B C D和图815已知：如图9，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，则图中共有全等三角形（ ）A5对 B4对 C3对 D2对16在ABC和DEF中， AB=DE，B=E，补充条件后仍不一定能保证ABCDEF, 则补充的这个条件是 ( ) ABC=EF BA=D CAC=DF DC=F 知识点3 角平分线的性质与判定17如图10，ABC中，C90，AD平分BAC，AB5，CD2，则ABD的面积是_EDCBA图13DECBA图1118如图11，BAC56，PDAB，PEAC，PDPE，则BAP=_P图1219如图12，三条公路两两相交现计划修建一个车站，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地点有 个20如图13，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，则DEB的周长为 知识点4 全等三角形性质与判定的综合应用21.（2008黄石）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CFABABCDEF求证：AD=CF22如图：A、E、F、B四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：ACFBDE23如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC24如图，在一小水库的两侧有A、B两点，A、B间的距离不能直接测得，请用自己学过的知识或方法设计测量方案，测出A、B两点的距离（说明设计方案及理由，并画出草图）。BA25.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明ABC已知：求证：证明：26在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.全等三角形知识点归纳与复习二一、知识梳理1、_ 的两个三角形全等；2、全等三角形的对应边_;对应角_ ;3、证明全等三角形的基本思路(1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角4、角平分线的性质：_ 用法：_;_;_ QD=QE5、角平分线的判定：_ 用法：_;_;_ 点Q在AOB的平分线上二、基础过关1下列条件能判断ABC和DEF全等的是（ ） AAB=DE，AC=DF，B=E BA=D，C=F，AC=EF CA=F，B=E，AC=DE DAC=DF，BC=DE，C=D2在ABC和DEF中，如果C=D，B=E，要证这两个三角形全等，还需要的条件是（ ） AAB=ED BAB=FD CAC=DF DA=F3在ABC和ABC中，AB=AB，AC=AC，要证ABCABC，有以下四种思路证明： BC=BC； A=A； B=B； C=C，其中正确的思路有（ ） A B C DABCD三、综合提高1如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF2如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。3如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF4如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由全等三角形训练题一1 如图，在ABC与DEF中，如果AB=DE，AC=DF,BE=CF，求证：ABCDEF2，.如图，已知AC