高考数学一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.3 平面向量的数量积与平面向量的应用课件 文 北师大版.ppt

5 3平面向量的数量积与平面向量的应用 2 知识梳理 双基自测 自测点评 1 两向量的夹角与垂直 1 夹角 已知两个非零向量a和b 如上图 作 b 则 aob 0 180 叫向量a与b的夹角 范围 向量a与b的夹角的范围是0 180 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 垂直 如果a与b的夹角是90 则称a与b垂直 记作a b 2 射影的概念 b cos 叫向量b在a方向上的射影 3 知识梳理 双基自测 自测点评 3 向量的数量积 1 定义 已知两个向量a与b 它们的夹角为 则数量 a b cos 叫a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 由定义可知零向量与任一向量的数量积为0 即0 a 0 2 数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的射影 b cos 的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上的射影 a cos 的乘积 4 知识梳理 双基自测 自测点评 4 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 1 数量积 a b a b cos x1x2 y1y2 5 已知两非零向量a与b a b a b 0 x1x2 y1y2 0 a b a b a b 6 a b a b 当且仅当a b时等号成立 即 5 知识梳理 双基自测 自测点评 5 平面向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 结合律 3 a b c a c b c 分配律 6 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 知识梳理 双基自测 自测点评 7 向量在平面几何中的应用 8 向量在三角函数中的应用对于向量与三角函数结合的题目 其解题思路是用向量运算进行转化 化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题 知识梳理 双基自测 自测点评 9 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 主要是以向量的数量积给出一种条件 通过向量转化 进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答 10 向量在物理中的应用物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解 合成与向量的加减法相似 因此可以用向量的知识来解决某些物理问题 物理学中的功是一个标量 是力f与位移s的数量积 即w f s cos 为f与s的夹角 2 8 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 自测点评 1 下列结论正确的画 错误的画 1 一个向量在另一个向量方向上的投影为数量 且有正有负 2 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 3 若a b 0 则必有a b 4 a b c a b c 5 若a b a c a 0 则b c 答案 9 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 2 已知向量a 1 m b 3 2 且 a b b 则m a 8b 6c 6d 8 答案 解析 10 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 a 30 b 45 c 60 d 120 答案 解析 11 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 4 已知 a 2 b 4 a b 4 则a与b的夹角 答案 解析 12 知识梳理 双基自测 自测点评 2 3 4 1 5 5 已知a 2 1 b 3 若a与b的夹角为钝角 则 的取值范围是 答案 解析 13 知识梳理 双基自测 自测点评 1 因为 a b cos 和 b cos 都是数量 所以a b和b在a方向上的投影都是一个数量 而不是向量 2 对于两个非零向量a与b 由于当 0 时 a b 0 所以a b 0是两个向量a b夹角为锐角的必要而不充分条件 a b 0也不能推出a 0或b 0 因为a b 0时 有可能a b 3 在实数运算中 若a b r 则 ab a b 若a b a c a 0 则b c 但对于向量a b却有 a b a b 若a b a c a 0 则b c不一定成立 原因是a b a b cos 当cos 0时 b与c不一定相等 4 向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 14 考点1 考点2 考点3 答案 15 考点1 考点2 考点3 16 考点1 考点2 考点3 17 考点1 考点2 考点3 解题心得1 求两个向量的数量积有三种方法 1 当易知向量的模和夹角时 利用定义求解 即a b a b cos 其中 是向量a与b的夹角 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 3 利用数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简 但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 18 考点1 考点2 考点3 对点训练1 1 2016天津 文7 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得 2 已知a 1 2 2a b 3 1 则a b a 2b 3c 4d 5 3 已知两个单位向量e1 e2的夹角为 若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 答案 19 考点1 考点2 考点3 20 考点1 考点2 考点3 21 考点1 考点2 考点3 22 考点1 考点2 考点3 答案 23 考点1 考点2 考点3 24 考点1 考点2 考点3 25 考点1 考点2 考点3 解题心得1 求向量的模的方法 的运算转化为数量积运算 2 几何法 利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 求向量模的最值 或范围 的方法 1 求函数最值法 把所求向量的模表示成某个变量的函数再求 2 数形结合法 弄清所求的模表示的几何意义 结合动点表示的图形求解 26 考点1 考点2 考点3 答案 27 考点1 考点2 考点3 28 考点1 考点2 考点3 29 考点1 考点2 考点3 答案 30 考点1 考点2 考点3 31 考点1 考点2 考点3 答案 解析 32 考点1 考点2 考点3 33 考点1 考点2 考点3 34 考点1 考点2 考点3 35 考点1 考点2 考点3 答案 36 考点1 考点2 考点3 37 考点1 考点2 考点3 解题心得1 数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角 数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角 数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角 2 若a b为非零向量 则a b a b 0 3 解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 4 向量在解析几何中的作用 1 载体作用 解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用数量积与共线定理可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较可行的方法 38 考点1 考点2 考点3 2 已知平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m r 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m 3 2016山东昌乐二中模拟 已知向量m 2cos x 1 n sin x cos x 2 0 函数f x m n 3 若函数f x 的图像的两个相邻 b 2 39 考点1 考点2 考点3 a 40 考点1 考点2 考点3 41 考点1 考点2 考点3 42 考点1 考点2 考点3 43 考点1 考点2 考点3 44 考点1 考点2 考点3 1 平面向量的坐标表示与向量表示的比较 已知a x1 y1 b x2 y2 是向量a与b的夹角 45 考点1 考点2 考点3 2 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 4 解决平面向量与三角函数的交汇问题 关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件 将其转化为三角函数中的有关问题解决 5 解决向量与解析几何的综合问题 可将向量用点的坐标表示 利用向量运算及性质转化为解析几何问题 6 向量中有关最值问题的求解思路 一是 形化 利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题 二是 数化 利用平面向量的坐标运算 把问题转化为代数中的函数最值 不等式的解集 方程有解等问题 46 考点1 考点2 考点3 1 根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正 负进行转化时 不要遗漏共线的情况 2 a b a b 当且仅当a b时等号成立 3 注意向量夹角和三角形内角的关系 47 思想方法 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用典例1设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为的最大值等于 答案2 48 典例2若平面