高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3 抛物线及其性质课件.ppt

10 3抛物线及其性质 高考数学 考点一抛物线的定义和标准方程1 抛物线的定义到一定点f和定直线l f l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点叫做抛物线的焦点 定直线叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程焦点在x轴上 标准方程为y2 2px p 0 焦点在y轴上 标准方程为x2 2py p 0 要根据一次项来判断焦点的位置 若x为一次项 则焦点在x轴上 若y为一次项 则焦点在y轴上 一次项系数大于0时 焦点在正半轴上 系数小于0时 焦点在负半轴上 知识清单 考点二抛物线的几何性质1 双基表 2 点p x0 y0 和抛物线y2 2px p 0 的关系 1 p在抛物线内 含焦点 2px0 3 焦点弦 f为抛物线的焦点 ab为抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 a x1 y1 b x2 y2 1 x1x2 2 y1y2 p2 3 弦长l x1 x2 p x1 x2 2 p 即当x1 x2时 弦长最短 为2p 4 弦长l 为ab的倾斜角 5 6 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 7 焦点f对a b在准线上射影的张角为90 4 ab为抛物线y2 2px p 0 的弦 a x1 y1 b x2 y2 弦中点m x0 y0 设弦所在直线斜率存在 为k k 0 1 弦长l x1 x2 y1 y2 2 k 3 直线ab的方程 y y0 x x0 4 线段ab的垂直平分线方程 y y0 x x0 抛物线的定义和标准方程的解题策略1 抛物线定义的应用抛物线是到定点和定直线的距离相等的点 点不在定直线上 的轨迹 利用该定义 可有效地实现抛物线上到焦点和到准线的距离的转化 有利于问题的解决 2 抛物线标准方程的求法 1 定义法 根据条件确定动点满足的几何特征 从而确定p的值 得到抛物线的标准方程 2 待定系数法 由焦点位置设出标准方程 确定p的值 注意抛物线标准方程有四种形式 从简单化角度出发 焦点在x轴上 设为y2 ax a 0 焦点在y轴上 设为x2 ay a 0 方法技巧 例1 2017浙江温州十校期末联考 14 若 oab的垂心h 1 0 恰好为抛物线y2 2px的焦点 o为坐标原点 点a b在该抛物线上 则此抛物线的方程是 oab的面积是 解析由h 1 0 为抛物线的焦点 得 1 所以p 2 所以抛物线的方程是y2 4x 由已知条件可知a b关于x轴对称 可设a b y0 0且y0 2 由ah ob 得 1 解得y0 2 故 oab的面积s 4 5 10 答案y2 4x 10 评析本题考查抛物线的定义和标准方程 抛物线的对称性 三角形垂心的性质 面积的计算等基础知识 考查推理运算能力 抛物线的几何性质的解题策略1 焦半径 抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 到焦点f的距离 pf x0 2 通径 过焦点f且与x轴垂直的弦pq叫通径 pq 2p 是所有焦点弦中最短的 3 焦点弦的性质 斜率存在时 过点f的直线方程为y k 斜率不存在时为通径 一般焦点弦长通过焦半径公式来计算 例2 2017浙江金华十校调研 15 已知抛物线y2 4x的焦点为f 过焦点的直线与抛物线交于a b两点 则直线的斜率为时 af 4 bf 取得最小值 解题导引设直线ab方程 x ty 1 联立直线与抛物线方程消去x 由韦达定理和焦点弦公式用a b两点的纵坐标表示 af 4 bf 利用基本不等式得最小值 由等号成立的条件得a b两点的纵坐标 计算直线斜率得结论 解析设a x1 y1 b x2 y2 直线ab x ty 1 代入y2 4x 得y2 4ty 4 0 所以y1 y2 4t y1y2 4 af 4 bf x1 1 4 x2 1 x1 4x2 5 10 t y1 4y2 10 y1 y2 y1 4y2 10 4 5y1y2 10 2 y1 2y2 5y1y2 10 y1y2 1 当且仅当 4 即y1 2y2 即或时 取等号 此时4t 所以 2 故直线ab的斜率为 2 答案 2 评析本题考查抛物线的焦半径 直线与抛物线的位置关系 韦达定理 直线斜率 利用基本不等式求最值等知识 考查推理运算能力和化归与转化思想 与抛物线有关的综合问题的解题策略与抛物线有关的综合问题主要有以下几个方面 1 求直线与抛物线的相交弦长 一般是联立直线与抛物线方程 利用韦达定理和弦长公式 ab x1 x2 y1 y2 k为直线的斜率 且k 0 进行求解 若求焦点弦长 则利用焦半径公式和韦达定理 如果是求弦长的取值范围或最值 则要利用判别式大于零 得到相关参变量的取值范围 2 求弦所在的直线方程 如中点弦 相交弦等 弦的中点轨迹等 往往利用韦达定理和 点差法 但要注意判别式必须大于零 3 与直线斜率综合 一般由斜率公式和韦达定理进行转化 4 求抛物线内接三角形 四边形的面积 或面积的取值范围 最值 一 般求出一条弦的长和另一点到这条弦的距离 得三角形面积 四边形一般分为两个三角形 若是求面积的取值范围或最值 往往把面积表示为某个参量 斜率 截距等 的函数 转化为求函数的值域或最值 例3 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 21 设斜率不为零的直线l与抛物线x2 4y相交于a b两点 与圆c x2 y 3 2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 1 求r的取值范围 2 求 acb的面积s的最大值 解题导引 1 由kab kcm 1和中点坐标公式 得点m的纵坐标 由点m在抛物线内得点m的横坐标的平方的取值范围 由两点间的距离公式得结论 2 联立直线与抛物线方程消去y 由韦达定理和弦长公式把 ab 表示成关于m的函数 用r表示m 把s表示成关于r的函数 换元 把s转化为关于x的函数 利用导数得s的最大值 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 m m n 因为直线l的斜率不为零 所以m 0 kab kcm 由kcm kab 1 得 1 得n 1 又点m在抛物线内部 则有m2 4n 4 所以0 m2 4 所以r2 m2 1 3 2 m2 4 4 8 故r的取值范围是 2 2 2 由 1 知 直线l的方程为y x m 1 与抛物线方程联立得x2 2mx 2m2 4 0 所以所以 ab x1 x2 故s ab r r 又m2 r2 4 所以s r2 其中4 r2 8 令x 则0 x 2 故s f x x 8 x2 x3 4x 0 x 2