2.10 函数与方程.doc

2.10 函数与方程(学案)姓名: 温峰 单位: 平邑二中 联系电话:316238【考点分布】函数与方程【考试要求】1结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的关系，判定一元二次方程根的存在性与根的个数；2函数的零点与方程根的关系. 【基础知识】1.函数零点的定义：对于函数，我们把使 叫做函数的零点。即函数的零点就是方程的实数根，亦即 。2.方程的实数根函数的图象与 有交点函数有 _.3.函数零点的求法：代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。4.函数零点的判断一般地，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得 _ ，这个也就是的根。我们把这一结论称为零点存在定理.5. 二次函数的零点下表是二次函数的图象与零点的关系，时依此类推。二次函数的图象与轴的交点无交点零点个数两个零点一个零点无零点6.二分法的定义：对于在区间上连续不断的一条曲线且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。7.给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算，若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点；若，则令（此时零点；（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值或；否则重复（2）（4）. 【感悟】【基础练习】1.函数零点说在区间大致是（ ）. （A） (B) (C)和 (D) 2.若函数没零点,则实数a的取值范围是( ).（A）a1 (C) (D) 3二次函数的部分对应之如下表:X-3-2-101234Y60-4-6-6-406则使自变量x取值范围是_.4.三次方程在下列哪些连续整数之间没有根（ ）.（A）-2与-1之间 (B)-1与0之间 (C)0与1之间 (D)1与2之间 5.二次函数中，则函数零的个数是（ ）.（A）1个 (B)2个 (C)0个 (D)无法确定 6.已知方程的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是_.【典型例题】题型一：例1求下列函数的零点.变式练习：求函数的零点题型二：用二分法求方程的近似解例2求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（误差不超过0.1 ）变式练习：2.判断函数y=x3-x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).题型三 根的存在性定理的应用例3 若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求a的取值范围.变式练习 3.若关于x的方程3x2-5x+a=0的两根一个大于1,另一个小于1,则a的取值范围是_. 题型四 函数零点的综合应用例4 对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0).（1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点,求a的取值范围.（2）若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.变式练习 (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.1. 方程的实数解所在的区间是（ ）（A） (B) (C) (D)2. 下列函数图像与X轴均有公共点，其中能用二分法零点的是（A）(B) （C） (D)3. 方程的根的情况为( )（A）仅有一根 (B)有两正跟 (C)有一正跟和一负根 (D)有两负根4. 若函数有一个零点为2，则方程的根是（ ）（A）0，2 (B)0， (C)0， (D)2，5. 方程在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）（A） (B) (C) (D)6. 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数至少有 个7. 已知全集，集合，则集合中的元素个数为 个8. 已知是方程的根，是方程的根，则 9. 函数，下列结论正确的有那些？（1）在（1，2）内有一根。（2）在(，)内有一根；（3）没有大于的实根（4）没有小于2的实根；（5）有四个实数根； 2.10 函数与方程（教案) 姓名: 温峰 单位: 平邑二中 联系电话:3162384【教学目标】1结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的关系，判定一元二次方程根的存在性与根的个数2函数的零点与方程根的关系【重点】函数的零点与方程根的关系【难点】函数的零点与方程根的关系 【基础知识】 1 函数零点的定义：对于函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点。即函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。2. 方程的实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。3. 函数零点的求法：代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。4. 函数零点的判断一般地，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根。我们把这一结论称为零点存在定理。5. 二次函数的零点下表是二次函数的图象与零点的关系，时依此类推。二次函数的图象与轴的交点无交点零点个数两个零点一个零点无零点6. 二分法的定义：对于在区间上连续不断的一条曲线且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。7. 给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精确度；（2）求区间的中点；（3）计算，若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点；若，则令（此时零点；（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值或；否则重复（2）（4）。【基础练习】B,B,C,B a1 【典型例题】题型一：例1 求下列函数的零点. .【审题要津】 根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根.【题后反思】 :求函数的零点就是求相应方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法，求出方程的根，即得到函数的零点.变式练习：求函数的零点题型二：用二分法求方程的近似解例2 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（误差不超过0.1 ）.【审题要津】：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间m,n，且f(m)f(n)0,如计算出f(0)=-60，f(1)=-60,所以可取区间1,2作为计算的初始区间（当然选取（0，2）也是可以的）.解：f(1)=-60,存在x(1,2),使f(x)=0用二分法逐次计算,列表如下端点或中点坐标计算端点或中点的函数值取区间 a=1,b=2f(1)=-6,f(2)=4(1,2)f(1.5)=-2.6250(1.5,1.75)f(1.625)=-1.32070(1.625,1.75)f(1.6875)=-0.56180(1.6875,1.75)f(1.71875)=-0.17070(1.71875,1.734375)最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，所求的正数零点是1.7.【题后反思】学后反思 用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.变式练习：2.判断函数y=x3-x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).解析:因为f(1)=-10,且函数y=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间1,1.5内有零点.取区间1,1.5的中点x0=1.25,由f(1.25)-0.30,得f(1.25) f(1.5)0,得(1.25) f(1.375)0,所以零点在区间1.25,1.375;同理可得,函数零点在区间1.3125,1.375内;函数零点在区间1.3125,1.34375内.由于1.3125 1.3且1.34375 1.3,所以函数y=x3-x-1在区间1,1.5内的一个近似零点为1.3.题型三 根的存在性定理的应用例3 若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求a的取值范围.分析 方程在(0,1)内恰有一解,即函数f(x)= ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点.解 由题意,设f(x)=ax2-x-1,则f(x)在(0,1)内恰有一个零点,所以f(0)f(1)0,即-1(a-2)2.学后反思(1)对于函数y=f(x),只要有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)本题属于简单的方程根的分布问题. 变式练习3.若关于x的方程3x2-5x+a=0的两根一个大于1,另一个小于1,则a的取值范围是_. 解析:设f(x)=3x2-5x+a,则f(1)0,即-2+a0,a2.答案:a2题型四 函数零点的综合应用【例4】(12分)对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0).（1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点,求a的取值范围.（2）若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.分析：函数的不动点，即方程f(x)=x的根，函数有两个相异的不动点，即方程f(x)=x有两个不相等的实根.学后反思 函数的不动点问题是近几年来二次函数命题的一个热点，所谓不动点本质是二次函数的图象与直线y=x的交点的横坐标.变式练习 (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围；(2)