高考数学一轮复习 第二十一章 计数原理 21.1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第二十一章计数原理 21 1分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列与组合 2016江苏 23 10分 1 求7 4的值 2 设m n n n m 求证 m 1 m 2 m 3 n n 1 m 1 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 解析 1 7 4 7 4 0 2 证明 当n m时 结论显然成立 当n m时 k 1 m 1 m 1 k m 1 m 2 n 又因为 所以 k 1 m 1 k m 1 m 2 n 因此 m 1 m 2 m 3 n 1 m 1 m 2 m 3 n 1 m 1 m 1 m 1 考点分类加法计数原理 分步乘法计数原理 排列与组合1 2017山东理改编 8 5分 从分别标有1 2 9的9张卡片中不放回地随机抽取2次 每次抽取1张 则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题主要考查古典概型 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n 9 8 72 抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m 40 所以所求概率p 方法技巧古典概型中基本事件个数的探求方法 枚举法 适合给定的基本事件个数较少且易一一列举 树状图法 适用于对较为复杂的问题中的基本事件的探求 注意对有序问题的基本事件的探求 排列 组合法 在求一些较为复杂的基本事件时 可利用排列 组合知识求出基本事件个数 2 2017课标全国 理改编 6 5分 安排3名志愿者完成4项工作 每人至少完成1项 每项工作由1人完成 则不同的安排方式共有种 答案36 解析本题主要考查排列 组合 第一步 将4项工作分成3组 共有种分法 第二步 将3组工作分配给3名志愿者 共有种分配方法 故共有 36种安排方式 方法总结分组 分配问题分组 分配问题是排列组合的综合问题 解题思想是先分组后分配 1 分组问题属于 组合 问题 常见的分组方法有三种 完全均匀分组 每组元素的个数都相等 部分均匀分组 应注意不要重复 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 2 分配问题属于 排列 问题 常见的分配方法有三种 相同元素的分配问题 常用 挡板法 不同元素的分配问题 利用分步乘法计数原理 先分组 后分配 有限制条件的分配问题 采用分类法求解 3 2017浙江 16 5分 从6男2女共8名学生中选出队长1人 副队长1人 普通队员2人组成4人服务队 要求服务队中至少有1名女生 共有种不同的选法 用数字作答 答案660 解析本题考查计数原理 排列 组合 排列数 组合数计算 利用间接法解决 至少 类的组合问题 考查推理运算能力 从8人中选出4人 且至少有1名女学生的选法种数为 55 从4人中选出队长1人 副队长1人 普通队员2人的选法为 12种 故总共有55 12 660种选法 4 2017天津理 14 5分 用数字1 2 3 4 5 6 7 8 9组成没有重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样的四位数一共有个 用数字作答 答案1080 解析本题主要考查计数原理及排列组合的应用 1 有一个数字是偶数的四位数有 960个 2 没有偶数的四位数有 120个 故这样的四位数一共有960 120 1080个 思路分析分两种情况 有一个数字是偶数的四位数 没有偶数的四位数 5 2016课标全国 理改编 5 5分 如图 小明从街道的e处出发 先到f处与小红会合 再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 答案18 解析分两步 第一步 从e f 有6条可以选择的最短路径 第二步 从f g 有3条可以选择的最短路径 由分步乘法计数原理可知有6 3 18条可以选择的最短路径 6 2016课标全国 理改编 12 5分 定义 规范01数列 an 如下 an 共有2m项 其中m项为0 m项为1 且对任意k 2m a1 a2 ak中0的个数不少于1的个数 若m 4 则不同的 规范01数列 共有 答案14 解析当m 4时 数列 an 共有8项 其中4项为0 4项为1 要满足对任意k 8 a1 a2 ak中0的个数不少于1的个数 则必有a1 0 a8 1 a2可为0 也可为1 1 当a2 0时 分以下3种情况 若a3 0 则a4 a5 a6 a7中任意一个为0均可 则有 4种情况 若a3 1 a4 0 则a5 a6 a7中任意一个为0均可 有 3种情况 若a3 1 a4 1 则a5必为0 a6 a7中任一个为0均可 有 2种情况 2 当a2 1时 必有a3 0 分以下2种情况 若a4 0 则a5 a6 a7中任一个为0均可 有 3种情况 若a4 1 则a5必为0 a6 a7中任一个为0均可 有 2种情况 综上所述 不同的 规范01数列 共有4 3 2 3 2 14个 7 2016四川理改编 4 5分 用数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 答案72 解析奇数的个数为 72 8 2015广东 12 5分 某高三毕业班有40人 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 那么全班共写了条毕业留言 用数字作答 答案1560 解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 且全班共有40人 全班共写了40 39 1560条毕业留言 9 2015四川改编 6 5分 用数字0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中比40000大的偶数共有个 答案120 解析数字0 1 2 3 4 5中仅有0 2 4三个偶数 比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数 其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾 有2 48个 同理 以5开头的有3 72个 于是共有48 72 120个 评析本题考查了分类与分步计数原理 排列数的知识 考查学生分析问题 解决问题的能力 10 2014四川改编 6 5分 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有种 答案216 解析若最左端排甲 其他位置共有 120种排法 若最左端排乙 最右端共有4种排法 其余4个位置有 24种排法 所以共有120 4 24 216种排法 11 2014重庆改编 9 5分 某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 答案120 解析先不考虑小品类节目是否相邻 保证歌舞类节目不相邻的排法共有 144种 再剔除小品类节目相邻的情况 共有 24种 于是符合题意的排法共有144 24 120种 12 2013浙江理 14 4分 将a b c d e f六个字母排成一排 且a b均在c的同侧 则不同的排法共有种 用数字作答 答案480 解析从左往右看 若c排在第1位 共有排法 120种 若c排在第2位 共有排法 72种 若c排在第3位 则a b可排c的左侧或右侧 共有排法 48种 若c排在第4 5 6位时 其排法数与排在第3 2 1位相同 故共有排法2 120 72 48 480种 1 2014大纲全国改编 5 5分 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有种 c组教师专用题组 答案75 解析从6名男医生中选出2名有种选法 从5名女医生中选出1名有种选法 由分步乘法计数原理得不同的选法共有 75种 2 2014北京 13 5分 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 答案36 解析记另外两件产品为d e a b相邻视为一个元素 先与d e排列 有种方法 再将c插入 仅有3个空位可选 共有 2 6 3 36种不同的摆法 3 2013北京理 12 5分 将序号分别为1 2 3 4 5的5张参观券全部分给4人 每人至少1张 如果分给同一人的2张参观券连号 那么不同的分法种数是 答案96 解析5张参观券分成4份 1份2张 另外3份各1张 且2张参观券连号 则有4种分法 把这4份参观券分给4人 则不同的分法种数是4 96 评析本题主要考查排列组合问题 5张参观券分成4份 且2张参观券连号的分法有4种 是解题的关键 审题不清楚是学生失分的主要原因 4 2013重庆理 13 5分 从3名骨科 4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组 则骨科 脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 用数字作答 答案590 解析按每科选派人数分3 1 1和2 2 1两类 当选派人数为3 1 1时 有3类 共有 200 种 当选派人数为2 2 1时 有3类 共有 390 种 故共有590种 评析本题考查了组合问题 恰当分类 合理分步 不重不漏是解决此问题的关键 5 2014安徽改编 8 5分 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有对 答案48 解析利用正方体中两个独立的正四面体解题 如图 它们的棱是原正方体的12条面对角线 一个正四面体中两条棱成60 角的有 3 对 两个正四面体有 3 2对 又正方体的面对角线平行成对 所以共有 3 2 2 48对 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 35分钟分值 45分 一 填空题 每题5分 共35分 1 2017江苏泰州期中 将数字1 2 3 4 5 6按第一行1个数 第二行2个数 第三行3个数的形式随机排列 设ni i 1 2 3 表示第i行中最大的数 则满足n1 n2 n3的所有排列的种数是 用数字作答 答案240 解析由已知得数字6一定在第三行 第三行的排法种数为 60 剩余的三个数字中最大的一定排在第二行 第二行的排法种数为 4 由分步计数原理可得所有排列的种数为240 2 2017江苏苏州高三教学情况调研 从集合u a b c d 的子集中选出4个不同的子集 需同时满足以下两个条件 1 u都要选出 2 对选出的任意两个子集a和b 必有a b或a b 那么 共有种不同的选法 答案36 解析将选法分成两类 第一类 其中一个是含单元素的集合 则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素 有 6 24 种 选法 第二类 其中一个是含两个元素的集合 则另一个是含有这两个元素的三元素集合 有 2 12 种 选法 故共有24 12 36 种 选法 3 2017江苏南通期中 20个完全相同的小球放入1号 2号 3号的三个盒子中 要求每个盒内的球数不小于它的编号数 则不同的放法种数为 答案120 解析先在编号为2 3的盒内分别放入1个球 2个球 还剩17个小球 三个盒内每个至少再放入1个 将17个球排成一排 有16个空隙 插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可 共有 120 种 放法 4 2017江苏扬州期末 在8张奖券中有一 二 三等奖各1张 其余5张无奖 将这8张奖券分配给4个人 每人2张 不同的获奖情况有种 用数字作答 答案60 解析不同的获奖情况可分为以下两类 1 有一个人获得两张有奖奖券 另外还有一个人获得一张有奖奖券 有 36种获奖情况 2 有三个人各获得一张有奖奖券 有 24种获奖情况 故不同的获奖情况有36 24 60种 5 2015南京五校模拟 某一乒乓球队里有男队员5名 女队员4名 若从中选取男 女队员各一名组成混合双打 则共有种不同的选法 答案20 解析 20 种 6 2015江苏徐州五校模拟 用0 1 9十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 答案252 解析由分步乘法计数原理知 用0 1 9十个数字组成三位数 可有重复数字 的个数为9 10 10 900 组成没有重复数字的三位数的个数为9 9 8 648 则组成有重复数字的三位数的个数为900 648 252 7 2015江苏常州五校模拟 a b c d e五人站成一排 如果b必须站在a的右边 a b可以不相邻 那么不同的排法共有种 答案60 解析可先选三个位置排c d e三人 共有种排法 剩余两个位置排a b两人 只有一种排法 由分步乘法计数原理知 有 60种排法 二 解答题 共10分 8 2016江苏第一次大联考 设数列 an 按三角形进行排列 如图 第一层一个数a1 第二层两个数a2和a3 第三层三个数a4 a5 a6 以此类推 且每个数字等于它下一层的左右两个数字之和 如a1 a2 a3 a2 a4 a5 a3 a5 a6 1 若第四层四个数为0或1 a1为奇数 则第四层四个数共有多少种不同的取法 2 若第十一层十一个数为0或1 a1为5的倍数 则第十一层十一个数共有多少种不同的取法 a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 解析 1 设第四层四个数字依次为x1 x2 x3 x4 则第三层三个数字依次为x1 x2 x2 x3 x3 x4 第二层两个数字依次为x1 2x2 x3 x2 2x3 x4 所以a1 x1 3x2 3x3 x4 因为a1为奇数 所以x1 x2 x3 x4为奇数 则x1 x2 x3 x4四个数取三个1或一个1 即共有 8种不同的取法 2 设第十一层十一个数字依次为x1 x2 x11 第十层十个数字依次为x1 x2 x2 x3 x10 x11 第九层九个数字依次为x1 2x2 x3 x2 2x3 x4 x9 2x10 x11 以此类推 可得a1 x1 x2 x3 x10 x11 因为 10 45 120 210 252 所以只要x1 252x5 x11是5的倍数 所以x1 x5 x11都取0 而其余八个可以取0或1 这样共有28 256种不同取法 一 填空题 每题5分 共10分 1 2017江苏扬州期末 如图 用四种不同颜色给图中的a b c d e f六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有种 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 20分钟分值 20分 答案264 解析先涂a d e三个点 共有4 3 2