高考数学一轮复习 第三章 导数 3.2 导数的应用课件.ppt

3 2导数的应用 高考数学 考点一导数与单调性1 设函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 为增函数 若f x 0 或f x 0 是f x 在某一区间上为增函数 或减函数 的充分不必要条件 知识清单 考点二导数与极值 最值1 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 当函数f x 在x x0处连续时 判断f x0 是极大 小 值的方法 1 如果x0 x x0时有f x x0时有f x 0 则f x0 是 极小值 3 函数的最大值与最小值设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 先求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是 最大值 最小的一 个是 最小值 4 可导函数的极值点必须是导数为零的点 但导数为零的点不一定是极值点 如f x x3在x 0处的导数f 0 0 但x 0不是它的极值点 也就是说 可导函数在x x0处的导数f x0 0是该函数在x x0处取得极值的必要不充分条件 特别地 函数的不可导点也可能是极值点 5 函数的极值与函数的最值的区别 函数的极值是一个局部性概念 而最值是某个区间的整体性概念 函数的极值可以有多个 而函数的最大 小 值最多只有一个 6 极值点不一定是最值点 最值点也不一定是极值点 但如果连续函数在开区间 a b 内只有一个极值点 则极大值就是最大值 极小值就是最小值 函数的单调性的解题策略f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排除在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处有f x0 0 只要这样的点不充满所给区间的任何一个子区间即可 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围即为所求 方法技巧 例1 2017浙江湖州期末调研 20 已知a 2 函数f x min x3 x a x 1 1 若a 2 求f x 的单调递减区间 2 求函数f x 在 1 1 上的最大值 解题导引 1 写成分段函数 利用导函数小于零得单调减区间 2 由条件得f x x3 x 利用导数得f x 的单调性 利用单调性得f x 的最大值 解析 1 若a 2 则x3 x a x 1 x3 x 2 x 1 x 1 x2 x 2 x 1 2 x 2 所以f x 3分 当x 2时 f x 3x2 1 3 由f x 2时 f x 2x 2在区间 2 上单调递增 所以 f x 的单调递减区间是 7分 2 令g x x3 x a x 1 x 1 x2 x a 9分 当 1 x 1时 x 1 0 又a 2 所以x2 x a 0 故g x 0 所以f x x3 x 13分 由f x 3x2 1 0 得x 所以函数f x 在区间和上单调递增 在区间上单调递减 所以f x max max max 15分 评析本题考查分段函数 利用导数判断函数的单调性 求函数的最值 考查逻辑推理能力和化归与转化思想 函数的极值和最值的解题策略在闭区间 a b 上连续的函数f x 的最大 小 值 是开区间 a b 内所有极大 小 值与端点处函数值f a f b 中的最大 小 值 函数的最大 小 值与函数的单调性密不可分 研究函数的最值 一般先研究导函数的符号 进而确定函数的单调性 最后再求函数的最值 例2 2017浙江台州调研卷 一模 20 已知函数f x x3 ax2 bx a b r 1 若函数f x 在 0 2 上存在两个极值点 求3a b的取值范围 2 当a 0 b 1时 求证 对任意的实数x 0 2 f x 2b 恒成立 解题导引 1 由导函数在区间 0 2 上有两个不同的零点 得关于a b的不等式组 由线性规划知识得结论 2 分b 0和 1 b 0讨论 利用导数判断函数的单调性 求函数 f x 在区间 0 2 上的最大值 证明 f x max 2b 解析 1 f x x2 ax b 由已知可得f x 0在 0 2 上存在两个不同的零点 故有即令z 3a b 画出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分所示 由图可知 8 z 0 故3a b的取值范围为 8 0 2 证明 当a 0 b 1时 f x x3 bx b 1 x 0 2 所以f x x2 b 当b 0时 f x 0在 0 2 上恒成立 则f x 在 0 2 上单调递增 故0 f 0 f x f 2 2b 所以 f x 2b 当 1 b0 f b 0 要证 f x 2b 只需证 b 2b 即证 b 3 4 因为 1 b 0 所以0 b 1 3 3 4 所以 b 3 4成立 综上所述 对任意的实数x 0 2 f x 2b 恒成立 评析本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 线性规划 利用单调性证明不等式 不等式恒成立等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 创新意识 考查分类与整合 化归与转化等数学思想 导数综合应用的解题策略1 不等式恒成立问题 任意性问题和存在性问题等 常转化为函数最值问题 2 证明不等式 研究函数零点 求相关参数的取值范围等问题 常常需要构造函数 例3 2017浙江吴越联盟测试 21 已知函数f x lnx 其中a为实常数 1 判断函数f x 的零点个数 2 若f x 在 0 上恒成立 求实数a的取值范围 e是自然对数的底数 解题导引 1 求出函数的导数 通过对a的讨论得出函数的单调区间 利用函数零点存在性定理判断零点的存在性与个数 结论 2 将不等式等价变形 转化为求含参的函数最值 得结论 解析 1 f x x 0 当a 0时 f x 在 0 上单调递增 若 a e 则f e lne 0 若 a e 则f a ln a ln a 1 lne 1 0 取m max e a 则有f m 0 f 1 a0 f 1 a 0 所以由函数零点存在性定理结合函数单调性知 函数f x 有唯一零点 当a 0时 f x 在区间 0 a 上单调递减 在区间 a 上单调递增 所以f x min f a lna 1 若lna 1 0 即a 则函数f x 有唯一零点 若lna 1 0 即a 则函数f x 无零点 若lna 10 且f a3 3lna 0 补证 设g t 3lnt 则g t 当t 时 g t g e2 3 0 证毕所以函数f x 有两个零点 综上所述 当a 时 f x 无零点 当0 a 时 f x 有两个零点 当a 0或a 时 f x 有唯一零点 2 问题转化为