热力学与统计物理(IMU) 之二(1.2-3).pdf

1 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 1 2 多粒子系的微观状态 Microscopic States of Many particle Systems 全同性 统计性质 经典极限全同性 统计性质 经典极限 统计物理统计物理 通过对大量粒子组成的系统之微观力学运动的研究 用统计平均方法获得的宏观性质 首先考虑如何描述大量粒子组成的多粒子系统 通过对大量粒子组成的系统之微观力学运动的研究 用统计平均方法获得的宏观性质 首先考虑如何描述大量粒子组成的多粒子系统 考 虑 单粒子态的量子力学描述 多粒子体系微观状态的描述 单粒子态的量子力学描述 多粒子体系微观状态的描述 涉及多粒子系统的统计模式问题涉及多粒子系统的统计模式问题 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 1 粒子的全同性1 粒子的全同性 Identity of ParticlesIdentity of Particles 大量粒子大量粒子 大量大量 全同全同 粒子 全同粒子 粒子 全同粒子 性质完全相同 我们无法用实验手段区别粒子本身 不同粒子只能用不同的运动状态来区分 经典全同粒子 原则上可以通过其状态分辨 可 性质完全相同 我们无法用实验手段区别粒子本身 不同粒子只能用不同的运动状态来区分 经典全同粒子 原则上可以通过其状态分辨 可 标号标号 同种粒子可以处在同样的单粒子态 真正不可分辨 同种粒子可以处在同样的单粒子态 真正不可分辨 全同性全同性 带来多粒子系统的带来多粒子系统的统计模式统计模式问题问题 经典力学经典力学 粒子坐标动量同时确定 相同的粒子不可能处于完全相同的运动状态 空间中同一点 坐标动量全同 粒子总可以分辨 量子力学量子力学 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 2 多粒子系的统计2 多粒子系的统计 Statistics of Many particle SystemsStatistics of Many particle Systems 量子论的全同性 量子论的全同性 性质相同的微观粒子不可分辨 处于相同量子态的粒子不能区分 性质相同的微观粒子不可分辨 处于相同量子态的粒子不能区分 问题 问题 在多粒子组成的体系中 是否可有多个粒子处于同一量子态 在多粒子组成的体系中 是否可有多个粒子处于同一量子态 答案 答案 不确定 有可有不可 根据 不确定 有可有不可 根据 可可 与与 不可不可 同时处于一态的特征将粒子分类 同时处于一态的特征将粒子分类 玻色子和费密子玻色子和费密子 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 玻色子 Bosons 玻色子 Bosons 遵从全同性原理 多粒子系中 可有任意多个粒子处于同一单粒子态 遵从全同性原理 多粒子系中 可有任意多个粒子处于同一单粒子态 固有物理特性 固有物理特性 自旋量子数为整数 如 光子 自旋量子数为1 氢 氦等原子 某些元激发 自旋量子数为整数 如 光子 自旋量子数为1 氢 氦等原子 某些元激发 费密子 Fermions 费密子 Fermions 遵从全同性原理 多粒子系中 不能有两个和两个以上粒子同处于 同一单粒子态 遵从全同性原理 多粒子系中 不能有两个和两个以上粒子同处于 同一单粒子态 泡利 Pauli 不相容原理泡利 Pauli 不相容原理 固有物理特性 固有物理特性 自旋量子数为半整数 1 2 2 3 自旋量子数为半整数 1 2 2 3 如电子 质子等 如电子 质子等 玻色和费密统计玻色和费密统计 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 N i i E 考虑考虑自由粒子系自由粒子系 粒子间无相互作用的体系 系统的总能量 哈密顿量 可以写成各粒子能量的总和 粒子全同 粒子间无相互作用的体系 系统的总能量 哈密顿量 可以写成各粒子能量的总和 粒子全同 各粒子的哈密顿量各粒子的哈密顿量 h 全同 全同 全同性表现于此 全同性表现于此 总能量的可能取值构成能级总能量的可能取值构成能级 En 当系统的能量确定 处于某能级当系统的能量确定 处于某能级E En 时 其状态并不能完全确定 各粒子仍可处于不同的单粒子态 它们的能量可相同 也可不同 时 其状态并不能完全确定 各粒子仍可处于不同的单粒子态 它们的能量可相同 也可不同 各粒子可以多种方式各粒子可以多种方式 分布分布 在不同的单粒子态 不同 在不同的单粒子态 不同分布分布给出体系不同的量子态 这些态的数目往往十分巨大 给出体系不同的量子态 这些态的数目往往十分巨大 多粒子系的能级多粒子系的能级高度简并高度简并 简并度几何 简并度几何 与统计性质有关与统计性质有关 不同的统计性质 玻色 费密 分布法不同 简并度亦不同不同的统计性质 玻色 费密 分布法不同 简并度亦不同 N i i hH 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 极限情形极限情形 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 三种不同的统计法三种不同的统计法 2 费米 Fermi 统计 2 费米 Fermi 统计 费密系费密系 费密子组成的体系费密子组成的体系 费密统计法费密统计法 任一单粒子态最多任一单粒子态最多 只能被一个粒子占据只能被一个粒子占据 3 玻尔兹曼 3 玻尔兹曼 Boltzmann 统计 统计 定域子系统定域子系统 Localized particle systems 粒子空间位置定域 不同位置粒子的波函数互不交迭 粒子空间位置定域 不同位置粒子的波函数互不交迭 可分辨可分辨 常称常称 Boltzmann 系统 系统 在在 可分辨可分辨 意义下 又称意义下 又称 经典经典 系统系统 玻色 Bose 统计 玻色 Bose 统计 玻色系玻色系 玻色子组成的体系玻色子组成的体系 玻色统计法玻色统计法 可有可有任意多个粒子任意多个粒子 处在同一个单粒子态处在同一个单粒子态 注意 注意 这并不意味粒子完全退化为这并不意味粒子完全退化为 经典粒子经典粒子 他们仍须用他们仍须用量子力学量子力学描述 如 单粒子的 描述 如 单粒子的能级能级可能还是可能还是分立分立的 状态用的 状态用量子数量子数表征表征 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 2 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 三种统计法举例 三种统计法举例 以二粒子系统为例 假定每个粒子有三个可能的单粒子态以二粒子系统为例 假定每个粒子有三个可能的单粒子态 1 1 2 2 3 3 列表以示三种统计法的分布方式 Bose 系系Fermi 系系Boltzmann 系系 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A AA AA AA AA AA AA AB AB AB BA AB BA AB BA 6 6 种不同分布种不同分布3 3 种不同分布种不同分布9 9 种不同分布种不同分布 AAAA AB 单粒子态 分布方式 单粒子态 分布方式 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 3 微观状态3 微观状态 Microscopic States 一种填充方式 一种填充方式 分布 分布 nl 波函数波函数 r1 r2 rN t 一组量子数 单粒子态量子数 一组量子数 单粒子态量子数l N 粒子有粒子有 nl 个个 填充 填充 在在 l 态态上上 考虑了全同性 描述描述 N 粒子系统的微观状态粒子系统的微观状态 自由粒子系自由粒子系 代表代表 N 粒子系的一个态粒子系的一个态 微观态数微观态数 分布总数分布总数 系统一个微观状态系统一个微观状态 是单粒子是单粒子态态而不是而不是能级能级 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 3 经典极限3 经典极限 Classical Limit 量子描述的极限 经典描述 量子描述的极限 经典描述上节上节 6 6 的情形的情形 单粒子能级单粒子能级 准连续准连续 又为 又为定域子定域子 粒子 粒子可分辨 可分辨 系统系统 单粒子态的描述单粒子态的描述 粒子可用粒子可用 经典经典 力学描述 用经典几何空间 单粒子运动有确定的坐标和动量 有轨迹 力学描述 用经典几何空间 单粒子运动有确定的坐标和动量 有轨迹 满足两个近似条件满足两个近似条件 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 空间描述空间描述 Nr 个广义坐标 个广义坐标 Nr 个广义动量为坐标轴 构成 个广义动量为坐标轴 构成 2Nr 维空间维空间 空间 相空间 相宇 空间 相空间 相宇 空间一点代表系统的一个微观态 系统微观状态的变化 空间代表点运动的轨迹 空间一点代表系统的一个微观态 系统微观状态的变化 空间代表点运动的轨迹 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 空间描述空间描述 单粒子自由度单粒子自由度r r 个广义坐标 和 个广义坐标 和 r 个广义动量为坐标轴构成个广义动量为坐标轴构成 2r 维空间维空间 空间空间 空间一空间一点点代表一单粒子代表一单粒子态态 系统的态由空间中 系统的态由空间中 N 个点代表个点代表 经典经典N粒子系微观态的描述粒子系微观态的描述 ri pi 空间空间 q p 空间空间 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 自由度为自由度为r 的单粒子态 在的单粒子态 在 空间占据体积空间占据体积 hr N 粒子系统的微观态在 空间占据体积为粒子系统的微观态在 空间占据体积为 hNr 微观状态与相体积的对应关系微观状态与相体积的对应关系 因不确定性因不确定性 q p h 一个量子态在相宇中不对应一个点 而是一个区域 或曰 每态占一定体积 考虑量子论的一个微观态与相空间 相宇 中一体积范围的对应 若 微观态可能出现在 空间占的体积范围为 一个量子态在相宇中不对应一个点 而是一个区域 或曰 每态占一定体积 考虑量子论的一个微观态与相空间 相宇 中一体积范围的对应 若 微观态可能出现在 空间占的体积范围为 其微观态总数为其微观态总数为 hNr 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 微观状态描述的经典量子对比 力学量 取值 力学量 取值 q1 q2 qr p1 p2 pr 2 2r 维维 空间之点空间之点 经典量 子经典量 子 确定 连续确定 连续 如 坐标 动量确定连续如 坐标 动量确定连续 单粒子 态描述 单粒子 态描述 不确定 分立 本征值 概率 不确定 分立 本征值 概率 q p 连续函数连续函数 q1 q2 qN 量子数量子数 n 一组 能 量能 量 能级能级 n 简并度简并度 多粒子 体系 多粒子 体系 q p 2Nr 维维 空间之点 按态 空间之点 按态 l 分布分布 nl 自 旋自 旋无无S 投影取分立值投影取分立值 对应 关系 对应 关系 单粒子态 单粒子态 hr 多粒子态 多粒子态 hNr 体系微观态数 体系微观态数 hNr 全同性全同性 无 可分辨有 玻色 费密 定域 玻尔兹蔓 无 可分辨有 玻色 费密 定域 玻尔兹蔓 3 第一章 预备知识 2 第一章 预备知识 2 思考问题 思考问题 1 回顾1 回顾 德德布罗依波德德布罗依波 不确定性原理不确定性原理 自旋自旋 全同性全同性 泡利不相容原理泡利不相容原理 等概念 2 量子力学对粒子运动状态描述与经典力学描述的 主要区别是什么 3 何为 空间 空间 如何理解量子态与 空间 空间体积的对应关系 4 怎样理解单粒子的态密度 5 三种统计法的特点 6 试阅读 等概念 2 量子力学对粒子运动状态描述与经典力学描述的 主要区别是什么 3 何为 空间 空间 如何理解量子态与 空间 空间体积的对应关系 4 怎样理解单粒子的态密度 5 三种统计法的特点 6 试阅读 1 41 4 作业 1 4 1 5作业 1 4 1 5 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 1 3 几个数学问题 1 3 几个数学问题 Several Mathematical Problems 1 概率基本概念1 概率基本概念 Concepts of Probability 事件 事件 Events 随机事件随机事件 Random Events Stochastic Events 可能发生 也可能不发生的事件 例如 掷骰子 一定宏观条件下系统所处微观态 可能发生 也可能不发生的事件 例如 掷骰子 一定宏观条件下系统所处微观态 统计律统计律 必然事件必然事件 Inevitable Events 一定发生的事件 反之 为不可能事件 必然和不可能事件是随机事件的特例 一定发生的事件 反之 为不可能事件 必然和不可能事件是随机事件的特例 因果律因果律 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 互斥事件互斥事件 Exclusive Events 一事件发生 另一事件必不发生 反之亦然 例如 掷骰子各点的出现 一定宏观条件下系统所处的微观态 一事件发生 另一事件必不发生 反之亦然 例如 掷骰子各点的出现 一定宏观条件下系统所处的微观态A A 和和B B 相容事件相容事件 Compatible Events 一事件发生 另一事件亦可能发生 非互斥则相容 一事件发生 另一事件亦可能发生 非互斥则相容 独立事件独立事件 Independen Events 一事件发生与否 与另一事件发生与否无关 例如 系统中两粒子分别处于各自的态 一事件发生与否 与另一事件发生与否无关 例如 系统中两粒子分别处于各自的态 k 和和 l 的两个事件 的两个事件 费密系费密系 受泡利不相容原理制约 两粒子不能同处于一态 受泡利不相容原理制约 两粒子不能同处于一态 k l 两粒子处于相同态 两粒子处于相同态 k l 的两个事件 的两个事件互斥互斥 不相容 不相容 玻色系玻色系 两粒子处于同一态 两粒子处于同一态 k l 的事件可能 的事件可能 相容相容 两粒子分别处于任意态 两粒子分别处于任意态 k 和和l 的事件互 的事件互独立独立 相容 相容 k l 的事件无论费密或玻色均相容 独立的事件无论费密或玻色均相容 独立 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 概率 概率 Probability lim N N P i N i 设设 观察某观察某系统系统 其微观状态的出现是随机的 每次观察称为一次随机试验 简称 其微观状态的出现是随机的 每次观察称为一次随机试验 简称 试验试验 观察到体系处于观察到体系处于 i 态的事件记为态的事件记为 i 事件事件 N 次观察中 出现次观察中 出现 i 事件的次数记为事件的次数记为 Ni 若观察次数很大 趋于无穷 事件若观察次数很大 趋于无穷 事件i出现的次数趋于一定数 经验例 投掷硬币 出现 出现的次数趋于一定数 经验例 投掷硬币 出现 图案图案 和和 面值面值 的概率的概率均均为为 1 21 2 掷骰子 每面 1 2 3 4 5 6点 出现的概率掷骰子 每面 1 2 3 4 5 6点 出现的概率均均为为1 61 6 可知 可知 观测试验的条件 哪些事件可能出现观测试验的条件 哪些事件可能出现 不可知 不可知 事件出现随机 无法预言事件出现随机 无法预言 事件事件 i 的概率的概率 对于随机事件 不能确定每次试验的结果 具体哪一事件出现 但却可锁定各事件出现的 对于随机事件 不能确定每次试验的结果 具体哪一事件出现 但却可锁定各事件出现的概率概率 统计规律性统计规律性 各事件出现的客观条件 决定出现的概率 各事件出现的客观条件 决定出现的概率 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 iii 归一性 Normalization 全部互斥事件之和为必然事件 即概率和归一 iii 归一性 Normalization 全部互斥事件之和为必然事件 即概率和归一 1 i iP jiji PPP 由定义 概率有如下质 i 有界性性 由定义 概率有如下质 i 有界性性 jiji PPP ii 可加性 两互斥事件 ii 可加性 两互斥事件 i 或或 j 即 即i j 出现的概率则为 出现的概率则为 1 i iP iv 相乘性 独立事件同时出现的概率满足相乘性 iv 相乘性 独立事件同时出现的概率满足相乘性 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 随机变量 随机变量 Random Variable 给事件赋以数值 例如某微观态的能量值 给事件赋以数值 例如某微观态的能量值 变量变量 给随机事件赋值后构成的变量给随机事件赋值后构成的变量 随机变量随机变量 变量取值分立变量取值分立 离散型离散型 discrete 变量 变量取值连续 discrete 变量 变量取值连续 连续型连续型 continuous 变量 例如 投币与掷骰子 给出现的 continuous 变量 例如 投币与掷骰子 给出现的 面面 点点 赋值 相应变量为赋值 相应变量为离散型离散型随机变量 与三维空间坐标一一对应 连续取值的随机变量为 随机变量 与三维空间坐标一一对应 连续取值的随机变量为连续型连续型随机变量 显然 此概率亦具有 随机变量 显然 此概率亦具有 有界有界 归一归一 可加可加 相乘相乘 等性质 请学生自己写出这些性质的连续型变量形式 等性质 请学生自己写出这些性质的连续型变量形式 dxdydzrdrdrr vvvv 事件在体积元事件在体积元 rdr vv 内出现的概率为内出现的概率为 概率密度概率密度 r v 例如 归一化可写为例如 归一化可写为 xdx 1 4 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 4 统计平均 4 统计平均 Statistical averageStatistical average 有随机变量有随机变量 x 物理量 物理量 u 为其函数 可对物理量 为其函数 可对物理量 u 进行统计平均进行统计平均 离散型 离散型 记离散型变量为记离散型变量为 x i 1 2 3 其概率为其概率为Pi u 的统计平均则由下式给出的统计平均则由下式给出 rdrruu vvv i iiP uu rx v 连续型 连续型 记连续型随机变量为记连续型随机变量为 u 的统计平均则由下式给出的统计平均则由下式给出 概率密度概率密度 rv 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 5 统计独立性 5 统计独立性 Independence of Statistics jiji PPP j iji j ji PPPP 离散型 离散型 设有两组互斥事件 设有两组互斥事件 i 第一组事件 第一组事件 1 2 i 中的第 中的第i i个事件个事件 j 第二组事件中的第第二组事件中的第 j 个事件 如果两组事件相互独立 则其概率具有相乘性 第一组的 个事件 如果两组事件相互独立 则其概率具有相乘性 第一组的 i 事件与第二组的任一事件同时发生的概率为 第一组的事件出现的概率与第二组事件是否发生无关 事件与第二组的任一事件同时发生的概率为 第一组的事件出现的概率与第二组事件是否发生无关 统计独立性统计独立性 统计独立性统计独立性 内蒙古大学内蒙古大学 理工学院物理系理工学院物理系 第一章 预备知识 3 第一章 预备知识 3 随机变量之函数的统计独立性公式随机变量之函数的统计独立性公式 离散型 离散型 随机变量之函数随机变量之函数u的可能取值为的可能取值为u1 u2 ui ui 的概率为的概率为Pi 另一随机变量之函数另一随机变量之函数v 的可能取值为的可能取值为v1 v2 vj vj的概率为的概率为Pj 若两函数相互独立 则有若两函数相互独立 则有 vuuv 2112 rr rr 两事件同时发生的概率密度两事件同时发生的概率密度 连续型 连续型 1 1r v 2 2r v 事件1 2 的概率密度事件1 2 的概率密度 d d 112221122112 rrrrrrr rrrrrrr 若若 两