高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件.ppt

第八章立体几何 8 1空间几何体的三视图 表面积和体积 高考数学 考点一简单几何体的结构特征1 棱柱的结构特征 1 棱柱的主要结构特征 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面 其余各面叫做棱柱的侧面 两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 棱柱的两底面之间的距离 叫做棱柱的高 2 棱柱的分类 按侧棱与底面的位置关系可分为斜棱柱 直棱柱 按底面多边形边数可分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 底面是正多边形的直棱柱又称为 正棱柱 2 棱锥的结构特征 1 棱锥的定义 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角 知识清单 形 这些面围成的几何体叫做棱锥 2 正棱锥的定义 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面内的射影是底面中心 这样的棱锥叫做正棱锥 3 正棱锥的性质 i 各侧棱 相等 各侧面都是 全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高相等 侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的 斜高 ii 棱锥的高 斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 3 圆柱 圆锥 圆台的特征分别以 矩形一边 直角三角形一直角边 直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴 其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别叫做圆柱 圆锥 圆台 其中 旋转轴叫做所围成的几何体的轴 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面 无论旋转到什么位置 这条边都叫做侧面的 母线 4 棱台 圆台的定义用平行于底面的平面分别去截棱锥 圆锥 截面与底面间的部分分别叫做棱台 圆台 5 球 1 一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球 形成球的半圆的圆心叫做球心 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径 连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径 2 球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆 被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 球的截面性质 r 其中r为截面圆的半径 r为球的半径 d为球心到截面圆圆心的距离 考点二斜二测画法水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的步骤 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于o点 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与y 轴 两轴相交于o 点 且使 x o y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度变为原来的一半 考点三简单几何体的三视图1 几何体的三视图指正视图 侧视图 俯视图 又称为主视图 左视图 俯视图 视图 是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图 光线自物体的前面向后正投影 所得的投影图称为 正视图 自左向右正投影 所得的投影图称为 侧视图 自上向下正投影 所得的投影图称为 俯视图 2 三视图的画法要求 1 在画三视图时 重叠的线只画一条 挡住的线要画成虚线 2 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从几何体的正前方 正左方 正上方观察几何体画出的轮廓线 画三视图的基本要求 正俯一样 长 俯侧一样宽 正侧一样高 3 由三视图想象几何体特征时要根据 长对正 宽相等 高平齐 的基本原则 3 平行投影的投影线互相平行 中心投影的投影线交于一点 考点四空间几何体的表面积和体积1 柱体 锥体 台体的侧面积就是各侧面面积之和 表面积是各个面的面积之和 即侧面积与底面面积之和 2 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的展开图 它的表面积就是展开图的面积 3 圆柱的侧面积公式是s柱侧 2 rl 表面积公式是s柱 2 r r l 圆锥的侧面积公式是s锥侧 rl 表面积公式是s锥 r r l 圆台的侧面积公式是s台侧 r r l 表面积公式是s台 r 2 r2 r l rl 其中r r分别为上 下底面的半径 l为母线长 4 长方体的体积公式为v abc 正方体的体积公式为v a3 圆柱的体积公式为v r2h 棱柱和圆柱的体积公式可以统一为v柱 sh 其中s为底面面 积 h为高 5 圆锥的体积公式为v r2h 棱锥的体积公式为v sh 圆锥和棱锥的体积公式可以统一为v锥 sh 其中s为底面面积 h为高 6 圆台的体积公式为v r 2 r r r2 h 棱台的体积公式为v s s h 圆台和棱台的体积公式可以统一为v台 s s h 其中s s分别为上 下底面的面积 h为高 7 球的体积及球的表面积公式 1 半径为r的球的体积为v r3 2 半径为r的球的表面积为s 4 r2 三视图的解题策略1 三视图的画法要坚持以下原则 1 长对正 即正视图和俯视图的长相等 2 高平齐 即正视图和侧视图的高相等 3 宽相等 即侧视图和俯视图的宽相等 4 看不见的轮廓线要用虚线表示 2 由三视图判断几何体的形状主要结合常见几何体的三视图来确定 有些图形是组合几何体 例1 2014课标 12 5分 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体的各条棱中 最长的棱的长度为 方法技巧 b a 6b 6c 4d 4 解析由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥 如图所示 其中面abc 面bcd abc为等腰直角三角形 ab bc 4 取bc的中点m 连接am dm 则dm 面abc 在等腰 bcd中 bd dc 2 bc dm 4 所以在rt amd中 ad 6 又在rt abc中 ac 4 6 故该多面体的各条棱中 最长棱为ad 长度为6 故选b 评析本题考查空间几何体的三视图与直观图之间的互相转化 考查面面垂直性质定理的应用 同时考查考生的空间想象能力和运算求解能力 正确画出三棱锥的直观图是解决本题的关键 求空间几何体的表面积的解题策略1 求多面体的表面积时 先求各个面的面积 再相加即可 求旋转体的表面积时 可从旋转体的生成过程及其几何特征入手 将其展开求表面积 但要搞清楚它们的底面半径 母线长与对应侧面展开图中的边长关系 球除外 2 结合几何模型 在理解的基础上熟练掌握柱 锥 台的表面积公式及公式间的联系 例2 2017浙江镇海中学第一学期期中 9 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积是 体积是 解题导引由三视图得几何体的直观图 计算体积和表面积得结论 解析由三视图可知该几何体是三棱锥p abc 如图所示 其中pa 平面abc 且pa ac 2 又 abc的边ac上的高为1 且点b在ac上的射影为ac的中点 ab bc ab bc 从而易得bc pb 又pc 2 pb 故该几何体的表面积为s 2 2 2 3 体积为v 2 答案3 求空间几何体体积的解题策略1 求简单几何体的体积 要选择适当的底面和高 然后应用公式进行计算 2 有关旋转体的问题或球与多面体的切 接问题 特别要注意应用轴截面 3 求几何体体积的常用方法有 割补法和等积变换法 1 割补法 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体 锥体等 或拼补成一个规则的柱体 锥体等 分别求出柱体 锥体等的体积 从而得出几何体的体积 2 等积变换法 以三棱锥为例 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等积变换 注意 求体积时 可选择容易计算的方式来求解 利用 等积性 可求 点到面的距离 例3 2016浙江模拟训练卷 四 8 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点m n分别是线段ab bd1上的动点 不包括端点 在m n运动的过程中 线段mn始终平行于平面a1add1 则几何体mnab1体积的最大值为 解题导引过点n作bd的垂线 交bd于点o 连接om 得平行于平面a1add1的平面omn 求点n到平面amb1的距离 利用三棱锥的体积公式求得最大值 解析过n作bd的垂线交线段bd于点o 连接om 设am x 则bm 1 x 因为线段mn始终平行于平面a1add1 所以平面omn平行于平面a1a