高考数学二轮复习 第一部分 方法、思想解读 第4讲 从审题中寻找解题思路课件 理.ppt

第4讲从审题中寻找解题思路 2 审题亦即提取有效信息 挖掘隐含信息 提炼关键信息 条件是题目的 泉眼 为考核学生的观察 理解 分析 推理等能力 高考试题往往变换概念的表述形式 精简试题从条件到结论的中间环节 透析试题的条件之间的联系 隐去问题涉及的数学思想及背景 如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能 事实上 审题能力的培养并未引起应有的重视 很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练 把数学学习等同于解题训练 一味地机械模仿导致应变能力不强 遇到陌生的问题往往束手无策 致使解题失误或陷入误区 3 审题和解题是解答数学试题的重要两步 其中 审题是解题的前提 详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍 正确把握数学试题中的已知条件和所求 从题目关键词语中挖掘隐含条件 启发解题思路 最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必须条件 解题作为审题活动的升华 是全面解答数学试题的核心 4 怎样才算审清题意了呢 主要是弄清题目已经告诉了什么信息 需要我们去做什么 从题目本身获取 如何解这道题 的逻辑起点 推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息 试题的条件和结论是两个信息源 为了从中获取尽可能多的信息 我们要字斟句酌地分析条件 分析结论 分析条件与结论之间的关系 常常还要辅以图形或记号 以求手段与目标的统一 5 一 二 三 四 五 六 一 审清条件信息审视条件一般包括 挖掘隐含信息 洞察结构特征 洞悉图形趋势 研读图表数据 等几方面 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响 看似相同 就按过去同类型题目进行求解 要审出同还是不同 不能似是而非 例1 1 若直线y kx b是曲线y lnx 2的切线 也是曲线y ln x 1 的切线 则b 1 ln2 1 审题指导一直线y kx b是两条曲线的切线 但从已知中看不出它们的切点相同 所以应分别设出切点坐标 审题指导二曲线y lnx上的所有点向上平移2个单位长度得到曲线y lnx 2 曲线y lnx上的所有点向左平移1个单位长度得到曲线y ln x 1 七 6 一 二 三 四 五 六 七 7 一 二 三 四 五 六 七 法二 设曲线y lnx的切点为p x0 y0 8 一 二 三 四 五 六 2 在 abc中 d为边bc上一点 bd dc adb 120 ad 2 若 adc的面积为3 则 bac 60 2 审题指导一先作出草图了解题意 由 adc的面积为3 dc db bc 在 adc中 由余弦定理得ac 在 abd中 由余弦定理得ab 在 abc中 由余弦定理得 bac 审题指导二考虑已知的条件 adb 120 ad 2 s adc 3 作ae bc 在rt dae中易得ae de 由s adc易得dc 从而得bc 分别在rt aec rt aeb中由勾股定理易得ac ab 这样由余弦定理得 bac 审题指导三在审题指导二得出ae de be后 如能及时审视出ae be 则有 eab 45 在rt aec中易求tan eac 从而利用tan bac tan 45 eac 得出 bac 七 9 一 二 三 四 五 六 七 10 一 二 三 四 五 六 七 法二 如图 作ae bc 由 adb 120 ad 2 11 一 二 三 四 五 六 七 法三 如图 作ae bc 由 adb 120 ad 2 12 一 二 三 四 五 六 二 审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显 审题时要注意挖掘隐含条件和信息 对条件进行再认识 再加工 只有这样 方可避免因忽视隐含条件而出现错误 要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息 关注问题中易于疏忽的特殊情形 可能情形 相近概念之间的差异 要清晰定理成立 公式存在的前提 七 13 一 二 三 四 五 六 例2 1 若钝角三角形三内角的度数成等差数列 且最大边长与最小边长的比值为m 则m的取值范围是 b a 1 2 b 2 c 3 d 3 1 审题指导由三角形三内角a b c的度数成等差数列 可以立即得到b的度数 b 60 设三角形的三个内角为a b c 其中a为钝角 七 14 一 二 三 四 五 六 七 解析 设 abc的三边为a b c 且a b c 因为 abc为钝角三角形且三内角的度数成等差数列 所以b 60 且a 90 所以0 c 30 15 一 二 三 四 五 六 2 设点p在曲线y ex上 点q在曲线y ln 2x 上 则 pq 的最小值为 b 2 审题指导认真观察曲线y ex与曲线y ln 2x 的方程 一个是指数型 一个是对数型 这两个函数有怎样的关系哪 不难发现它们互为反函数 七 16 一 二 三 四 五 六 七 其图象关于直线y x对称 17 一 二 三 四 五 六 三 审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件 很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 在这些问题的数式结构中 往往隐含着某种特殊关系 我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征 还要对数式结构进行深入地分析 加工 转化 努力弄清其深层结构特征 在这个逐步清晰的过程中 力争寻找到突破问题的方案 七 18 一 二 三 四 五 六 例3已知 an 是公差为3的等差数列 数列 bn 满足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前n项和 七 19 一 二 三 四 五 六 所以数列 an 是首项为2 公差为3的等差数列 通项公式为an 3n 1 七 20 一 二 三 四 五 六 四 审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中 问题的条件往往是以图形的形式给出 或将条件隐含在图形之中 因此在审题时 最好画一个图 并在图中标出必要的条件和数据 画图的过程是一个熟悉问题的过程 是一个对已知条件进行再认识的过程 不仅如此 还要善于观察图形 洞悉图形所隐含的特殊的关系 数值的特点 变化的趋势 抓住图形的特征 利用图形所提供的信息来解决问题 七 21 一 二 三 四 五 六 例4函数y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 d 七 22 一 二 三 四 五 六 审题指导这类题型的最佳解法应为结合函数的性质 选取特殊点进行排除 y f x 2x2 e x 为偶函数 当x 0时 f x 4x ex 作y 4x与y ex的图象如图所示 故存在实数x0 0 1 使得f x0 0 则当x 0 x0 时 f x0 0 所以f x 在 0 x0 内单调递减 在 x0 2 内单调递增 又f 2 8 e2 8 7 4 0 6 故选d 七 23 一 二 三 四 五 六 七 解析 特殊值验证法 取x 2 则y 2 4 e2 8 2 7182 0 6 0 1 排除a b 当0 x 2时 y 2x2 ex 则y 4x ex 由函数零点的判定可知 y 4x ex在 0 2 内存在零点 即函数y 2x2 ex在 0 2 内有极值点 排除c 故选d 24 一 二 三 四 五 六 五 审图表数据找关联数据分析素养是数学学科核心素养之一 此类问题关注现实生活 其试题中的图表 数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系 也往往暗示着解决问题的目标和方向 要求考生发现生活中的问题 学着运用课堂上学到的知识来分析 解决 在审题时 要认真观察分析图表 数据的特征和规律 找到其中的内在联系 为解决问题提供有效的途径 七 25 一 二 三 四 五 六 例5某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用 单位 元 n表示购机的同时购买的易损零件数 七 26 一 二 三 四 五 六 1 若n 19 求y与x的函数解析式 2 若要求 需更换的易损零件数不大于n 的频率不小于0 5 求n的最小值 3 假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件 或每台都购买20个易损零件 分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决策依据 购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件 七 27 一 二 三 四 五 六 审题指导把统计与函数结合在一起进行考查 有综合性但难度不大 1 当n 19时 探求y与x的函数解析式 由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同 需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n 19加以比较 自然应用分类讨论思想对x 19与x 19 分别探求y与x的函数解析式 2 本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图 而是统计图表中的柱状图 3 许多考生没有读懂题意 本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件 而判断的决策依据是 这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 为此需计算两种方案时的平均数 每一种方案 如何求解其平均数呢 自然借助于柱形图 七 28 一 二 三 四 五 六 七 解 1 当x 19时 y 3800 当x 19时 y 3800 500 x 19 500 x 5700 所以y与x的函数解析式为 2 由柱状图知 需更换的零件数不大于18的频率为0 46 不大于19的频率为0 7 故n的最小值为19 29 一 二 三 四 五 六 七 3 若每台机器在购机同时都购买19个易损零件 则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800 20台的费用为4300 10台的费用为4800 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 3800 70 4300 20 4800 10 4000 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件 则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000 10台的费用为4500 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4000 90 4500 10 4050 比较两个平均数可知 购买1台机器的同时应购买19个易损零件 30 一 二 三 四 五 六 六 审结论善转换结论是解题的最终目标 解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的 审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律 可以从结论中捕捉解题信息 确定解题方向 有些问题的结论看似不明确或不利于解决 我们可以转换角度 达到解决问题的目的 七 31 一 二 三 四 五 六 例6如图 在以a b c d e f为顶点的五面体中 面abef为正方形 af 2fd afd 90 且二面角d af e与二面角c be f都是60 1 证明平面abef 平面efdc 2 求二面角e bc a的余弦值 审题指导本题第 1 小题要证明平面abef 平面efdc 只需证明af 平面efdc 第 2 小题要求二面角e bc a的余弦值 只需探求半平面bce与半平面bca的法向量 为此需建立适当的空间直角坐标系 利用向量求解 七 32 一 二 三 四 五 六 解 1 由已知可得af df af fe 所以af 平面efdc 又af 平面abef 故平面abef 平面efdc 2 过d作dg ef 垂足为g 由 1 知dg 平面abef 建立如图所示的空间直角坐标系g xyz 由 1 知 dfe为二面角d af e的平面角 故 dfe 60 则 df 2 dg 可得a 1 4 0 b 3 4 0 e 3 0 0 d 0 0 由已知 ab ef 所以ab 平面efdc 又平面abcd 平面efdc cd 故ab cd cd ef 由be af 可得be 平面efdc 七 33 一 二 三 四 五 六 所以 cef为二面角c be f的平面角 cef 60 七 34 一 二 三 四 五 六 七 七 审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源 其条件和结论 很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 弄清问题不仅要弄清条件 弄清结论 而且还要弄清条件与所求结论的相互联系 以求手段与目标的统一 35 一 二 三 四 五 六 七 36 1 试题的条件和结论是解题的两个信息源 题目的条件对于得出结论是充分的 解题的钥