现代数学和物理的关系.pdf

现代数学和物理的关系 周坚 西湖青年数学论坛 嘉兴 杭州 04年4月21日 23日 中国人的数学能力是不容置疑的 陈省身 我认为我一生最重要的贡献是帮助改变了中国人自 己觉得不如人的心理 杨振宁 我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙 构成的最好语言 在21世纪 我们将无法区别下面的学科 物理学 量子力学 广义相对论 弦理论 几何学 示性类 指标公式 非线性椭圆 抛物方程 双曲系统 混合型方程 拓扑 代数几何 数论 丘成桐 我们从以下两个方面可以看出现代数学和物理的关 系 一 杰出华人数学家和物理学家的一些主要贡献 二 一些Fields奖获得者的数学工作与物理学的关 系 一 列举比较以上三位华人科学大师的一些贡献 陈省身 Chern Weil理论 Chern Simons理论 杨振宁 Yang Mills理论 Yang Baxter方程 丘成桐 Calabi Yau空间 Schoen Yau正质量定理 他们三人都同时对几何学和物理学做出了巨大贡 献 陈 几何学大师 其数学理论在物理学中有广泛应用 杨 物理学大师 其物理研究用到深刻的数学工具 丘 数学物理大师 其研究横跨几何学和物理学 物理学认为自然界中有四种基本作用力 引力 电磁力 强相互作用 弱相互作用 现代物理学对它们的研究需要运用现代数学特别是 几何学的深刻结果 在这过程中出现了数学和物理学的多次交相促进 近 年来已成为数学发展的重要动力之一 a Newton的古典引力理论只用到微积分 Einstein的狭义相对论用到简单的线性代数 数学 家Minkowski几乎同时得到类似结果 Einstein的广义相对论则需要用到Riemann几何来研 究时空和引力 从数学上 Hilbert也得到Einstein方程 b Maxwell的电磁学方程也只用到多元微积分 但数学家Weyl Cartan对引力和电磁力的统一理论 的研究 1920年代开始 促进了微分几何的发展 导 致了向量丛 主丛上联络理论的出现 1940年代Chern Weil理论的出现标志着微分几何与 代数拓扑的完美结合 联络理论与示性类理论的统 一 c 1950年代Yang Mills规范理论提出后 逐渐成 为统一后三种作用力的理论基础 1970年代发现这种理论对应着几何学中的联络理论 d 1960年代出现的超弦理论在1970年代作为可能 统一广义相对论和规范理论的终极理论得到大量研 究 数学上1970年代由于丘成桐证明Calabi猜想而得到 的大量Calabi Yau空间是超弦理论中主要的研究对象 之一 超弦理论的研究涉及数学的许多主流分支 是数学和 物理学相互促进的重要领域而受到广泛关注 几几几何何何工工工程程程 geometric engineering 是超弦理论中提 出的一个重要理论 从超弦理论得到规范场论 从从从Calabi Yau到到到Yang Mills 由此可以发现以上三位大师的理论是相互关联的 1 物理方法 Vafa和合作者 先从Calabi Yau几 何到Chern Simons 再到Yang Mills 2 数学方法 LLLZ 先从Calabi Yau几何到Kac Moody代数 再到Yang Mills 这里所牵涉的数学或物理结果大多可追溯到陈先生的 工作 以下分别简述 1 指指指标标标理理理论论论和和和模模模空空空间间间 Atiyah和Singer等人发展的指标理论可追溯到Riemann Roch定理和Gauss Bonnet Chern定理 其发展依 赖Chern Weil示性类理论 各种量子场论 如量子引力 量子规范场 非线 性 model等 牵涉到各种模空间上的积分 模空间的结构需要用指标理论来研究 而其上的积分 则要用以下的谈到的局部化方法来研究 场论中的各种反常 如gravitional anomaly chiral anomaly 也需要用指标理论来研究 1970年代 Atiyah和Singer用指标理论研究规范场论中instanton的 模空间 1980年代 Donaldson将他们的结果发展为研究四维流形的全新 工具 启发了Witten的拓扑量子场论概念的引入 1990年代 a Witten引进Seiberg Witten方程及其模空间 b Gromov Witten理论 全纯映射模空间理论 开 始盛行 c 镜像对称 Calabi Yau空间两种模空间的对偶性 被提出并得到广泛研究 2 等等等变变变上上上同同同调调调和和和局局局部部部化化化方方方法法法 几何学中有许多局部与整体关系的结果 如 Poincare Hopf定理 流形的Euler数可由向量场的 奇点算出 Lefschetz不动点定理 映射的Lefschetz数可由映 射的不动点算出 陈先生的关于Gauss Bonnet定理的工作利用了Poincare Hopf定理 推广到复的情形有Bott residue theorem 由Chern Weil理 论 发 展 出equivariant cohomol ogy和Atiyah Bott localization theorem 在指标理论里有Atiyah等人发展的一般的Lefschetz不 动点定理 这些局部化结果是研究带对称的数学或物理系统的有 力工具 在数学和物理中都有广泛的应用 在拓扑量子场论中由等变上同调理论也发展出了 的Mathai Quillen formalism 局部化方法也是超弦的数学理论中的重要方法 连文豪 刘克峰 丘成桐用它证明了著名的镜像原 理 去年由刘秋菊 刘克峰和我证明的Mari no Vafa猜想 及其推广 以及在Gromov Witten理论中的应用都 是以这种方法为基础的 物理学家也广泛使用这种方法 如在几何工程的研究 中 3 Chern Simons理理理论论论和和和扭扭扭结结结不不不变变变量量量 产生与1970年代的Chern Simons理论根源在1940年 代陈先生的工作中 Chern Simons理论意想不到的在物理中有很多应 用 1980年代 Witten发现 a Chern Simons理论可用来构造三维流形上不依 赖度量的场 b 它 与 共 形 场 论 conformal fi eld theory 中 的WZW model的关系 在数学中这种模型对应 于Kac Moody代数的表示理论 c 它与量子群 quantum group 对应于物理 中Yang Baxter方程的解 有很大关系 d 以上两种代数结构都可以用来构造扭结不变量 如Jones polynomial和HOMFLY polynomial 可以用以下图表来表示 Chern Simons理论 Yang Baxter方程Kac Moody代数 link invariants 再次列举比较三位华人科学大师 陈省身 Chern Weil理论 Chern Simons理论 杨振宁 Yang Mills理论 Yang Baxter方程 丘成桐 Calabi Yau空间 Schoen Yau正质量定理 它们都在认识自然界的终极理论的最前沿的探索中起 着关键作用 我们的近期成果 除了正质量定理以外 其他五项成 果都是相互关联的 是否随着超弦的数学理论理论进一步发展 这六项成 果全部可以统一呢 事实上 物理学家已经开始用超弦理论研究引力和黑 洞 如Strominger Vafa对Bekenstein Hawking熵 做了弦理论解释 Hawking 霍金 在杭州的演讲题目A brane new world中的brane就是超弦理论中发展出来的 如果相信超弦理论确实能统一引力理论和规范场论的 话 可以预见 这第六项与其他五项的统一是迟早的 事 这有待在座的各位年轻人来实现 二 Fields奖与物理学 该奖项每四年一次 在 国际数学家大会 上颁发 给40岁以下的杰出数学家 目前共有45位得奖者 其中一人为华人 超弦理论用到以下19位Fields奖的数学工作 Ahlfors Kodaira Serre Atiyah Grothendieck Hironaka Novikov Mumford Deligne Quillen Connes 丘成桐 Donaldson Faltings Drinfeld Jones Witten Borcherds Kontsevich 他们工作的数学领域是复分析 代数几何 代数数 论 算子代数 微分几何 有限群 可积系统 数学 物理等 其中以下得奖者现在仍活跃在数学物理的研究领域 中 Atiyah Deligne Connes 丘成桐 Drinfeld Wit ten 在这6人当中 Atiyah Deligne原先的研究出发点 与物理无关 后来积极倡导数学与物理的交流 在前面提到的19位得奖者中 以下8位的部分得奖 工作的问题或方法来源于物理 Novikov Connes 丘成桐 Donaldson Drinfeld Witten Borcherds Kontsevic