高考数学二轮复习 第二部分 专题四 数列 4.2.2 数列中的证明及存在性问题课件 理.ppt

4 2 2数列中的证明及存在性问题 2 等差 比 数列的判断与证明 1 求a1 a2 2 求数列 an 的通项公式 并证明数列 an 是等差数列 3 如果数列 bn 满足an log2bn 试证明数列 bn 是等比数列 并求其前n项和tn 又a1 5满足an 3n 2 所以an 3n 2 因为an 1 an 3 n 1 2 3n 2 3 所以数列 an 是以5为首项 3为公差的等差数列 3 4 解题心得1 判断和证明数列是等差 比 数列的三种方法 1 定义法 对于n 1的任意自然数 验证an 1 an为同一常数 2 通项公式法 若an kn b n n 则 an 为等差数列 若an pqkn b n n 则 an 为等比数列 3 中项公式法 若2an an 1 an 1 n n n 2 则 an 为等差数列 若 an 1 an 1 n n n 2 则 an 为等比数列 2 对已知数列an与sn的关系 证明 an 为等差或等比数列的问题 解题思路是 由an与sn的关系递推出n 1时的关系式 两个关系式相减后 进行化简 整理 最终化归为用定义法证明 5 对点训练1设数列 an 的前n项和为sn 且首项a1 3 an 1 sn 3n n n 1 求证 sn 3n 是等比数列 2 若 an 为递增数列 求a1的取值范围 1 证明 an 1 sn 3n sn 1 2sn 3n sn 1 3n 1 2 sn 3n a1 3 数列 sn 3n 是首项为a1 3 公比为2的等比数列 6 2 解由 1 得 sn 3n a1 3 2n 1 sn a1 3 2n 1 3n 当n 2时 an sn sn 1 a1 3 2n 2 2 3n 1 an 为递增数列 当n 2时 a1 3 2n 1 2 3n a1 3 2n 2 2 3n 1 a1 9 a2 a1 3 a1 a1的取值范围是 9 7 数列型不等式的证明例2设sn是数列 an 的前n项和 an 0 且4sn an an 2 1 求数列 an 的通项公式 1 解4sn an an 2 即2 an an 1 an an 1 an an 1 an 0 an an 1 2 an 2 2 n 1 2n 8 解题心得要证明关于一个数列的前n项和的不等式 一般有两种思路 一是先求和 再对和式放缩 二是先对数列的通项放缩 再求数列的和 必要时对其和再放缩 9 对点训练2已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 10 数列中的存在性问题例3已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 1 证明由题设 anan 1 sn 1 an 1an 2 sn 1 1 两式相减 得an 1 an 2 an an 1 因为an 1 0 所以an 2 an 11 2 解由题设 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 解题心得假设推理法 先假设所探求对象存在或结论成立 以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 若由此推出矛盾 则假设不成立 即不存在 若推不出矛盾 即得到存在的结果 12 对点训练3 2017云南昆明一中仿真 理17 已知数列 an 和 bn a1a2a3 an n n 且a1 2 b3 b2 3 数列 an 为等比数列 公比为q 1 求a3及数列 bn 的通项公式 2 令cn 是否