12导数的应用一.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，如2009年高考T3. 2.利用导数求函数的极值，或最值，如2010年高考T14,2011年高考T12. 3.已知函数的极值或最值求参数，如2008年高考T14.归纳 知识整合1函数的单调性与导数探究1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值：若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值探究2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？导数为零是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值探究3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值自测 牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)exx的单调递增区间是_解析：f(x)exx，f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.答案：(0，)2(教材习题改编)函数f(x)x34x4的极大值为_，极小值为_解析：f(x)x34x4，f(x)x24，令f(x)0，则x2.当x(，2)时，f(x)0；当x(2,2)时，f(x)0.f(x)极大值f(2)，f(x)极小值f(2).答案：，3已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是_解析：当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增答案：4(教材习题改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析：由题意，得f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2(舍去)由于f(1)2，f(1)0，f(0)2，故f(x)在1,1上的最大值为2.答案：25若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调函数，412 m0，即m答案：运用导数解决函数的单调性问题例1(2013郑州模拟)已知函数f(x)axxln x，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)求实数a的值；(2)设g(x)，求g(x)的单调区间；(3)当mn1(m，nZ)时，证明： .自主解答(1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，依题意fa1，所以a1.(2)因为g(x)，所以g(x).设(x)x1ln x，则(x)1.当x1时，(x)10，(x)是增函数，对x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，(x)1(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，)(3)要证 ，即证ln nln m，即ln mln n，.(*)因为mn1，由(2)知，g(m)g(n)，故(*)式成立，所以 .1导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数3利用单调性求参数取值范围的方法已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立求解1已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)由已知f(x)3x2a.f(x)在(，)上是增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立3x20，只要a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数a0.(2)f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立a3x2，x(1,1)恒成立又1x1，3x23，只需a3.当a3时，f(x)3(x21)在x(1,1)上，f(x)0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的附近两侧的符号：具体如下表：xxx0f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x0)增2设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)，求函数g(x)的极值解：(1)f(x)x3ax2bx1，f(x)3x22axb，则解得f(x)x3x23x1.f(1)，f(1)3.yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，g(x)(3x29x)ex，令g(x)0，即(3x29x)ex0，得x0或x3，当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上单调递增当x(3，)时，g(x)0，故g(x)在(3，)上单调递减从而函数g(x)在x0处取得极小值g(0)3，在x3处取得极大值g(3)15e3.利用导数解决函数的最值问题例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值自主解答(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)(k1)(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.保持本例条件不变，求f(x)在0,1上的最大值解：由本例(2)可知当k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当1k2时，由于f(0)k，f(1)(1k)e.令f(1)f(0)(1k)ek0，得k.当1kf(0)此时f(x)在0,1上的最大值为f(1)(1k)e.当k2时，f(1)f(0)此时f(x)在0,1上的最大值是f(0)k.当k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最大值为f(0)k.综上所述，当k时，f(x)在0,1上的最大值为k. 利用导数求最值的方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得3(2012江西高考)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解：(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意须对于任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以须f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值快速规范审题第(1)问1审条件，挖解题信息观察条件：曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线2审结论，明确解题方向观察所求结论：求a，b的值将用a，b表示即可3建联系，找解题突破口问题转化为解方程组f(x)2ax，g(x)3x2bab3.第(2)问1审条件，挖解题信息观察条件：a24bf(x)ax21(a0)，g(x)x3a2x.2审结论，明确解题方向观察所求结论：求函数f(x)g(x)的单调区间及其在区间(，1上的最大值应利用导数解决准确规范答题(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，(2分)因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，所以 即解得ab3.(4分)(2)设h(x)f(x)g(x)，a24b，h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1，则h(x)3x22axa2，令h(x)0，解得，x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：xh(x)00h(x)函数h(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(6分)当1，即 0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)a；(8分)3.建联系，找解题突破口问题转化为求函数h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1的导数单调递增区间为和，单调递减区间为,当1，即2，即a6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.(12分) 综上所述，当a(0,2时，最大值为h(1)a；当a(2，)时，最大值为h1.(13分)答题模板速成用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答 第一步求导求函数f(x)的导数f(x)第二步判断单调性求函数f(x)在给定区间上的单调性第三步求极点求函数f(x)在给定区间上的极值第四步求端点值求函数f(x)在给定区间上的端点值第五步确定最值比较函数f(x)的各极值与端点值的大小，确定函数f(x)的最大值和最小值第六步反思回顾查看关键点，易错点和解题规范如本题的关键点是确定函数单调区间；易错点是对参数的讨论一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013苏州期末)函数y2ln x的单调递减区间为_解析：易知函数的定义域为(0，)由y0得x，故函数的单调递减区间为.答案：2(2012陕西高考)设函数f(x)ln x，则f(x)的极小值点_解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2x4的解集为_解析：令函数g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，因此，g(x)在R上是增函数，又g(1)f(1)242240.所以，原不等式可化为g(x)g(1)，由g(x)的单调性，可得x1.答案：(1，)4(2013扬州期中)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x0，得xln 2，所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a的取值范围为(，2ln 22答案：(，2ln228已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_解析：由题求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案：139(2013南京期中)已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_解析：因为f(x)3mx22nx，由题意得所以所以f(x)3x26x，又f(x)在区间t，t1上单调递减，所以f(x)3x26x0在区间t，t1上恒成立，所以解之得t2，1答案：2，110设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，当ax”“”“”)解析：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，f(x)g(x)为减函数，又axf(x)g(x)f(b)g(b)答案：二、解答题(本大题共4小题，共60分)11(满分14分)(2012南京调研)已知函数f(x)x2(12a)xaln x(a为常数)(1)当a1时，求曲线yf(x)在x1处切线的方程；(2)当a0时，讨论函数yf(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间解：(1)当a1时，f(x)x2xln x，则f(x)2x1，所以f(1)2，且f(1)2.所以曲线yf(x)在x1处的切线的方程为y22(x1)，即y2x.(2)由题意得f(x)2x(12a)(x0)由f(x)0，得x1，x2a.当0a0且x0，得0xa或x1；由f(x)0，得ax.所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和，单调递减区间是；当a时，f(x)0，当且仅当x时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数；当a0且x0，得0x或ax1；由f(x)0，得x0且x0，得0x；由f(x)0，得x0，得x2或x0，在(0,2)上f(x)0.f(x)在(，0)，(2，)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x2处取得极小值所以x02.由f(2)5，得c1.f(x)x33x21.13(满分16分)设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，得a.所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(