高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.2 三角函数的图象与性质课件.ppt

第四章三角函数 4 2三角函数的图像与性质 高考数学 浙江专用 考点一三角函数的图象及其变换1 2017天津文 7 5分 设函数f x 2sin x x r 其中 0 若f 2 f 0 且f x 的最小正周期大于2 则 a b c d 五年高考 答案a本题考查三角函数的图象和性质 f 2 f 0 f x 的最小正周期大于2 得t 3 则 又f 2sin 2 sin 1 2k k z 2k k z 故选a 易错警示根据f x 的最小正周期t 2 可知t 得t 3 若不注意已知条件 则容易出现t 得t 从而造成错误 思路分析由三角函数的图象 图略 可知 得t 3 然后将代入y f x 中解出 的值即可 2 2017课标全国 理 9 5分 已知曲线c1 y cosx c2 y sin 则下面结论正确的是 a 把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移个单位长度 得到曲线c2b 把c1上各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线c2c 把c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移个单位长度 得到曲线c2d 把c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移个单位长度 得到曲线c2 答案d本题考查三角函数的诱导公式及图象变换 首先利用诱导公式化异名为同名 y sin cos cos cos 由y cosx的图象得到y cos2x的图象 需将曲线c1上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 由y cos2x的图象得到y cos的图象 需将y cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度 故选d 方法总结 1 三角函数图象变换 伸缩变换 将y sinx图象上的各点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 可得到y sin的图象 将y sinx图象上各点的纵坐标变为原来的a倍 横坐标不变 可得到y asinx的图象 平移变换 函数图象的平移变换遵循 左加右减 的法则 但是要注意平移量是指自变量x的变化量 2 解决三角函数图象变换题时 若两函数异名 则通常利用公式sinx cos和cosx sin将异名三角函数转化为同名三角函数 然后分析变换过程 3 2014浙江 4 5分 为了得到函数y sin3x cos3x的图象 可以将函数y cos3x的图象 a 向右平移个单位b 向左平移个单位c 向右平移个单位d 向左平移个单位 答案c因为y sin3x cos3x cos 要得到函数y cos的图象 可以将函数y cos3x的图象向右平移个单位 故选c 4 2016课标全国 7 5分 若将函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度 则平移后图象的对称轴为 a x k z b x k z c x k z d x k z 答案b将函数y 2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y 2sin 2sin的图象 由2x k k z 可得x k z 则平移后图象的对称轴为x k z 故选b 5 2016北京 7 5分 将函数y sin图象上的点p向左平移s s 0 个单位长度得到点p 若p 位于函数y sin2x的图象上 则 a t s的最小值为b t s的最小值为c t s的最小值为d t s的最小值为 答案a点p在函数y sin的图象上 t sin 函数y sin的图象向左平移个单位长度即可得到函数y sin2x的图象 故s的最小值为 6 2015湖南 9 5分 将函数f x sin2x的图象向右平移 个单位后得到函数g x 的图象 若对满足 f x1 g x2 2的x1 x2 有 x1 x2 min 则 a b c d 答案dg x sin 2 x sin 2x 2 f x 1 g x 1 f x1 g x2 2 当且仅当f x1 1 g x2 1或f x1 1 g x2 1时 满足 f x1 g x2 2 不妨设a x1 1 是函数f x 图象的一个最低点 b x2 1 是函数g x 图象的一个最高点 于是x1 k1 k1 z x2 k2 k2 z x1 x2 x1 x2 又 x1 x2 min 即 故选d 评析本题考查三角函数的图象与性质 对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高 要求考生能准确地画图并理解题意 属中等难度题 7 2015课标 8 5分 函数f x cos x 的部分图象如图所示 则f x 的单调递减区间为 a k zb k zc k zd k z 答案d由题图可知 1 所以t 2 结合题图可知 在 f x 的一个周期 内 函数f x 的单调递减区间为 由f x 是以2为周期的周期函数可知 f x 的单调递减区间为 k z 故选d 8 2016江苏 9 5分 定义在区间 0 3 上的函数y sin2x的图象与y cosx的图象的交点个数是 答案7 解析在同一平面直角坐标系中作出y sin2x与y cosx在区间 0 3 上的图象 如图 由图象可知 共有7个交点 9 2016课标全国 14 5分 函数y sinx cosx的图象可由函数y sinx cosx的图象至少向右平移个单位长度得到 答案 解析设f x sinx cosx 2sin g x sinx cosx 2sin 将g x 的图象向右平移 0 个单位长度后得到函数g x 2sin 2sin f x 的图象 所以x 2k x k z 此时 2k k z 当k 1时 有最小值 为 评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数图象的变换 审题不清是学生失分的主要原因 10 2014山东 16 12分 已知向量a m cos2x b sin2x n 函数f x a b 且y f x 的图象过点和点 1 求m n的值 2 将y f x 的图象向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图象 若y g x 图象上各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求y g x 的单调递增区间 解析 1 由题意知f x a b msin2x ncos2x 因为y f x 的图象经过点和 所以即解得m n 1 2 由 1 知f x sin2x cos2x 2sin 由题意知g x f x 2sin 设y g x 的图象上符合题意的最高点为 x0 2 由题意知 1 1 所以x0 0 即到点 0 3 的距离为1的最高点为 0 2 将其代入y g x 得sin 1 因为0 所以 因此g x 2sin 2cos2x 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以函数y g x 的单调递增区间为 k z 11 2013湖北 4 5分 将函数y cosx sinx x r 的图象向左平移m m 0 个单位长度后 所得到的图象关于y轴对称 则m的最小值是 a b c d 以下为教师用书专用 答案by f x cosx sinx 2sin 其图象向左平移m m 0 个单位长度后得f x m 2sin的图象 图象关于y轴对称 令x 0 得 2 从而m 2k k z 故m 2k 或m 2k k z 又m 0 所以mmin 12 2013四川 5 5分 函数f x 2sin x 0 的部分图象如图所示 则 的值分别是 a 2 b 2 c 4 d 4 答案a由题中图象可知t t t 则 2 又图象过点 故f 2 2sin 2 sin 1 故选a 评析考查三角函数式化简 三角函数的图象以及识图能力 考查学生运算求解能力 识图及找出对应周期和已知点是解题关键 13 2014安徽 11 5分 若将函数f x sin的图象向右平移 个单位 所得图象关于y轴对称 则 的最小正值是 答案 解析根据题意设g x f x sin 则g x 的图象关于y轴对称 g 0 1 即sin 1 2 k k z k z 当k 1时 的最小正值为 令 k z 解得 k z 由 0可知 当k 1时 取得最小值 15 2015福建 19 13分 已知函数f x 的图象是由函数g x cosx的图象经如下变换得到 先将g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 再将所得到的图象向右平移个单位长度 1 求函数f x 的解析式 并求其图象的对称轴方程 2 已知关于x的方程f x g x m在 0 2 内有两个不同的解 i 求实数m的取值范围 ii 证明 cos 1 解析 1 将g x cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 得到y 2cosx的图象 再将y 2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y 2cos的图象 故f x 2sinx 从而函数f x 2sinx图象的对称轴方程为x k k z 2 i f x g x 2sinx cosx sin x 依题意知 sin x 在 0 2 内有两个不同的解 当且仅当 1 故m的取值范围是 ii 证法一 因为 是方程sin x m在 0 2 内的两个不同的解 所以sin sin 当1 m 时 2 即 2 当 m 1时 2 即 3 2 所以cos cos 2 2sin2 1 2 1 1 证法二 因为 是方程sin x m在 0 2 内的两个不同的解 所以sin sin 当1 m 时 2 即 当 m 1时 2 即 3 所以cos cos 于是cos cos cos cos sin sin cos2 sin sin 1 考点二三角函数的性质及其应用1 2017课标全国 文 3 5分 函数f x sin的最小正周期为 a 4 b 2 c d 答案c本题考查三角函数的性质 由题意得 2 所以函数f x sin的最小正周期t 故选c 2 2017山东文 7 5分 函数y sin2x cos2x的最小正周期为 a b c d 2 答案c本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质 y sin2x cos2x 2sin 从而最小正周期t 3 2017课标全国 理 6 5分 设函数f x cos 则下列结论错误的是 a f x 的一个周期为 2 b y f x 的图象关于直线x 对称c f x 的一个零点为x d f x 在单调递减 答案d本题考查余弦函数的图象和性质 f x 的最小正周期为2 易知a正确 f cos cos3 1 为f x 的最小值 故b正确 f x cos cos f cos cos 0 故c正确 由于f cos cos 1 为f x 的最小值 故f x 在上不单调 故d错误 4 2016浙江 5 5分 设函数f x sin2x bsinx c 则f x 的最小正周期 a 与b有关 且与c有关b 与b有关 但与c无关c 与b无关 且与c无关d 与b无关 但与c有关 答案bf x sin2x bsinx c 若b 0 则f x sin2x c 1 cos2x c 此时f x 的周期为 若b 0 则f x 的周期为2 所以选b 5 2013浙江文 6 5分 函数f x sinxcosx cos2x的最小正周期和振幅分别是 a 1b 2c 2 1d 2 2 答案a f x sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 最小正周期和振幅分别是 1 故选a 6 2016山东 7 5分 函数f x sinx cosx cosx sinx 的最小正周期是 a b c d 2 答案b f x sinx cosx cosx sinx 4sin cos 2sin t 故选b 7 2015浙江 11 6分 函数f x sin2x sinxcosx 1的最小正周期是 单调递减区间是 答案 k z 解析f x sin2x sinxcosx 1 sin2x 1 sin2x cos2x sin 易知最小正周期t 当 2k 2x 2k k z 即 k x k k z 时 f x 单调递减 所以f x 的单调递减区间为 k z 8 2017浙江 18 14分 已知函数f x sin2x cos2x 2 sinxcosx x r 1 求f的值 2 求f x 的最小正周期及单调递增区间 解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识 同时考查运算求解能力 1 由sin cos f 2 得f 2 2 由cos2x cos2x sin2x与sin2x 2sinxcosx得f x cos2x sin2x 2sin 所以f x 的最小正周期是 由正弦函数的性质得 2k 2x 2k k z 解得 k x k k z 所以 f x 的单调递增区间是 k z 9 2015山东 16 12分 设f x sinxcosx cos2 1 求f x 的单调区间 2 在锐角 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若f 0 a 1 求 abc面积的最大值 评析本题考查三角恒等变换 三角函数的图象与性质 以及解三角形等基础知识和基本方法 对运算能力有较高要求 属中等难度题 10 2015北京 15 13分 已知函数f x sincos sin2 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间 0 上的最小值 解析 1 因为f x sinx 1 cosx sin 所以f x 的最小正周期为2 2 因为 x 0 所以 x 当x 即x 时 f x 取得最小值 所以f x 在区间 0 上的最小值为f 1 11 2014天津 15 13分 已知函数f x cosx sin cos2x x r 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在闭区间上的最大值和最小值 解析 1 由已知 有f x cosx cos2x sinx cosx cos2x sin2x 1 cos2x sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期t 2 因为f x 在区间上是减函数 在区间上是增函数 f f f 所以函数f x 在闭区间上的最大值为 最小值为 评析本题主要考查两角和与差的正弦公式 二倍角的正弦与余弦公式 三角函数的最小正周期 单调性等基础知识 考查基本运算能力 12 2013北京 3 5分 是 曲线y sin 2x 过坐标原点 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 以下为教师用书专用 答案a当 时 y sin 2x sin2x 此时曲线过坐标原点 但曲线y sin 2x 过坐标原点时 k k z 是 曲线y sin 2x 过坐标原点 的充分而不必要条件 故选a 评析本题主要考查了三角函数的性质及充要条件的判断 y sin 2x 的图象过坐标原点的充要条件是 k k z 掌握此性质是解题关键 13 2013江苏 1 5分 函数y 3sin的最小正周期为 答案 解析t 14 2015重庆 18 13分 已知函数f x sinsinx cos2x 1 求f x 的最小正周期和最大值 2 讨论f x 在上的单调性 解析 1 f x sinsinx cos2x cosxsinx 1 cos2x sin2x cos2x sin 因此f x 的最小正周期为 最大值为 2 当x 时 0 2x 从而当0 2x 即 x 时 f x 单调递增 当 2x 即 x 时 f x 单调递减 综上可知 f x 在上单调递增 在上单调递减 评析本题考查二倍角公式 辅助角公式等三角变形公式 以及三角函数的图象与性质 属常规基础题 1 2017浙江名校协作体 4 为了得到函数y sin的图象 可以将函数y sin的图象 a 向左平移个单位长度b 向右平移个单位长度c 向左平移个单位长度d 向右平移个单位长度 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案c因为y sin sin 所以仅需将函数y sin的图象向左平移个单位长度 即可得到函数y sin的图象 故选c 2 2017浙江金华十校联考 4 设函数f x sin x 0 则f x 的奇偶性 a 与 有关 且与 有关b 与 有关 但与 无关c 与 无关 且与 无关d 与 无关 但与 有关 答案d因为f x sin xcos cos xsin 所以f x sin xcos cos xsin 若f x 为奇函数 则f x f x 恒成立 故cos xsin 0恒成立 所以sin 0 故 k k z 若f x 为偶函数 则f x f x 恒成立 故sin xcos 0恒成立 所以cos 0 故 k k z 综上 f x 的奇偶性仅与 有关 故选d 3 2017浙江嘉兴基础测试 5 若函数g x 的图象可由函数f x sin2x cos2x的图象向右平移个单位长度得到 则g x 的解析式是 a g x 2sin2xb g x 2sinc g x 2sind g x 2sin 答案a f x 2sin g x 2sin 2sin2x 4 2016浙江镇海中学测试 四 4 将函数f x asin a 0 0 的图象向右平移个单位 得到的图象与f x 的图象关于y轴对称 则实数 的值可能为 a 5b 6c 7d 8 答案c设g x f asin 因为f x 与g x 的图象关于y轴对称 所以g x f x 所以asin asin 所以 x x 2k k z 对x r恒成立 舍 或 2k k z 对x r恒成立 所以 2k k z 故 4k 1 k z 当k 2时 7 故选c 5 2017浙江名校新高考研究联盟测试一 5 已知函数y cos x 0 0 为奇函数 且a b分别为函数图象上的最高点与最低点 若 ab 的最小值为2 则该函数图象的一条对称轴是 a x b x c x d x 1 答案d由题意知 且t 2 4 所以 故y sin 令x k k z 得x 2k 1 k z 故选d 答案 k z x k z 解析根据函数性质知 最小正周期t 令2k 2x 2k k z 解得k x k k z 因此单调递增区间为 k z 再令2x k k z 解得x k z 即对称轴方程为x k z 7 2016浙江温州二模 10 函数f x 2sin x 的图象如图所示 则 答案2 解析由题图知 最小正周期t 又 0 故 2 当x 0时 2sin 1 即sin 因为 所以 8 2016浙江名校协作体测试 10 若函数y 2sin x 的图象过点 0 1 且图象向右平移个单位后与平移前的图象重合 则 的最小值为 答案 12 解析由题意得2sin 1 又0 故 由已知得 nt n n n 所以 12n 12 故 的最小值为12 9 2017浙江湖州 衢州 丽水联考 4月 18 函数f x 2sin x 的部分图象如图所示 m为最高点 该图象与y轴交于点f 0 与x轴交于点b c 且 mbc的面积为 1 求函数f x 的解析式 2 若f 求cos2 的值 三 解答题 解析 1 因为s abc 2 bc 所以t 2 所以 1 由f 0 2sin 得sin 因为0 所以 所以f x 2sin 2 由f 2sin 得sin 所以cos2 1 2sin2 10 2017浙江绍兴质量调测 3月 18 已知函数f x 2sin2x cos 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在上的单调递增区间 解析 1 因为cos2x 1 2sin2x 所以f x 2sin2x cos 1 cos2x cos2x sin2x 1 sin 故f x 的最小正周期为 2 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 故f x 在上的单调递增区间为 11 2015浙江宁波十校联考 16 已知函数f x 2cosx sin sin2x sinxcosx 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 的单调递增区间 解析 1 f x cosx sinx cosx sin2x sinxcosx 2sinx cosx cos2x sin2x sin2x cos2x 2sin 所以函数f x 的最小正周期为 2 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 故函数f x 的单调递增区间为 k z 1 2016浙江名校 诸暨中学 交流卷一 4 为了得到函数y cos的图象 只需将函数y sin2x的图象 a 向右平移个单位b 向右平移个单位c 向左平移个单位d 向左平移个单位 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案d因为sin2x cos 所以只需将函数y cos的图象经过适当的平移得到y cos的图象即可 因为y cos cos 所以只需将函数y sin2x的图象向左平移个单位即可 故选d 2 2016浙江镇海中学测试 六 5 已知函数f x asin2x bcos2x a b r 且ab 0 的图象关于中心对称 则函数y f x 的图象的一条对称轴是 a x b x c x d x 答案b因为函数f x asin2x bcos2x的图象关于中心对称 所以f 0 即asin bcos 0 所以a b 所以f x b sin2x cos2x 2bsin 令2x 2k k z 得x k k z 故选b 答案 解析易知f x sin 2x 所以f x 的最小正周期为 因为 所以振幅的最小值为 4 2017浙江名校 诸暨中学 交流卷四 13 已知x0 x0 是函数f x cos2 sin2 x 0 的两个相邻的零点 则f f x 在 0 上的递减区间为 答案 解析由题可知 函数的最小正周期t f x cos2 sin2 x cos 所以 1 f 令2k 2x 2k k z 解得k x k k z 所以f x 在 0 上的递减区间为 5 2016浙江镇海中学测试 八 11 已知函数f x asin2x bcos2x a b r 且ab 0 则其最小正周期t 若其图象关于直线x 对称 则直线ax by 2 0的倾斜角 答案 120 解析显然最小正周期t 因为函数y f x 的图象关于直线x 对称 所以f 0 f 即b a b 亦即a b 故 所以 120 6 2017浙江温州十校期末联考 13 设f x 是定义在r上的最小正周期为的函数 且在上f x 则a f 答案 1 解析由f x 的最小正周期为 得f f 即cos a sin 解得a 1 f f sin 7 2017浙江金丽衢十二校第二次联考 18 已知直线x 是函数f x sin 3x 0 的图象上的一条对称轴 1 求 2 求函数y f x f x 的值域 三 解答题 解析 1 由题意得3 k k z k k z 0 f x sin 2 y f x f sin sin sin cos sin x 3x y 8 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 18 已知函数f x sin2x cos2x 1 求函数f x 的最小正周期和对称轴 2 当x 时 求f x 的取值范围 解析 1 f x sin2x cos2x 2 2sin 6分 所以函数f x 的最小正周期为 8分 令2x k k z 得x k z 10分 故函数f x 图象的对称轴的方程为x k z 2 因为x 所以2x 11