2019届合肥一模数学试题-文科理科数学试题与答案.pdf

1 合肥市2019届高三第一次教学质量检测 数学试题 理科 考试时间 120分钟 满分 150分 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共12小题 每小题小题 每小题5分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知i为虚数单位 4 1 i z 则复数z的虚部为 A 2i B 2i C 2 D 2 2 集合 2 20Ax xx 10Bx x 则AB A 1x x B 11xx C 2x x D 21xx 3 执行右图所示的程序框图 则输出n的值为 A 63 B 47 C 23 D 7 4 已知正项等差数列 n a的前n项和为 n S nN 2 576 0aaa 则 11 S的值为 A 11 B 12 C 20 D 22 5 已知偶函数 fx在 0 上单调递增 则对实数ab ab 是 f af b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从 事互联网行业者岗位分布条形图 则下列结论中不一定正确的是 注 90后指1990年及以后出生 80后指1980 1989年之间出生 80前指1979年及以前出生 A 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20 C 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 7 平面 外有两条直线a b 它们在平面 内的射影分别是直线 m n 则下列命题正确的是 A 若ab 则mn B 若mn 则ab C 若 mn 则 ab D 若m和n相交 则a和b相交或异面 8 若 6 1 ax x 展开式的常数项为60 则a的值为 A 4 B 4 C 2 D 2 9 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的是某多面体的三视图 则该几何体的体积为 2 A 2 54 210 B 4 3 C 8 3 D 16 3 10 某商场进行购物摸奖活动 规则是 在一个封闭的纸箱中装有标号分别为 1 2 3 4 5 的五个 小球 每次摸奖需要同时取出两个球 每位顾客最多有两次摸奖机会 并规定 若第一次取出的两球号码 连号 则中奖 摸奖结束 若第一次未中奖 则将这两个小球放回后进行第二次摸球 若与第一次取出的两 个小球号码相同 则为中奖 按照这样的规则摸奖 中奖的概率为 A 4 5 B 19 25 C 23 50 D 41 100 11 设双曲线 22 22 1 xy C ab 00ab 的左 右焦点分别为 12 FF 过 1 F的直线分别交双曲线左 右两支于点MN 连结 22 MFNF 若 22 0MFNF 22 MFNF 则双曲线C的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 6 12 已知函数 2 2lnf xaxxx 有两个不同的极值点 12 xx 若不等式 12 f xf x 恒成立 则实数 的取值范围是 A 3 B 3 C e D e 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第1313 题题 第第2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第2222 题 题 第第2323题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填二 填空题 本大题共空题 本大题共4 4小题 每小题小题 每小题5 5分分 把答案填在答题卡把答案填在答题卡上上的相应位置的相应位置 13 设xy 满足约束条件 0 0 10 30 x y xy xy 则2zxy 的取值范围为 14 若非零向量 a b 满足 2aab 则 ab b 15 在锐角ABC 中 2BC sinsin2sinBCA 则中线AD长的取值范围是 16 在平面直角坐标系xOy中 点 n A 1 2 2 n n nn nN 记 21221nnn AA A 的面积为 n S 则 1 n i i S 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 已知函数 cos2sin 2 6 f xxx 求函数 fx的最小正周期 若0 2 1 3 f 求cos2 18 本小题满分12分 在四棱锥PABCD 中 2 3BCBDDC 2ADABPDPB 若点E为PC的中点 求证 BE 平面PAD 当平面PBD 平面ABCD时 求二面角CPDB 的余弦值 B D P C E A 3 19 本小题满分12分 每年3月21日是世界睡眠日 良好的睡眠状况 是保持身体健康的重要基础 为了做好今年的世界睡 眠日宣传工作 某社区从本辖区内同一年龄层次的人 员中抽取了100人 通过问询的方式得到他们在一周 内的睡眠时间 单位 小时 并绘制出如右的频率分 布直方图 求这100 人睡眠时间的平均数x 同一组数 据用该组区间的中点值代替 结果精确到个位 由直方图可以认为 人的睡眠时间t近似服 从正态分布 2 N 其中 近似地等于样本平 均数x 2 近似地等于样本方差 2 s 2 33 6s 假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人 试估计该人 群中一周睡眠时间位于区间 39 2 50 8 的人数 附 33 65 8 若随机变量Z服从正态分布 2 N 则 0 6826PZ 220 9544PZ 20 本小题满分12分 设椭圆 22 22 1 xy C ab 0ab 的离心率为 2 2 圆 22 2O xy 与x轴正半轴交于点A 圆O在 点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2 求椭圆C的方程 设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN 试判断PMPN 是否为定值 若为定值 求出该定值 若不是定值 请说明理由 21 本小题满分12分 已知函数 ln1 x f xex e为自然对数的底数 求函数 fx的单调区间 若 g xf xax aR 试求函数 g x极小值的最大值 请考生在第请考生在第2222 2323题中任选一题作答题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题 目计分 作答时 请用目计分 作答时 请用2B2B铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑 22 本小题满分10分 选修选修4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为 cos sin x y 为参数 以坐标原点O为极点 x轴正半轴为 极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 求 1 C 2 C交点的直角坐标 设点A的极坐标为 3 4 点B是曲线 2 C上的点 求AOB 面积的最大值 23 本小题满分10分 选修选修4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 4 设函数 1f xx 若 22f xx 求实数x的取值范围 设 g xf xf ax 1a 若 g x的最小值为 1 2 求a的值 合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共1212小题 每小题小题 每小题5 5分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共4 4小题 每小题小题 每小题5 5分分 13 1 6 14 1 15 13 3 2 16 22 24 33 n n 三 解答题 三 解答题 17 本小题满分12分 3131 cos2sin2cos2sin2cos2sin 2 22226 f xxxxxxx 函数 fx的最小正周期为T 5分 由 1 3 f 可得 1 sin 2 63 0 2 7 2 666 又 11 0sin 2 632 x 2 62 2 2 cos 2 63 1 2 6 cos2cos2cos 2cossin 2sin 6666666 12分 18 本小题满分12分 取CD的中点为M 连结EM BM 由已知得 BCD 为等边三角形 BMCD 2ADAB 2 3BD 30ADBABD 90ADC BMAD 又 BM 平面PAD AD 平面PAD BM 平面PAD E为PC的中点 M为CD的中点 EM PD 又 EM 平面PAD PD 平面PAD EM 平面PAD EMBMM 平面BEM 平面PAD BE 平面BEM BE 平面PAD 5分 连结AC 交BD于点O 连结PO 由对称性知 O为BD的中点 且ACBD POBD 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A B D P C E M A 5 平面PBD 平面ABCD POBD PO 平面ABCD 1POAO 3CO 以O为坐标原点 OC的方向为x轴正方向 建立空间直角坐 标系Dxyz 则D 0 3 0 C 3 0 0 P 0 0 1 易知平面PBD的一个法向量为 1 1 0 0n 设平面PCD的法向量为 2 nxyz 则 2 nDC 2 nDP 2 2 0 0 nDC nDP 3 3 0DC 0 3 1DP 330 30 xy yz 令3y 得13xz 2 1 33n 12 12 12 113 cos 1313 n n n n nn 设二面角CPDB 的大小为 则 13 cos 13 12分 19 本小题满分12分 0 06 340 18 380 20420 28 460 16 500 10 540 02 5844 7245x 5分 由题意得 39 2 50 8 39 250 80 6826Pt 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 39 2 50 8 的人数约为10000 0 68266826 人 12分 20 本小题满分12分 设椭圆的半焦距为c 由椭圆的离心率为 2 2 知 2bc ab 椭圆C的方程可设为 22 22 1 2 xy bb 易求得 2 0A 点 2 2 在椭圆上 22 22 1 2bb 解得 2 2 6 3 a b 椭圆C的方程为 22 1 63 xy 5分 当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时 不妨设切线方程为2x 由 知 2 22 2MN 2 2 2 2 0OMONOM ON OMON 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时 可设切线的方程为y kxm 1122 MxyN xy 2 2 1 m k 即 22 21mk 联立直线和椭圆的方程得 2 2 26xkxm 6 222 124260kxkmxm 得 2 22 12 2 2 12 2 44 12260 4 21 26 21 kmkm km xx k m x x k 1122 OMxyONxy 12121212 OM ONx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22222222 22 222 1264213 2266 366 0 212121 kmk mmkkk mk kkk OMON 综上所述 圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN 都有OMON 在Rt OMN 中 由OMP 与NOP 相似得 2 2OPPMPN 为定值 12分 21 本小题满分12分 易知1x 且 1 1 x fxe x 令 1 1 x h xe x 则 2 1 0 1 x h xe x 函数 1 1 x h xe x 在 1x 上单调递增 且 000h f 可知 当 1 0 x 时 0h xfx ln1 x f xex 单调递减 当 0 x 时 0h xfx ln1 x f xex 单调递增 函数 fx的单调递减区间是 1 0 单调递增区间是 0 5分 ln1 x g xf xaxexax gxfxa 由 知 gx 在 1x 上单调递增 当1x 时 gx 当x 时 gx 则 0gx 有唯一解 0 x 可知 当 0 1xx 时 0gx ln1 x g xexax 单调递减 当 0 xx 时 0gx ln1 x g xexax 单调递增 函数 g x在 0 xx 处取得极小值 0 000 ln1 x g xexax 且 0 x满足 0 0 1 1 x ea x 0 000 0 1 1ln11 1 x g xxex x 令 1 1ln11 1 x xx ex x 则 2 1 1 x xx e x 可知 当 1 0 x 时 0 x x 单调递增 当 0 x 时 0 x x 单调递减 max 01x 函数 g x极小值的最大值为1 12分 22 本小题满分10分 7 22 1 1Cxy 2 2cosC 2 2 cos 22 2xyx 联立方程组得 22 22 1 2 xy xyx 解得 1 1 1 2 3 2 x y 2 2 1 2 3 2 x y 所求交点的坐标为 13 22 13 22 5分 设 B 则 2cos AOB 的面积 11 sin4 sin4cos sin 2233 SOA OBAOB 2cos 23 6 当 23 12 时 max 23S 10分 23 本小题满分10分 22f xx 即1 22xx 10 1 22 x xx 或 10 122 x xx 1 3 x 实数x的取值范围是 1 3 5分 1a 1 1 a 121 1 11 1 12 axx g xa xx a axx a 易知函数 g x在 1 x a 时单调递减 在 1 x a 时单调递增 min 11 1g xg aa 11 1 2a 解得2a 10分 8 合肥市2019届高三第一次教学质量检测 数学试题 文科 考试时间 120分钟 满分 150分 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共1212小题 每小题小题 每小题5 5分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 若集合 12Axx 10Bx x 则AB A 1x x B 11xx C 2x x D 21xx 2 设i是虚数单位 复数 i 12ia 为纯虚数 则实数a为 A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 3 设双曲线 22 22 1 xy C ab 00ab 的虚轴长为4 一条渐近 线为 1 2 yx 则双曲线C的方程为 A 22 1 164 xy B 22 1 416 xy C 22 1 6416 xy D 2 2 1 4 y x 4 执行右图所示的程序框图 则输出n的值为 A 63 B 47 C 23 D 7 5 设向量 3 4a 向量b与向量a方向相反 且10b 则 向量b的坐标为 A 6 8 5 5 B 6 8 C 68 55 D 6 8 6 设 3 0 2a 2 log 0 3b 3 log 2c 则 A abc B acb C bac D cab 7 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从 事互联网行业岗位分布条形图 则下列结论中不一定正确的是 注 90后指1990年及以后出生 80后指1980 1989年之间出生 80前指1979年及以前出生 A 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20 C 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 8 已知 1 cossin 5 则cos 2 2 9 A 24 25 B 4 5 C 24 25 D 4 5 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某三棱锥的三视图 则该三棱锥的外接球的表 面积为 A 6 B 24 C 48 D 96 10 已知函数 xx f xx ee 对于实数ab 0ab 是 0f af b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 11 已知过抛物线 2 4 2yx 焦点F的直线与抛物线交于点A B 3AFFB 抛物线的准线l与x 轴交于点C AMl 于点M 则四边形AMCF的面积为 A 12 3 B 12 C 8 3 D 6 3 12 若关于x的方程0 x eaxa 没有实数根 则实数a的取值范围是 A 2 0e B 2 0 e C 0e D 0e 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第1313 题题 第第2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答题为必考题 每个试题考生都必须作答 第第2222 题 题 第第2323题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共4 4小题 每小题小题 每小题5 5分分 把把答案填在答题卡的相应位置答案填在答题卡的相应位置 13 设xy 满足约束条件 0 0 10 30 x y xy xy 则2zxy 的取值范围为 14 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形 谢尔宾斯基三角形是一种分形 由波兰数学家谢尔宾斯 基1915年提出 具体操作是取一个实心三角形 沿三角形的三边中点连线 将它分成4个小三角形 去掉 中间的那一个小三角形后 对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形 如图 现在上述图 3 中随机选取一个点 则此点取自阴影部分的概率为 15 设等差数列 n a满足 2 5a 68 30aa 则数列 2 1 1 n a 的前n项的和等于 16 设ABC 的内角A BC 的对边长abc 成等比数列 1 coscos 2 ACB 延长BC至D 若2BD 则ACD 面积的最大值为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 将函数 sin2f xx 的图像向左平移 6 个单位后得到函数 g x的图像 设函数 h xf xg x 求函数 h x的单调递增区间 若 1 63 g 求 h 的值 18 本小题满分12分 B D P C E A 10 已知 如图 在四棱锥PABCD 中 BCD 为等边三角形 2 3BD 2PA ABADPBPD 120BAD 若点E为PC的中点 求证 BE 平面PAD 求四棱锥PABCD 的体积 19 本小题满分12分 某学校九年级三个班共有学生 140 人 为了了解学生的睡眠情况 现通过分层抽样的方法获得这三个 班部分学生周一至周五睡眠时间的数据 单位 小时 甲班 30 31 32 32 5 34 35 36 乙班 30 32 33 35 5 37 39 39 5 丙班 30 30 31 33 5 39 40 试估算每一个班的学生数 设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为x 若在丙班抽取的6名学生中 再随机选取3人作进 一步地调查 求选取的这3名学生睡眠时间既有多于x 又有少于x的概率 20 本小题满分12分 设椭圆 E 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点分别为 12 FF 过 1 F的直线交椭圆于A B两点 若 椭圆E的离心率为 2 2 2 ABF 的周长为4 6 求椭圆E的方程 设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C D 设弦AB CD的中点分别为 MN 证明 OMN 三点共线 21 本小题满分12分 已知函数 1 1ln x f xea xx aRe 是自然对数的底数 设 g xfx 其中 fx 是 fx的导数 求 g x的极小值 若对 1x 都有 1f x 成立 求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第2222 2323题中任选一题作答题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题 目计分 作答时 请用目计分 作答时 请用2B2B铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上 将所选题号对应的方框涂黑 22 本小题满分10分 选修选修4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为 cos sin x y 为参数 以坐标原点O为极点 x轴正半轴为 极轴建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 求 1 C 2 C交点的直角坐标 设点A的极坐标为 3 4 点B是曲线 2 C上的点 求AOB 面积的最大值 23 本小题满分10分 选修选修4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 设函数 1f xx 11 若 22f xx 求实数x的取值范围 设 g xf xf ax 1a 若 g x的最小值为 1 2 求a的值 合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题 文科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共1212小题 每小题小题 每小题5 5分分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共4 4小题 每小题小题 每小题5 5分分 13 1 6 14 9 16 15 41 n n 16 3 4 三 解答题 三 解答题 17 本小题满分12分 由已知可得 sin 2 3 g xx 则 sin2sin 2sin 2 33 h xxxx 令222 232 kxkkZ 解得 5 1212 kxkkZ 函数 h x的单调递增区间为 5 1212 kkkZ 5分 由 1 63 g 得 21 sin 2sin 2 6333 1 sin 2 33 即 1 3 h 12分 18 本小题满分12分 取CD的中点为M 连结EM BM BCD 为等边三角形 BMCD 120BAD ADAB 30ADB ADCD BMAD 又 BM 平面PAD AD 平面PAD BM 平面PAD E为PC的中点 M为CD的中点 EM PD 又 EM 平面PAD PD 平面PAD EM 平面PAD EMBMM 平面BEM 平面PAD 又 BE 平面BEM BE 平面PAD 5分 连结AC交BD于O 连结PO CBCDABAD ADBD O为BD的中点 又 120BAD 2 3BD PBDABD 1AOPO 又 2PA 222 PAPOOA POOA 又 POBD PO 平面ABD 即四棱锥PABCD 的高为 1PO 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D D C B C A A 12 四棱锥PABCD 的体积 2 1314 3 2 32 3 11 3423 V 12分 19 本小题满分12分 甲班 7 14049 20 人 乙班 7 14049 20 人 丙班 6 14042 20 人 5分 34x 设事件A 3名学生睡眠时间既有多于x 又有少于x的学生 丙班睡眠时间少于x的有4人 设 为 1234 AAAA 多于x的有2人 设为 12 BB 从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种 而不满足条件的基本事件 3人睡眠时间都低于x 有 123124134234 A A A A A A A A A A A A共4种情况 所以满足 条件的基本事件数为16种 164 205 P A 即在丙班被抽取的6名学生中 再随机地选取3人作进一步 地调查 选取的3人睡眠时间既有多于x 又有少于x学生的概率为 4 5 12分 20 本小题满分12分 由题意知 44 66aa 又 2 2 e 3c 3b 椭圆E的方程为 22 1 63 xy 5分