高考数学一轮复习 8.7 空间几何中的向量方法课件 理 新人教B版.ppt

8 7空间几何中的向量方法 2 知识梳理 考点自测 1 直线的方向向量与平面的法向量 1 直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量 2 如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面 那么称向量n垂直于平面 记作 此时把叫做平面 的法向量 e共线 垂直于 n 向量n 3 知识梳理 考点自测 2 线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为e2 a2 b2 c2 平面 的法向量为n1 x1 y1 z1 平面 的法向量为n2 x2 y2 z2 1 若l1 l2 则e1 e2 2 若l1 l2 则e1 e2 3 若l1 则e1 n1 e1 n1 0 4 若l1 则e1 n1 e1 kn1 5 若 则n1 n2 n1 kn2 6 若 则n1 n2 n1 n2 0 e2 e1 a2 a1 b2 b1 c2 c1 e1 e2 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 a1x1 b1y1 c1z1 0 a1 kx1 b1 ky1 c1 kz1 x1 kx2 y1 ky2 z1 kz2 x1x2 y1y2 z1z2 0 4 知识梳理 考点自测 3 利用空间向量求空间角 1 两条异面直线所成的角 范围 两条异面直线所成的角 的取值范围是 向量求法 设异面直线a b的方向向量为a b 直线a与b的夹角为 a与b的夹角为 则有cos 2 直线与平面所成的角 范围 直线与平面所成的角 的取值范围是 向量求法 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为u 直线l与平面 所成的角为 a与u的夹角为 则有sin 或cos sin cos cos 5 知识梳理 考点自测 3 二面角 范围 二面角的取值范围是 向量求法 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是向量的夹角 如图 设n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则图 中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小 而图 中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 0 6 知识梳理 考点自测 4 利用空间向量求距离 1 点到平面的距离如图所示 已知ab为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则b到平面 的距离为 2 线面距 面面距均可转化为点面距进行求解 7 知识梳理 考点自测 8 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 平面的单位法向量是唯一确定的 3 若两条直线的方向向量不平行 则这两条直线不平行 4 若空间向量a垂直于平面 则a所在直线与平面 垂直 5 两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角 答案 9 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 2 2017山东临沂模拟 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为n 2 0 4 则 a l b l c l d l与 斜交 答案 解析 10 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a m n分别为a1b和ac上的点 a1m an 则mn与平面bb1c1c的位置关系是 a 斜交b 平行c 垂直d mn在平面bb1c1c内 答案 解析 11 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 4 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为 答案 解析 12 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 5 已知p是二面角 ab 棱上的一点 分别在平面 上引射线pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小为 答案 解析 13 考点1 考点2 考点3 例1如图 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 abc bcd 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd所成的角为30 求证 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 14 考点1 考点2 考点3 证明 以点c为坐标原点 分别以cb cd cp所在的直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系c xyz pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd所成的角 pbc 30 15 考点1 考点2 考点3 16 考点1 考点2 考点3 17 考点1 考点2 考点3 思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法 解题心得1 用向量证明平行的方法 1 线线平行 证明两直线的方向向量共线 2 线面平行 证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 3 面面平行 证明两平面的法向量为共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 18 考点1 考点2 考点3 对点训练1 2017广东深圳模拟 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 侧面aa1c1c和侧面aa1b1b都是正方形且互相垂直 m为aa1的中点 n为bc1的中点 求证 1 mn 平面a1b1c1 2 平面mbc1 平面bb1c1c 19 考点1 考点2 考点3 证明 由题意知aa1 ab ac两两垂直 以a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设正方形aa1c1c的边长为2 则a 0 0 0 a1 2 0 0 b 0 2 0 b1 2 2 0 c 0 0 2 c1 2 0 2 m 1 0 0 n 1 1 1 1 因为几何体是直三棱柱 所以侧棱aa1 底面a1b1c1 20 考点1 考点2 考点3 2 设平面mbc1与平面bb1c1c的法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 令x1 2 则平面mbc1的一个法向量为n1 2 1 1 同理可得平面bb1c1c的一个法向量为n2 0 1 1 因为n1 n2 2 0 1 1 1 1 0 所以n1 n2 所以平面mbc1 平面bb1c1c 21 考点1 考点2 考点3 例2如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 22 考点1 考点2 考点3 23 考点1 考点2 考点3 24 考点1 考点2 考点3 思考用向量法求解存在性问题的基本思路是什么 解题心得用向量法求解存在性问题相对比较容易 其基本思路是假设所求的点或线存在 并设定参数表达已知条件 根据假设和已知条件进行计算求解 若能求出参数的值且符合已知限定的范围 则存在这样的点或线 否则不存在 本题是设出点p的坐标 借助向量运算 判定关于z0的方程是否有解 25 考点1 考点2 考点3 对点训练2 2017吉林三模 理19 已知四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 底面abcd pa bc 1 ab 2 m为pc的中点 1 在图中作出平面adm与pb的交点n 并指出点n所在位置 不要求给出理由 2 在线段cd上是否存在一点e 使得直线ae与平面adm所成角的正弦值为 若存在 请说明点e的位置 若不存在 请说明理由 26 考点1 考点2 考点3 解 1 过点m作mn bc 交pb于点n 连接an 如图 则点n为平面adm与pb的交点 由m为pc的中点 得n为pb的中点 2 因为四棱锥p abcd中 底面为矩形 pa 底面abcd 以a为坐标原点 以直线ab ad ap所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系如图所示 27 考点1 考点2 考点3 28 考点1 考点2 考点3 考向1求异面直线所成的角例3如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 思考如何利用向量法求异面直线所成的角 答案 解析 29 考点1 考点2 考点3 考向2求直线与平面所成的角例4如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m为线段ad上一点 am 2md n为pc的中点 求直线an与平面pmn所成角的正弦值 思考如何利用向量法求直线与平面所成的角 30 考点1 考点2 考点3 31 考点1 考点2 考点3 32 考点1 考点2 考点3 考向3求二面角的大小例5 2017河南新乡二模 理18 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧面acc1a1与侧面cbb1c1都是菱形 acc1 cc1b1 60 ac 2 1 求证 ab1 cc1 2 若ab1 3 a1c1的中点为d1 求二面角c ab1 d1的余弦值 思考如何利用向量法求二面角 33 考点1 考点2 考点3 1 证明 连接ac1 则 acc1 b1c1c都是正三角形 取cc1中点o 连接oa ob1 则cc1 oa cc1 ob1 oa ob1 o cc1 平面oab1 ab1 平面oab1 cc1 ab1 34 考点1 考点2 考点3 35 考点1 考点2 考点3 解题心得 1 利用向量法求异面直线所成的角时 是通过两条直线的方向向量的夹角来求解 而两异面直线所成角 的范围是两向量的夹角 的范围是 0 所以要注意二者的区别与联系 应有cos cos 2 利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 36 考点1 考点2 考点3 3 利用空间向量求二面角的方法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 通过平面的法向量来求 即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 或 应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 37 考点1 考点2 考点3 对点训练3 1 在直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 2 已知斜四棱柱abcd a1b1c1d1的各棱长均为2 a1ad 60 bad 90 平面a1add1 平面abcd 则直线bd1与平面abcd所成的角的正切值为 38 考点1 考点2 考点3 3 2017河北邯郸一模 理18 如图 在五棱锥p abcde中 abe是等边三角形 四边形bcde是直角梯形且 deb cbe 90 g是cd的中点 点p在底面的射影落在线段ag上 求证 平面pbe 平面apg 已知ab 2 bc 侧棱pa与底面abcde所成角为45 s pbe 点m在侧棱pc上 cm 2mp 求二面角m ab d的余弦值 39 考点1 考点2 考点3 答案 1 c 2 c解析 1 如图 以点c1为坐标原点 c1b1 c1a1 c1c分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 不妨设bc ca cc1 1 40 考点1 考点2 考点3 41 考点1 考点2 考点3 3 证明 取be的中点f 连接af gf 由题意得a f g三点共线 过点p作po ag于点o 则po 底面abcde be 平面abcde be po abe是等边三角形 be ag ag po o be 平面pag be 平面pbe 平面pbe 平面apg 又 paf 45 pf af pf ag pf 底面abcde 点o与点f重合 42 考点1 考点2 考点3 43 考点1 考点2 考点3 1 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 2 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点 线 面的位置关系的判定和计算程序化